高考数学一轮复习（培优版） 第八章　8.2　两条直线的位置关系

§8.2两条直线的位置关系考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1.两条直线的位置关系直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，l3：A1x+B1y+C1=0，l4：A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行k1=k2且b1≠b2A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)垂直k1·k2=-1A1A2+B1B2=0相交k1≠k2A1B2-A2B1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).②结论：|P1P2|=(x③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|=x2(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=Ax(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0间的距离d=|C1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2.(×)(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.(×)(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.(√)(4)若点A，B关于直线l：y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于-1k，且线段AB的中点在直线l上.(√2.已知直线l1：2x-y+1=0与l2：x+ky-3=0垂直，则实数k的值为()A.2 B.-2 C.12 D.-答案A解析方法一当k=0时，得l2：x=3，此时l1与l2不垂直；当k≠0时，若l1⊥l2，则2×-1k=-1，解得k方法二由l1⊥l2得2×1-1×k=0，解得k=2.3.(多选)已知两条平行直线l1：x-3y+6=0与l2：x-3y+C=0之间的距离为4，则C的值为()A.14 B.-2 C.-14 D.2答案AB解析根据两平行直线间的距离公式可得C-6|12+(-3)2=4，解得C=14或C=-2，故C，4.已知直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0相交，则这两条直线的交点坐标为，过交点并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为.

答案-53，79解析由方程组2解得x=-5因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直，所以所求直线的斜率为k=43由点斜式得所求直线方程为y-79=即4x-3y+9=0.1.三种常见的直线系(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C1=0(C≠C1)；(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C1=0；(3)过直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).2.谨防四个易误点(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.题型一两条直线的平行与垂直例1(1)(2026·商丘模拟)已知直线l1：(2a+1)x+ay+1=0，l2：(a+2)x+ay+2=0，则“a=1”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案C解析若直线l1，l2平行，则(2a+1)a=(a+2)a，所以a=0或a=1.将a=1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x+y+1=0，l2：3x+y+2=0，易知l1∥l2；将a=0代入直线l1，l2的方程，得l1：x+1=0，l2：2x+2=0，即x+1=0，直线l1，l2重合，故a=0舍去.综上所述，“a=1”是“l1∥l2”的充要条件.(2)已知直线l1：ax-(a-1)y+6=0，直线l2：x+2y+4=0，若l1⊥l2，则a=.

答案2解析由于直线l2的斜率存在且不为零，且l1⊥l2，故直线l1的斜率也存在且不为零，直线l1：y=aa-1x+6a-1(a≠1且a∴k1=aa-1，直线l2：y=-12x-2，∴∴k1k2=-1，即aa-1×-解得a=2.思维升华判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况.(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.跟踪训练1(多选)已知直线l1：x+ay-a=0和直线l2：ax-(2a-3)y-1=0，下列说法正确的是()A.当a=-1时，l1的一个方向向量为(1，1)B.若l1∥l2，则a=1C.若l1⊥l2，则a=0或a=2D.当a>0时，l1始终不经过第三象限答案ACD解析当a=-1时，直线l1：x-y+1=0，其斜率为k=1，所以l1的一个方向向量为(1，1)，故A正确；当a=1时，l1：x+y-1=0，l2：x+y-1=0，l1，l2重合，故B错误；由l1⊥l2得1×a+a×(3-2a)=0，得a=0或a=2，故C正确；当a>0时，l1：y=-1ax+1始终过点(0，1)，斜率为负，不会经过第三象限，故D正确题型二两直线的交点与距离问题例2(1)已知直线l1：y=x和l2：x-2y+1=0的交点为P，则点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是()A.(0，1) B.(0，1]C.[0，1) D.0，1答案C解析联立y=x即点P的坐标为(1，1)，点P(1，1)到直线l：kx-y+1=0的距离d=|1×当k=0时，d=0，当k≠0时，d=kk2因为1k2+1>1，所以0<d综上，0≤d<1，即点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是[0，1).(2)直线4x+3y-5=0与8x+6y+a=0(a<0)之间的距离为2，则实数a等于()A.-20 B.-30C.-205 D.-305答案B解析直线8x+6y+a=0(a<0)的方程可化为4x+3y+a2=0可知直线4x+3y-5=0与8x+6y+a=0(a<0)平行，a2≠∴两条直线之间的距离d=a2+542+32=2，又a<0，∴a=-30.思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|，到直线y=b的距离d=|y0-b|.(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.跟踪训练2(1)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：5x-12y+2=0与l2：5x-12y+8=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.513 B.2 C.12 D答案A解析设AB的中点M的坐标为(x，y)，则有2又A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：5x-12y+2=0与l2：5x-12y+8=0上，∴联立5两式相加得5(x1+x2)-12(y1+y2)+10=0，∴10x-24y+10=0，即5x-12y+5=0，即AB的中点M在直线5x-12y+5=0上移动，∴M到原点距离的最小值即原点到直线5x-12y+5=0的距离d=|5|5(2)(链接教材，人教A版选择性必修第一册P80习题2.3T16)已知两条平行直线l1：(λ+2)x-(2λ-1)y+6λ-8=0，l2：(λ+2)x-(2λ-1)y-4λ-13=0，当l1，l2之间的距离最大时，λ等于()A.-12 B.-211 C.2 D答案C解析直线l1：λ(x-2y+6)+(2x+y-8)=0，由x-2y则直线l1过定点A(2，4)，直线l2：λ(x-2y-4)+(2x+y-13)=0，由x-2y则直线l2过定点B(6，1)，因此直线l1，l2之间的距离最大为|AB|=(6-2)2此时AB⊥l1，而直线AB的斜率为4-12-6=-则λ+22λ-1=4题型三对称问题例3(1)(多选)以下四个命题为真命题的是()A.直线l：mx-y+3m+1=0过定点(-3，1)B.点(5，0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(3，-4)C.直线x+2y-3=0关于A(1，0)对称的直线方程为x+2y+1=0D.直线l：x+y+2=0关于直线x+2y-3=0对称的直线方程为x+7y-28=0答案ACD解析对于A，m(x+3)-y+1=0，令x+3=0，所以直线l过定点(-3，1)，故A正确；对于B，设点(5，0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(a，b)，则有2解得a=-3，b=4，则所求对称点的坐标为(-3，4对于C，设所求直线上任意一点为(x，y)，则它关于A(1，0)对称的点(2-x，-y)在直线x+2y-3=0上，则(2-x)-2y-3=0，整理得x+2y+1=0，故所求直线方程为x+2y+1=0，故C正确；对于D，设直线l关于直线x+2y-3=0的对称直线为l2，l2一定经过直线l和直线x+2y-3=0的交点，设为P，由x+2y所以P(-7，5)，在直线l上任取一点Q(-2，0)，则其关于直线x+2y-3=0的对称点Q'(a，b)一定在l2上，所以ba+2所以Q'(0，4)，P(-7，5)在直线l2上，所以y-54-5=x+70+7，化简可得x+7y-28=0，故所求直线方程为x+7y-28=0(2)如图所示，已知点A(2，0)，B(0，2)，从点P(1，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是()A.3 B.10 C.33 D.25答案B解析依题意，直线AB的方程为x+y=2，设P(1，0)关于直线AB的对称点为Q(a，b)，则b解得a=2，b=1，即Q(又P(1，0)关于y轴的对称点为T(-1，0)，|QT|=(-1-2)2+(0-1)2=10而△PMN的周长为|MP|+|MN|+|NP|=|MQ|+|MN|+|NT|=|QT|=10所以光线所经过的路程是10.思维升华对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.跟踪训练3已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1，-2).求：(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标；(2)直线m：3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l'的方程.解(1)设A'(x，y)，由已知条件得y+2x所以A'-33(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点M'(a，b)，则2×a+22设直线m与直线l的交点为Q，由2x-3y+1=0，3x-2又m'经过点Q(4，3)，所以直线m'的方程为y-33013-3=x-4613(3)方法一在l：2x-3y+1=0上任取两点，如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(-1，-2)的对称点P'，Q'均在直线l'上，易得P'(-3，-5)，Q'(-6，-7)，所以l'的方程为y+5-7+5=x+3-6+3，即2方法二因为l∥l'，所以设l'的方程为2x-3y+C=0(C≠1).因为点A(-1，-2)到两直线l，l'的距离相等，所以由点到直线的距离公式，得|-2+6+C22+(-3)所以l'的方程为2x-3y-9=0.课时精练[分值：95分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.若直线x-2ay+1=0与直线(a-1)x+ay-1=0平行，则a等于()A.0 B.12或C.12 D.答案C解析由题意得1×a-(-2a)(a-1)=0，即2a2-a=0，解得a=0或a=12当a=0时，两直线方程都为x+1=0，两直线重合，不符合题意，舍去；当a=12时，两直线方程分别为x-y+1=0和x-y+2=0，此时两直线平行，符合题意综上，a=122.已知直线l1：ax+y+a=0与l2：(a-4)x-5y-4=0，则“a=5”是“l1⊥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由l1⊥l2，得a(a-4)-5=0，解得a=5或a=-1，所以“a=5”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.3.若点A(3，4)，B(5，3)到直线l：2x+ay+1=0的距离相等，则a等于()A.4 B.-4C.4或-187 D.-4或答案C解析若A，B在直线l的同侧，则kAB=kl，即4-33-5=-2a，解得若A，B分别在直线l的两侧，则直线l经过AB的中点4则8+72a+1=0，解得a=-18综上，a=4或a=-1874.已知直线l：ax+(2a-1)y+a-3=0，当a变化时，直线l总是经过定点，则定点坐标为()A.(5，3) B.(5，-3)C.(-5，3) D.(-3，5)答案B解析直线l：ax+(2a-1)y+a-3=0可化为a(x+2y+1)-y-3=0，令x+2y+1=0，-y-3=0，解得x=55.设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，则直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.无法确定答案C解析由正弦定理asinA=bsinB，得bsinA=又两条直线的方程分别为sinA·x+ay+c=0，bx-sinB·y+sinC=0，因为两直线的系数满足bsinA+a(-sinB)=bsinA-asinB=0，所以两直线垂直.6.已知A(4，5)，直线l：y=kx+m，当k变化时，点A到直线l的距离的最大值为5，则m等于()A.3或7 B.3或8C.2或7 D.2或8答案D解析当k变化时，直线l恒过定点M(0，m)，所以点A到直线l的距离的最大值为|AM|=5，即42+(5-m)2=5，解得m7.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，0)，(4，0)，点C的坐标为(m，3m)(m>0)，则|CA|+|CB|的最小值是(A.6 B.37 C.27 D.5答案C解析如图，∵C(m，3m)(m>0)∴C在直线y=3x(x>0)上，设点A(2，0)关于直线y=3x的对称点为A'(x，y)，则y解得x=-1，y=3，故∴|A'B|=(4+1)2∵|CA|+|CB|=|CA'|+|CB|≥|A'B|=27当且仅当A'，C，B三点共线时等号成立，∴|CA|+|CB|的最小值是27.8.已知实数a，b，c，d满足ab=c-1d-3=43，则(a-c)2+(b-dA.12125 B.8125 C.6425答案B解析由题意知实数a，b，c，d满足ab=c-1则3a-4b=0(b≠0)，3c-4d+9=0(d≠3)，故点(a，b)在直线3x-4y=0上，点(c，d)在直线3x-4y+9=0上，而(a-c)2+(b-d)2表示点(a，b)和点(c，d)之间的距离的平方，故(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行直线3x-4y=0和3x-4y+9=0之间距离的平方，最小值为|9-0|3二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.已知直线l1：ax+y-3a=0，直线l2：2x+(a-1)y-6=0，则下列选项正确的是()A.当a=3时，l1与l2的交点是(3，0)B.直线l1与l2都恒过点(3，0)C.若l1⊥l2，则a=1D.存在a∈R，使得l1∥l2答案ABC解析对于A，当a=3时，直线l1：3x+y-9=0，直线l2：2x+2y-6=0，即x+y-3=0，联立3x+所以两直线的交点为(3，0)，故A正确；对于B，将点(3，0)代入l1，l2的方程，两方程对任意参数a都成立，所以直线l1与l2都恒过点(3，0)，故B正确；对于C，若l1⊥l2，则a×2+1×(a-1)=0，解得a=13，故对于D，假设存在a∈R，使得l1∥l2，则a(a-1)-1×2=0，解得a=2或a=-1，当a=2时，l1：2x+y-6=0，l2：2x+y-6=0，两直线重合，舍去；当a=-1时，l1：-x+y+3=0，即x-y-3=0，l2：2x-2y-6=0，即x-y-3=0，两直线重合，舍去，所以不存在a∈R，使得l1∥l2，故D错误.10.(2025·眉山模拟)已知直线l：2x-y+3=0，点R(0，2)，P(1，1)，Q(1-m，m)，m∈R，下列说法正确的是()A.点P到直线l的距离为4B.若点P与点Q位于直线l的两侧，则m>5C.点P与点Q之间距离的最小值为2D.|QR|+|QP|的最小值为2答案ABD解析点P到直线l的距离d=|2-1+3|22将点P(1，1)代入直线方程得2-1+3=4>0，又点P与点Q位于直线l的两侧，则将点Q(1-m，m)代入直线方程得2-2m-m+3<0，即m>53，|PQ|=[1-(1-m)]2+(1-m)∵1-m+m=1，∴点Q在直线l1：x+y-1=0上，斜率k=-1，过点P作直线l'⊥l1于点D，如图所示，则l'：x-y=0，联立方程组x+y-1=0，x-y=0，∴点P关于直线l1的对称点为原点O(0，0)，OR与l1的交点为Q，此时|QR|+|QP|最小，则(|QR|+|QP|)min=|OR|=2，D选项正确.11.已知直线l：2tx+(1-t2)y+1+t2=0(t∈R)，当t=t1和t=t2时，对应直线分别为l1和l2，则下列说法中正确的是()A.存在t∈R，使得l过点(1，1)B.当l1⊥l2时，对任意t1∈R，总存在两个不同的t2值与之对应C.l1∥l2的充要条件是t1t2=-1D.存在点P0，对任意t∈R，使得P0到l的距离为常数答案ACD解析当直线l过点(1，1)时，2t+(1-t2)+1+t2=0，解得t=-1，即当t=-1时，l过点(1，1)，故A正确；由l1⊥l2，得2t1·2t2+(1-t12)(1-t22)=0，而当t1=1或t1=-1时，t2=0由l1∥l2，得t1≠t2，2t1(1-t22)=2t2(1-t12)，即t1t2(t1-t2)=t2-t1，则t1由t1t2=-1，得t2=-1t1，直线l1：2t1x+(1-t12)l2：-2t1x+1-1t1即l2：2t1x+(1-t12)y-1-t12=0，而t1≠0，直线l1，l2在则直线l1∥l2，因此l1∥l2的充要条件是t1t2=-1，故C正确；对任意t∈R，点(0，0)到直线l的距离d=1+t24t2+(1-t2三、填空题(每小题5分，共15分)12.一条光线从点P(0，1)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为.

答案x-2y-2=0解析点P(0，1)关于x轴的对称点为P'(0，-1)，故P'(0，-1)，Q(2，0)在反射光线所在的直线上，故直线方程为x2+y-1=1，即x-2y13.如图，“爱心”图案是由函数f(x)=-x2+k的图象的一部分及其关于直线y=x的对称图形组成.若该图案经过点(-2，0)，点M是该图案上一动点，N是点M关于直线y=x的对称点，连接MN，则|MN|的最大值为.

答案17解析∵“爱心”图案是由函数f(x)=-x2+k的图象的一部分及其关于直线y=x的对称图形组成，∴|MN|的最大值为f(x)图象上的点到直线y=x的距离的最大值的2倍，∵函数f(x)=-x2+k经过点(-2，0)，∴f(-2)=-(-2)2+k=0，解得k=4，设直线y=x+b与函数f(x)=-x2+4相切，则联立y=-x2+4，y=x+∴Δ=12-4(b-4)=0，解得b=17∴直线y=x+174与直线y=x之间的距离d=174∴|MN|的最大值为2d=2×1728=14.过定点A的直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+1)y-5a-2=0交于点P(P与A，B不重合)，则△PAB面积的最大值为.

答案9解析直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2，可知定点A(0，2)，直线x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0，令y解得x=-3，y=5，可知定点B(又(a+1)×1-1×(a+1)=0，∴直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2=0垂直，P为交点(P与A，B不重合)，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=(0+3)2+(2-5)2=18.则S△PAB=12|PA|·|PB|≤12·|PA|2+|PB|22=92即△PAB面积的最大值为92[15，18题每小题5分，16，17题每小题6分，共22分]15.设m∈R，过定点A的动直线x-2my=0和过定点B的动直线2mx+y-6m-4=0交于点P，点P不与A，B重合，则1|PA|2+4|PBA.9 B.25 C.925 D答案C解析由x-2my=0以及(2x-6)m+y-4=0得A(0，0)，B(3，4)，因为1×2m+(-2m)×1=0，则两条直线垂直，P为交点，P不与A，B重合，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=32+42=25，则1|PA|2+4|PB|2=1251|PA|2+≥1255+2|PB|2|PA|2当且仅当|PB|2=2|PA|2=50即|PA|=533，|PB|=56故1|PA|2+416.(多选)已知点M(-1，1)，N(2，1)，且点P在直线l：x+y+2=0上，则下列选项正确的是()A.存在点P，使得PM⊥PNB.存在点P，使得2|PM|=|PN|C.|PM|+|PN|的最小值为29D.若P(a，b)，则a2+b2的最小值为1答案BC解析对于A，依题意，设P(a，-a-2)，当a=-1时，P(-1，-1)，此时PM⊥x轴，但kPN=-1-1-1-2=23≠0，此时PM与当a=2时，P(2，-4)，此时PN⊥x轴，但kPM=-4-12-(-1)=-53≠此时PM与PN不垂直；而当a≠-1且a≠2时，由kPM·kPN=-a-3a+1·-a-3a-2=-1，Δ=52-4×2×7=-31<0，该方程无实数解，此时PM与PN不垂直.综上可知，不存在点P，使得PM⊥PN，故A错误；对于B，设P(a，-a-2)，由M(-1，1)，N(2，1)，2|PM|=|PN|，可得2(a+1)2+(-a-3)2=因为Δ=102-4×2×9=28>0，则方程有实数解，故存在点P，使得2|PM|=|PN|，故B正确；对于C，如图，设M(-1，1)关于直线l的对称点为M'(m，n)，则n-1m即M'(-3，-1)，所以|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|=(-3-2)2当且仅当M'，P，N三点共线时取等号(点P在点M'，N之间)，故C正确；对于D，因为b=-a-2，则a2+b2=a2+(-a-2)2=2a2+4a+4=2(a+1)2+2≥2，当且仅当a=-1时等号成立，故a2+b2的最小值为2，故D错误.17.(多选)(2025·广东九师联盟模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点M(x1，y1)，N(x2，y2)间的折线距离d(M，N)=|x1-x2|+|y1-y2|，已知A(a，b)，B(1，1)，记s=a2+b2+2a+4b，则()A.若d(A，B)=1，则s有最小值8B.若d(A，B)=1，则点A的轨迹是一个正方形C.若d(A，B)≤1，则s有最大值15D.若d(A，B)≤1，则点A的轨迹所构成区域的面积为π答案BC解析对于B，若d(A，B)=1，由题意可知d(A，B)=