2026年浙江省北师大版高一数学必修第二册函数性质测试题

2026年浙江省北师大版高一数学必修第二册函数性质测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2x+1B．-x^2-2x-1C．x^2-2x-1D．-x^2+2x-1解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函数f(x)可化为：f(x)={3-x,x<-2{3,-2≤x≤1{x+1,x>1当x=-2或x=1时，f(x)=3，故最小值为3，选C。3.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且图象过点(0,1)，则a+b+c的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：由f'(1)=3+2a+b=0，f(0)=c=1，又f(x)在x=1处极值，需f''(1)=6+2a>0，解得a=-3，b=3，c=1，则a+b+c=1，选C。4.函数f(x)=2sin(2x+π/3)的图象关于y轴对称的充要条件是（）A．φ=π/6B．φ=π/3C．φ=2π/3D．φ=5π/6解析：f(x)为奇函数需满足2x+φ=kπ+π/2，即φ=kπ-π/6，当k=1时φ=5π/6，选D。5.函数f(x)=e^x-1与g(x)=x^2+x在(-1,1)区间内（）A．f(x)始终大于g(x)B．g(x)始终大于f(x)C．存在唯一交点D．无交点解析：令h(x)=f(x)-g(x)=e^x-x^2-1，h'(x)=e^x-2x，h''(x)=e^x-2，由h''(x)>0，h'(x)单调递增，h'(0)=1>0，h(-1)=e^-1-2<0，h(1)=e-2>0，故存在唯一交点，选C。6.函数f(x)=ln(x+1)-x的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3解析：令f(x)=0得ln(x+1)=x，即x+1=e^x，构造g(x)=x-e^x，g'(x)=1-e^x<0，函数单调递减，g(0)=0，故有唯一零点，选B。7.若函数f(x)=x^2+2ax+a^2-1在(-∞,1)上单调递减，则a的取值范围是（）A．(-∞,-1)B．(-1,1)C．(-∞,1)D．[1,+∞)解析：f'(x)=2x+2a，由f'(x)≤0在(-∞,1)恒成立，需2x+2a≤0对x∈(-∞,1)成立，即a≤-x在(-∞,1)成立，a≤-1，选A。8.函数f(x)=sin^2x+2cosx-1的最小正周期是（）A．πB．2πC．3πD．4π解析：f(x)=1/2-1/2cos(2x)+2cosx-1=-1/2cos(2x)+2cosx-1/2，由2x+φ=k2π得周期T=2π/2=π，选A。9.若函数f(x)=x^3-3x+m在区间[-2,2]上存在唯一零点，则m的取值范围是（）A．[-8,8]B．(-8,8)C．(-8,0)∪(0,8)D．(-∞,-8)∪(8,+∞)解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-10+m，f(-1)=2+m，f(1)=-2+m，f(2)=2+m，由f(-2)f(1)<0且f(1)f(2)<0，得-8<m<-2，选C。10.函数f(x)=|x^3-2x|的极值点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√2/3，f(x)在x=0,±√2/3处取得极值，共4个，选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=2cos(2x-π/4)+1的图象向左平移φ个单位后关于y轴对称，则φ=______（用π表示）。参考答案：π/8解析：平移后f(x)=2cos(2x+2φ-π/4)+1，需2φ-π/4=kπ+π/2，φ=kπ/2+3π/8，取k=0得φ=3π/8，但需向左平移，故φ=π/8。2.若函数f(x)=x^2+bx+c在x=1时取得极大值-1，则b+c=______。参考答案：-1解析：f'(1)=2+b=0，f(1)=1+b+c=-1，解得b=-2，c=0，b+c=-2。3.函数f(x)=ln(1-x)-x^2在(-1,1)上的最大值是______。参考答案：1/4解析：f'(x)=-1/(1-x)-2x，令f'(x)=0得x=1/2，f(1/2)=ln(1/2)-1/4=-ln2-1/4，f(-1)→+∞，f(1)→-∞，最大值为1/4。4.函数f(x)=x^3-3x+2的图象与直线y=x的交点个数为______。参考答案：2解析：令g(x)=x^3-3x+2-x=x^3-4x+2，g'(x)=3x^2-4，令g'(x)=0得x=±2√3/3，g(-2√3/3)>0，g(2√3/3)<0，故有2个交点。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在[-3,3]上的值域是______。参考答案：[3,6]解析：f(x)在[-3,-2]上递减，值为x+3；[-2,1]上值为3；[1,3]上递增，值为x+1，故值域为[3,6]。6.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=π/4对称，且周期为π，则φ=______（用π表示）。参考答案：π/4解析：周期为π需ω=2，对称需ωx+φ=kπ+π/2，即2π/4+φ=kπ+π/2，φ=kπ-π/4，取k=1得φ=π/4。7.函数f(x)=e^x-1与g(x)=xlnx在(0,+∞)上的交点个数为______。参考答案：1解析：令h(x)=e^x-x-xlnx，h'(x)=e^x-1-1-x/x=e^x-2-x/x，h''(x)=e^x-1/x^2>0，h'(x)单调递增，h'(1)=e-3<0，h'(2)=e^2-4>0，故存在唯一零点。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在[0,3]上的最大值是______。参考答案：2解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，f(0)=0，f(1)=0，f(1+√3/3)=4√3/27-1/3，f(1-√3/3)=4√3/27+1/3，f(3)=0，最大值为2。9.函数f(x)=|x^3-2x|的导数f'(x)在x=1处为______。参考答案：6解析：f(x)在x=1时为极小值点，f'(1)=3x^2-2|1|=6。10.若函数f(x)=x^2+ax+b在x=1时取得极小值，且图象过点(2,3)，则f(0)的值为______。参考答案：-1解析：f'(1)=2+a=0，f(1)=1+a+b=极小值，f(2)=4+2a+b=3，解得a=-2，b=3，f(0)=0+0+3=3，矛盾，需重新计算，f(1)=1-2+b=极小值，f(2)=4-4+b=3，b=3，f(0)=0+0+3=3，矛盾，需修正题设。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)在该区间上存在最大值。参考答案：×解析：若区间(a,b)为开区间，则不存在最大值，如f(x)=x在(0,1)上单调递增但无最大值。2.函数f(x)=sin(x+π/2)的图象与y轴对称。参考答案：√解析：f(x)=cosx，周期为2π，图象关于x=π/2对称。3.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，则必有a+b+c=0。参考答案：×解析：极值需f'(1)=3+2a+b=0，但f(1)=1+a+b+c未必为0，如f(x)=x^3-3x+2在x=1处极值但1-3+2=0。4.函数f(x)=|x|在R上处处可导。参考答案：×解析：x=0处不可导。5.若函数f(x)在x=x0处取得极值，则必有f'(x0)=0。参考答案：√解析：极值点处导数为0（费马定理）。6.函数f(x)=cos^2x在[0,π]上单调递减。参考答案：×解析：f'(x)=-sin(2x)，在[0,π/2]上递减，[π/2,π]上递增。7.若函数f(x)是奇函数且在x>0时单调递增，则f(x)在R上单调递增。参考答案：×解析：如f(x)=x在x>0时单调递增，但在x<0时单调递减。8.函数f(x)=e^x-1与g(x)=x^2+x在(0,1)区间内存在交点。参考答案：√解析：令h(x)=e^x-x^2-1，h(0)=-1，h(1)=e-2>0，存在唯一交点。9.函数f(x)=x^3-3x+2的图象与x轴恰有两个交点。参考答案：√解析：f(x)=0即x^3-3x+2=0，f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=0，f(1)=0，f(-2)=-4，f(2)=0，恰两个交点。10.函数f(x)=|x^3-2x|的极值点个数为4。参考答案：√解析：f(x)在x=0,±√2/3处取得极值。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在[0,3]上的最大值和最小值分别是多少？解：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(0)=1，f(1)=-1，f(2)=0，f(3)=7，最大值为7，最小值为-1。2.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是多少？解：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象有何对称性？解：f(x)关于x=-1/2对称，为偶函数。4.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极大值，求a+b的值。解：f'(1)=3-2a+b=0，f(1)=-a+b=极大值，联立得a=3，b=6，a+b=9。5.函数f(x)=ln(x+1)-x在(-1,+∞)上的单调性如何？解：f'(x)=1/(x+1)-1，令f'(x)=0得x=0，f'(x)<0在(-1,0)，f'(x)>0在(0,+∞)，故在(-1,0)递减，(0,+∞)递增。6.函数f(x)=e^x-1与g(x)=xlnx在(0,+∞)上的交点个数是多少？解：令h(x)=e^x-x-xlnx，h'(x)=e^x-1-1-x/x，h''(x)>0，h'(x)单调递增，h'(1)=e-3<0，h'(2)=e^2-4>0，存在唯一零点。7.函数f(x)=x^3-3x+2的图象与直线y=x的交点个数是多少？解：令g(x)=x^3-4x，g'(x)=3x^2-4，令g'(x)=0得x=±2√3/3，g(-2√3/3)>0，g(2√3/3)<0，存在2个交点。8.函数f(x)=|x^3-2x|的极值点有哪些？解：f'(x)=3x^2-2|1|，令f'(x)=0得x=±√2/3，f(0)=0，f(±√2/3)=±4√2/27，故极值点为x=0,±√2/3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+m在[0,3]上的最大值为3，求m的值。解：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，f(0)=m，f(1)=m-1，f(1+√3/3)=4√3/27-1/3+m，f(1-√3/3)=4√3/27+1/3+m，f(3)=m+9，由最大值为3，需f(3)=m+9=3，m=-6。2.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=π/4对称，且周期为π，求f(π/2)。解：ω=2，对称需2π/4+φ=kπ+π/2，φ=kπ-π/4，取k=1得φ=π/4，f(π/2)=sin(π/2+π/4)=√2/2。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在[-3,3]上的值域是什么？解：分段函数f(x)={3-x,x<-2{3,-2≤x≤1{x+1,x>1最小值为3，最大值为f(-3)=6，值域为[3,6]。4.函数f(x)=x^3-3x+2的图象与直线y=x的交点坐标是什么？解：令g(x)=x^3-4x，g'(x)=3x^2-4，令g'(x)=0得x=±2√3/3，g(-2√3/3)>0，g(2√3/3)<0，存在唯一交点，解x^3-4x=0得x=0,±2，交点为(0,0),(2,2),(-2,-2)。5.函数f(x)=ln(x+1)-x在(-1,1)上的最大值是多少？解：f'(x)=1/(x+1)-1，令f'(x)=0得x=0，f(0)=0，f(-1)→+∞，f(1)=ln2-1，最大值为ln2-1。6.函数f(x)=e^x-1与g(x)=x^2+x在(-1,1)区间内是否存在交点？解：令h(x)=e^x-x^2-x-1，h(-1)=e^-1-1>0，h(0)=-1<0，存在唯一交点。7.函数f(x)=x^3-3x+2的图象与x轴的交点有哪些？解：f(x)=0即x^3-3x+2=0，f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=0，f(1)=0，f(-2)=-4，f(2)=0，交点为(-1,0),(1,0),(2,0)。8.函数f(x)=|x^3-2x|的导数f'(x)在x=1处是多少？解：f(x)在x=1时为极小值点，f'(1)=3x^2-2|1|=3-2=1。标准答案及解析一、单项选择题1.B2.C3.C4.D5.C6.B7.A8.A9.C10.C解析：2.奇函数性质f(-x)=-f(x)，x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，选B。3.分段函数f(x)={3-