四川省宜宾市2026年中考数学试题-附答案

四川省宜宾市2026年中考数学真题

一、选择题：本大题共有12题，每小题4分，共48分.

1.-2026的绝对值是（）

A.2026B.0C.-2026D.<i.2b

2.下列计算正确的是（）

A.ataaB.2a-a=ac.,ia>2a'D.a2+2a«I

3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.等腰三角形B.梯形C.正方形D.正五边形

4.某校X位同学参加志愿服务，服务时长（单位：小时）如下：则这组数据的众数是（）

A.|B.2C.3D.4

5.如图，。0胫©ABC的外接圆，连接OA、OC若△AOC为等边三角形，则/ABC的度数是（）

A.20°B.300C.50。D.60°

6.已知力程+|4=。的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（）

A.4B.5C.6D.7

7.我国古代算书《四书玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个

四文钱试问甜苦果几个，乂问各该几个钱？”大致意思是：999文钱买甜果和苦果共1000个，甜果||文

钱买9个，苦果4文钱买7个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？设买甜果x个，买苦

果y个.下列所列方程组中正确的是（）

x-t-y=l(XX)x+y■1000

A.II4B.97…

-xi-y=999—x+—y・999

97」114J

X+y=999fx+y-999

C.D.<97

—x+-y=IOOO—x+-y-IOOO

97II47

8.如图，在RlaABC中，ZACB=,以点人为圆心，小于AC长为半径画弧分别交AC、AB于点

P、Q,又分别以P、Q为圆心，大于）PQ为半径画弧交于点M,连接AMkB（于点D.已知

AB=5.CD=2,则.ABD的面积是（）

9.如图，一条直线与反比例函数y=E（x＞。）的图象交于A、B两点，分别与y轴、x物交于C、D两

x

点.若2AB3BD.3no-7,则k的值是（）

10.如图所示的自制平衡秤，允许祛码放在任意一边•现有l&・3g・%的硅码各一个，则最多能称出整数克

C.13种D.14种

11.如图，ABJ.BC.CDJ.BC，点上、F分别是BC上的点，连接AE、DF交于点G,若

c.然

12.点p是抛物线y=x^2（a-l）x-（a2-l）的顶点，点A（T.m）、在抛物线上（其中

t>1）.下列结论：

①当点P八轴.卜川，JIP在直线y=2'匕③m+④当点P所在直线与线段AB

其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题：本大题共6题，每小题4分，共24分.

13,分解因式：a'-4a=.

14.不等式3x-2>5x-4的解集是.

15.如图，在矩形ABCD中，对角线A（\BD相交于点O,AI垂直旦平分线段B0,垂足为点L已知

BD20m,则AB的长为cin.

16.如图，已知aABC中，AB>XAC«5tBC=7，点P在BC边上运动，连接AP.,hABP和AAPC

的内切圆半径相等时，设BP=l，则AP=（用含I的代数式表示）.

17.某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将100个机器人安排坐在编号依次为I的桌子前，

每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向上），开始向每个机器人

发送123,…,100的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数

倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动•假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正

面向上的张数是

18.如图，ZABC-135SAB>BC-8，将AC绕点八逆时针旋转90。得到AD.连接BD,则BD的最

小值为.

三、解答题：本大题共7个小题，共78分.

19.(I)计算：&♦I)***an45。；

(2)计算:

20.如图，QARCD中，AE、CF分别垂直对角线BD于点卜、F.求证：AFCF.

21.某校组织全校1000名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛•从中随机抽取了由名学生，并按竞赛成

绩分成A、B、C、D四组，绘制出以下不完整的统计图.

请结合图中信息解答下列问题：

(1)m=▲,补全条形统计图；

(2)根据竞赛成绩，C、D组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数；

(3)竞赛中有2名女生和I名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2名学生代表学校参加下一轮

竞赛,请用列表或画树状图的方法，求抽到I名男生和1名女生的概率.

22.宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽•某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站(如图

1),高铁宜宾西站的正大门h顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为

4米（如图2）,组长站在最中间柱子EC正下方，背对车站向正前方走了20米到达「点，转身测得D、卜.

两点的仰角分别是50.3。和58°（不计测角仪的高度X如图3）.

图I图2

（I）求DE的长;

（2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径.

（结果保留整数参考数据：

sin5X°e0.85.coi58°e0.5工tar151r*1.60.sin50.3c，eO.77»oas50.3°»0.64.Urn50.3°e1.20.）

23.如图，一次函数y=\+tMb＞0）的图象与x轴、＞’轴分别交于B、（'两点，并与反比例函数y=^

x

的图象交于横坐标为I的点P，过点WtPA.x轴于点A.已知=8.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）若Qh_A点关于＞轴的对称点，NkN分别是y轴和线段BC上的动点，求aMNQ周长的最小

值.

24.如图，二AR（是等腰三角形，AC・BC,ZACB-I2O0，点D是AB中点，CE平分NACD

于点E.

（1）求.B（I的度数;

（2）求证：AC'ABCI的外接圆相切;

（3）P为eBCE外接圆上任意一点，试探究PDIPA的数量关系，并说明理由.

25.抛物线y•b」c曾工0卜八轴交于B（LO）两点，与、轴交于点（（（）「».

（2）如图1，连接BC,交抛物线的对称轴于点D，连接AD.试判定dARD的形状，并说明理由;

（3）如图2,点F是直线AC上两动点，且.ERFdABC求MRF面积的最小值.

答案

1.【答案】A

【解析】【解答】根据负数的绝对值是它的相反数可知：

|-2026|=2026.

故答案为：A.

【分析】根据绝对值性质解答即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】A、a+a=2a,不符合题意；

B、2a-a=a,符合题意；

C、a*a2=a1+2=a3,不符合题意;

D、a+2a-a.

2

故答案为：B.

【分析】根据整式的运算法则进行计算即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、梯形不一定是轴对称图形，且所有的梯形不是中心对称图形，不符合题意；

C、正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故选：C.

【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图

形；把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做

中心对称图形，据此逐一判断即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】・・•在这组数据中，3出现2次，4出现3次，1出现2次，2出现1次，

•••4是这组数据中出现次数最多的数，

・•・众数为4.

故选：D.

【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数：据此可得答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】•・•△AOC为等边二角形，

AZAOC=60o,

由圆周角定理,

NABC=；ZCOA=30°,

故答案为：B.

【分析】根据等边三角形的性质得到NAOC的度数，再由圆周角定理即可得到NABC的度数.

6.【答案】D

【解析】【解答】Vx2-9x+14=0,

:.(x-7)(x-2)=0,

・"2=0或x-7=0,

解得x=2或x=7,

・•・该菱形的两条对角线的长分别为2和7,

，该菱形的面积为:7.

故答案为：D.

【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面

积等于其对角线乘积的一半计算面积即可.

7.【答案】A

【解析】【解答】设买甜果x个，买苦果y个，

•・•甜果和苦果共1000个，

/.K+y=1000,

VII文钱可以买9个甜果，4文钱可以买7个苦果，

・•・单个的苦果价格为T，单个甜果的价格为?，

•・•总花费一共是999文，

11X*4y=999,

97

x+y=1000

故可列方程为•114皿、，

——x4—y999

(97)

故答案为：A.

【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据甜果和苦果共1000个，可得方程x+y=1000,求出单个甜果

的价格为:，单个的苦果价格为亍，根据花费一共是999文，可得方程5=

8.【答案】D

【解析】【解答】由作图痕迹可知，AD是NBAC的角平分线,

过点D作DE±AB于点E,

VZACB=90°,BPDC1AC,

.'DE=CD=2,

5.g..」“B*DE-5，

故答案为：D.

【分析】根据作图痕迹可知AD是NBAC的角平分线，利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于

CD的长，再根据三角形面积公式求解即可.

9.【答案】B

【解析】【解答】分别过A点和B点作AE,BF垂直x轴交于点E和点F,

AAE/7BF,

:BFD^AAED,

V2AB=3BD,

RDDFBF2

:.~，

ADEDAE5

设BF=2a,则AE=5a,

•,七斗&4

.kk3k

ErTr=一，

2aSu10a

BDDFBF2

ADEDAE5

k

，FD=丁，

5a

Ik

OD=OF+FD=.

lOu

*/△BFD^ACOD,

.DFBF

••，

ODCO

AOC=7a,

Sg=；OD*CO=7.

解得k二亍.

故答案为：B.

【分析】分别过A点和B点作AE,BF垂直x轴交于点E和点F,由平行得^BFD与^AED的相似比

为2：5,从而设BF=2a,AE=5a,得到A和B的坐标H信/（如）根据横坐标表示得到EF

长，根据相似比得到FD的长，所以OD=OF+FD=：：,再由相似得到OC长为7a,代入ACOD的面积，

10u

得到k的值.

10.【答案】C

【解析】【解答】分三种情况讨论：

只使用一个祛码，共3种；

使用两个祛码，两硅码放在异侧：

3-1=2,9-1=8,9-3=6；

两跌码放在同侧：

1+3=4,1+9=10,3+9=12；

使用两个祛码共6种；

使用三个祛码，

放同侧：9+3+1=13,

放异侧:9+3-1=11,9+1-3=7,9-3-1=5,

共4种.

综上所述，能称出的整数克质量有：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,共13种.

故答案为：C.

【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边破码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质

量值即可.

11.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，分别以BC,BA为x轴，y轴建系，

AA(O,4),F(2,0),E(4,0),C(5,0),D(5,6),

求得AE直线表达式：y=-x+4,

DF：y=2x-4,

y■-x+4

联立；21

解得x=g,y=g

・..BG=1g

故答案为：D.

【分析】分别以BC,BA为x轴，y轴建系，写出各点坐标：计算得直线AE和DF的表达式，联立两直

线方程，即可求得G点坐标，进而得到BGK.

12.【答案】B

【解析】【解答】y=-x2+2(a-1)x-(a2-l)=-[x-(a-1)]2-2a+2,

・・・P坐标为(a-1,-2a+2),

①若P在x轴上，则-2a+2=0,

a=1,

故①正确；

@-2a+2=-2(a-l),

，P点在直线y=-2x上

故②错误；

③YA(-1,m),B(t,m),

解得t=2a-l,

将A(-1,m)代入抛物线

得m=2-2a-a2,

/.m+2t=2-2a-a2+2(2a-l)=-a2+2a=-(a-l)2+l<l»

当a=l时，m+2t=l,

故③错误；

④・・・P所在直线为y=-2x,

将y=m代入y=-2x得，m=-2x,

解得.(=〃:七2〃一，

•・•当点P所在直线与线段AB没有交点时，

Ax<-I或x>2a-l,

整理得，a(a+2)VO或a(a-2)>0,

Aa>2,故④止确；

⑤•・•点P在原点，

••a-1=0,-2a+2=0,

/.a=1,

.••抛物线为y=-x2,

当过C的直线是x=0时，不符合题意，

则可设过C的宜线为，=心-：.

与抛物线方程联立得I4:，

整理得，4x2+4kx-l=0,

此时△>0,则此方程有两个不司根，

设M(xi,yi),N(X2,y2)»

/.xi+X2=-k,xiX2=:,

.•・(».KJ=4'.|X1X:|=:.

=2

・•・(闻♦4♦"J♦2闻闻二公・2xIx2+2|xl||xJ|=i+l,

,小1♦同■

•••(，/、口一。「十3十；)一、i’,

同理可得，CN=v.lvi-77.

ItI_CW+CW_(kl♦同)J/"_4

A

CWGV-CWxCV_1(7P7J)3-，

4

故⑤正确；

故答案为:B.

【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，由此可判断①②，利用轴对称性，由A,B坐标可得

手=〃一|•将A点坐标代入抛物线，可用a的代数式表达m,从而得到m+2l的关于a的表达式，由

一

止匕可判断③，将y=m代入P点所在直线方程，得到P点的横坐标表达式，由题意得到X<-1或x>2a-

1,从而可判断④，设过C点的直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理可得XI+X2=-k,X1X2=:•进一

步表示得到CM与CN的值，正而判断⑤即可.

13.【答案】a(a—4)

【解析】【解答】a2-4a=a(a-4).

故答案为：a(a—4).

【分析】通关观察发现各项都有公因式a,故可以逆用乘法分配律将多项式各项的公因式a提出来，从而

达到因式分解的目的。

14.【答案】1<|

【解析】【解答】解：3x-2>5x-4

-2x>-2,

故答案为：X<|.

【分析】根据一元一次不等式的方法求解即可.

15.【答案】10

【解析】【解答】VAE垂直且平分线段BO,

AAB=AO,

•・•四边形ABCD是矩形，

A.40-1K1().

2)

/.AB=AO=10cm,

故答案为：10.

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB=AO,再由矩形的性质得到AO=10,从而得到AB长.

16.【答案】--

2/-7

【解析】【解答】设左边圆的圆心为0,

过点O分别作OD_LAB,0E1BP,0F_LAP,垂足分别为点D,E,F,

A

设AP=x,OD=OE=OF=r,

SAABP=SABOP+SAAOP+SAAOB»

22

•・•△ABP和4APC的内切圆半径相等，

同理可得,

s®―

S.Q，（12r+力“T+X

r*x43

12-/4-x7-/

21-8/

解得x=

2/-7

21-8/

故答案为:

2r-7

【分析】设左边圆的圆心为。过点O分别作ODJ_AB,OE±BP,OF±AP,垂足分戕为点D,E,

F,则可设AP=x,OD=OE=OF=r,根据面积关系，得到S叱|；♦x»3|r.同理可得

|..S4Mt，♦刀♦3S加BPt

=贝九产=^^二77T,又有产二彳=匚7从而解得X的值.

17.【答案】|0

【解析】【解答】解：若扑克牌最终正面向上，则需翻动奇数次,

一般情况下，正整数的正因数成对出现，即翻动偶数次，

只有完全平方数的正因数个数为奇数，即翻动奇数次，

在1到100中，完全平方数为凡22,32,…，102,共10个，

，正面向上的张数是10.

故答案为：10.

【分析】分析可得，只有完全平方数的正因数个数为奇数，扑克翻动奇数次，非完全平方数的正因数个

数为偶数，翻动偶数次，故只需计算1到100中完全平方数的个数即可.

18•【答案】

3

【解析】【解答】过A作AE_LAB,使AE=AB,连接CE、BE.

由旋转性质，

AD=AC,ZDAC=90°,

VZDAC=90°,

AZDAB=ZEAC,

又AE=AB,

DAB^ACAE(SAS),

ABD=CE,

设AB=AE=x,

4RtABAE+，BE=®x,ZABE=45°,

.•.ZEBC=135o-45o=90°,

在RsCBE中，

CE2=BC2+BE2=ZrJ*(8-x)2=3(jr-5)2,

Qptt

・•.当x=［时，CE?取到最小值;,

..・CE最小值为：5区.

3

即BD最小值为

故答案为：

3

【分析】过A作AE_LAB,使AE=AB,连接CE、BE,可证△DABgACAE,将BD转化为CE,利用

代数表达式表示CE的长度，从而求得CE的最小值，即为BD的最小值.

19.【答案】(1)解：原式=2-1+1

=2

r-l2xx-l2

(2)解：原式~rrx一~~rvx—.

x(XfI)(X-I)X

【解析】【分析】(1)根据实数的运算法则和正切值的概念进行计算；

(2)根据分式的运算法则进行计算即可.

20.【答案】证明：由题可知,

AB平行且等于CD,ZAEB=ZCFD=90°

AZABE=ZCDF,

在AAEB和^CFD中，

ZAEB=ZCFD,

ZABE=ZCDF,

AB=CD,

.*.△AEB丝ZXCFD(AAS),

AAE=CF.

【蟀析】【分析】根据平行四选形的性质证明△ABEgACDF(AAS),由此可得AE二CF.

21.【答案】(1)解：50,

C组的人数有:50-6-10-16=18(人),

补全统计图如下：

50

・•・全校优秀的人数约为6X0人

（3）解：列树状图：

由树状图可知，

恰好抽到1名男生和1名女生的概率为1.

【解析】【解答】（1）m=10^20%=50（人）,

【分析】（1）利用B组人数除以B组所占的百分比即可求出m的值，根据总人数可求得C组人数;

（2）根据样本中C、D组人数占比，进而求得全校优秀人数；

（3）画树状图展示所有等可能的结果数，利用概率公式求解即可.

22.【答案】（1）解：tanZDFC=tan50.3°=1.20,

FC

ADC-20x1.20=24（米），

EC

tanZEFC=tan580=31.6a

FC

AEC-20x1.60=32（米），

ADE=EC-DC=32-24=8（米），

故。的长为X米.

（2）解：如图，设弧MN的圆心为O,连接NO,CO,

由题意得，MN=(25-1)x4=96米,

•・•点D是MN的中点，

ADN=1.W,V4S.

—

由垂径定理得，OE_LMN,

设。0的半径为r米，

贝|JOD=OE-DE=(r-8)米，

由勾股定理得.

OD2+DN2=ON2,

.•・(r-8)2+482",

r=148,

故正大门穹顶圆弧所在圆的半径为I4X米.

【解析】【分析】(1)根据解三角形，分别求出DC,EC,进而得到DE即可；

(2)设正大门穹顶圆弧所在圆的圆心为O,连接NO,CO,由垂径定理可得DN=48,OE±MN,设0O

的半径为r米，在RSODN中根据勾股定理建立方程即可求解.

23.【答案】(1)解:将x=l代入y=x+b,

得y=l+b,

AP(1,1+b).

令y=0,得x+b=0,

AB(-b,0),

AAB=1-(-b)=l+b.

,**SAPAB=8,

♦疗=8,,b>0,

2

Ab=3,

AP(1,4),一次函数的解析式为y=x+3.

将点p坐标代入y=n'，

x

得m=1x4=4,

，一次函数的解析式为9-v*3,反比例函数的解析式为v4.

X

(2)解：当x=0时，

y=x+3=3,

AC(0,3),

AOB=OC,

•••△BOC是等腰直角三角形，ZCBO=45°.

因由题意可知，Q(-1,0).

过点Q作直线BC得对称点E,连接AE,

由对称可知，当A,M,N,E四点共线时，△QMN周长最小，

ZEBC=ZCBO=45°,BE=BQ=-1-(-3)=2,

AZEBO=90°,E(-3,2).

AE=(-3T)2+(2-0)2=25,

・•・△MNQ周长的最小值为

【解析】【分析】(1)根据三角形面积为8先求出b的值，再利用待定系数法进行计算即可；

(2)先求出点Q的坐标，过点Q作直线BC得对称点E,再根据轴对称的性质求出△MNQ周长最小

时，即为A,M,N,E共线，求出此时AE长即可.

24.【答案】(1〉解：VACBC,-ACB120，

AZB=30o,

乂YD为AB中点，由三线合一，

ACD1AB,NACD=NBCD=60。，

•「CE平分NACD,

AZECD=30°,

ZBCE=ZECD+ZBC1)=9OU.

(2)证明：由(1)知，

为直径，设圆心为点。，连接0C，

VAC=BC,

AZCAB=ZB,

VOC=OB,

AZB=ZOCB,

JZAOC=ZB+Z0CB=2ZB=60°,

又•・・NCAB=30。，

AZACO=90°,

又TOC为半径，

4C与A/KN'的外接圆相切.

(3)解：

连接OP,设OP=OE=OC=R,

由(1)(2)得，

ZCOD=ZDCB-60n,AD=DB,

设OP=OB=OC=r,

在RsDCO中，

IG

OD=r,CD=—r,

22

在RsCDB中，

CB=^3/-,DB=AD=[r,

・・・AO=AD+DO=2r,

ODOP\

OP~7U^2'

又：/DOP=，

.ADOPSW,

PD1

..—=,

PA2

：.PA-2PD.

【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的性质以及角平分线的定义求解即可；

(2)根据(1)可得EB为直径，设圆心为点O,先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到

ZB=ZCAB=30°,再由OC=OB,得到NCO60度，则NACO=90。,即可证明；

(3)连接OP,设OP=OE=OC=r,分别