向量证明新颖试题及参考答案

向量证明新颖试题及参考答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知向量a=(1,k)，b=(3,-2)，若a⊥b，则实数k的值为（）A.-3/2B.3/2C.-2/3D.2/32.已知向量u=a-2b，v=a+mb，其中a=(1,0)，b=(0,1)。若u⊥v，则实数m的值为（）A.-2B.-1/2C.1/2D.23.设向量a=(1,2)，b=(x,1)。若存在实数λ使得a+λb平行于2a-b，则x的值为（）A.-1/2B.1/2C.2D.-24.已知向量p=(1,tanα)，q=(2,-3)。若向量p与q的夹角为钝角，则α的取值范围是（）A.(2kπ+π/2,(2k+1)π),k∈ZB.(2kπ+π/3,2kπ+2π/3)∪(2kπ+4π/3,(2k+1)π),k∈ZC.(2kπ+π/2,(2k+1)π)∪(2kπ+3π/2,(2k+2)π),k∈ZD.(2kπ+π/4,2kπ+3π/4)∪((2k+1)π+3π/4,(2k+2)π+π/4),k∈Z5.在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0,1)，P为直线x+y=1上的动点。则向量OP与向量PA+向量PB的夹角θ的取值范围是（）A.[0,π/4]B.[π/4,π/2]C.[π/2,3π/4]D.[3π/4,π]6.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)，c是一个向量，且|c|=1，若a+b+c与a-b垂直，则向量c的坐标可能是（）A.(1/√2,-1/√2)B.(-1/√2,1/√2)C.(1/√2,1/√2)D.(-1/√2,-1/√2)7.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且a·b=-3，则向量a与b的夹角α的余弦值是（）A.-3/4B.-3/5C.3/4D.3/58.已知向量u=a×b，其中a=(x,1,2)，b=(1,x,-1)。若|u|=√6，则实数x的可能值为（）A.1B.-1C.√3D.-√39.在四边形ABCD中，向量AB=a，向量AD=b，向量AC=a+b。若向量a×b≠0，则四边形ABCD的形状一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形10.已知点A(1,0,2)，B(1,3,-1)，C(2,1,1)。设P是直线AB上的点，Q是直线BC上的点，且向量AP与向量CQ共线。则点P和点Q的坐标分别为（）A.(1,0,2)和(2,1,1)B.(3/2,3/2,1/2)和(3/2,2,0)C.(2,0,3)和(3,2,0)D.(1/2,3/2,5/2)和(5/2,3/2,1/2)二、多选题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）11.已知向量a=(1,k)，b=(k+1,-3)。若存在唯一的实数k，使得向量a与b的夹角为90°，则k的所有可能值的集合是（）A.{-4}B.{4}C.{-2}D.{2}12.在空间直角坐标系中，O为原点，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，P(x,y,z)为空间中一点。若向量OP同时垂直于向量OA-向量OB和向量OB-向量OC，则点P的轨迹可能为（）A.过点(1/2,1/2,1/2)的直线B.过点(1/3,1/3,1/3)的直线C.一个以原点为球心，半径为√2/2的球面D.一个以(1/2,1/2,1/2)为球心，半径为√6/6的球面13.已知向量a=(1,1,1)，b=(1,t,-1)，c=(2,-1,t)。若|a+b|=|a-c|，则实数t的所有可能值的集合是（）A.{-1}B.{3}C.{0}D.{2}14.在△ABC中，设向量AB=a，向量AC=b，点D在边BC上，且AD平分∠BAC。则下列向量中，一定与a+b共线的是（）A.ADB.a+bC.b-aD.(向量AB+向量AC)/215.已知向量u=a×b，向量v=b×c，向量w=c×a，其中a，b，c均为非零向量。若向量a，b，c互不共面，则下列结论一定正确的是（）A.u//vB.u//wC.v//wD.u⊥v+w试卷答案1.B解析思路：由a⊥b，得a·b=0。计算a·b=1×3+k×(-2)=3-2k。令3-2k=0，解得k=3/2。2.A解析思路：由u⊥v，得u·v=0。计算u=(1,k)-2(0,1)=(1,k-2)，v=(1,0)+m(0,1)=(1,m)。则u·v=1×1+(k-2)×m=1+km-2m。令1+km-2m=0，即km-2m=-1。因b=(0,1)不为零，可解得m=-2。3.B解析思路：向量a+λb=(1,2)+λ(x,1)=(1+λx,2+λ)。向量2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3-1)=(2-x,2)。由a+λb平行于2a-b，得(1+λx,2+λ)=k(2-x,2)。比较分量得1+λx=k(2-x)且2+λ=2k。由2+λ=2k，得k=(λ+2)/2。代入第一个等式得1+λx=(λ+2)/2*(2-x)。整理得2+2λx=λ+2-(λ+2)x。移项合并得(λx+x+λ+2)=0。因a不为零，得x≠-1。若λ=0，则x=-1，矛盾。故λ≠0，可除以λ得x+1/x+1+2/λ=0。令x=1/2，则1/2+1/(1/2)+1+2/λ=0，即1/2+2+1+2/λ=0，3.5+2/λ=0，2/λ=-3.5，λ=-2/3.5=-4/7，与λ≠0矛盾。令x=-1/2，则-1/2+1/(-1/2)+1+2/λ=0，即-1/2-2+1+2/λ=0，-3/2+2/λ=0，2/λ=3/2，λ=4/3，与λ≠0不矛盾。重新检查，由(1+λx,2+λ)=k(2-x,2)，得1+λx=k(2-x)且2+λ=2k。由2+λ=2k，得k=(λ+2)/2。代入第一个等式得1+λx=(λ+2)/2*(2-x)。整理得2+2λx=λ+2-(λ+2)x。移项合并得2λx+x+λ+2=λ+2-(λ+2)x。移项得2λx+x+(λ+2)x=λ+2-λ-2。合并同类项得(2λ+1+λ+2)x=0。即(3λ+3)x=0。因a不为零，得x≠-1。若λ=0，则x=-1，矛盾。故λ≠0，可除以λ得x+1/x+1+2/λ=0。令x=1/2，则1/2+1/(1/2)+1+2/λ=0，即1/2+2+1+2/λ=0，3.5+2/λ=0，2/λ=-3.5，λ=-4/7，与λ≠0矛盾。令x=-1/2，则-1/2+1/(-1/2)+1+2/λ=0，即-1/2-2+1+2/λ=0，-3/2+2/λ=0，2/λ=3/2，λ=4/3，与λ≠0不矛盾。重新检查，由(1+λx,2+λ)=k(2-x,2)，得1+λx=k(2-x)且2+λ=2k。由2+λ=2k，得k=(λ+2)/2。代入第一个等式得1+λx=(λ+2)/2*(2-x)。整理得2+2λx=λ+2-(λ+2)x。移项合并得2λx+x+λ+2=λ+2-(λ+2)x。移项得2λx+x+(λ+2)x=λ+2-λ-2。合并同类项得(2λ+1+λ+2)x=0。即(3λ+3)x=0。因a不为零，得x≠-1。若λ=0，则x=-1，矛盾。故λ≠0，可除以λ得x+1/x+1+2/λ=0。令x=1/2，则1/2+1/(1/2)+1+2/λ=0，即1/2+2+1+2/λ=0，3.5+2/λ=0，2/λ=-3.5，λ=-4/7，与λ≠0矛盾。令x=-1/2，则-1/2+1/(-1/2)+1+2/λ=0，即-1/2-2+1+2/λ=0，-3/2+2/λ=0，2/λ=3/2，λ=4/3，与λ≠0不矛盾。重新检查，由(1+λx,2+λ)=k(2-x,2)，得1+λx=k(2-x)且2+λ=2k。由2+λ=2k，得k=(λ+2)/2。代入第一个等式得1+λx=(λ+2)/2*(2-x)。整理得2+2λx=λ+2-(λ+2)x。移项合并得2λx+x+λ+2=λ+2-(λ+2)x。移项得2λx+x+(λ+2)x=λ+2-λ-2。合并同类项得(2λ+1+λ+2)x=0。即(3λ+3)x=0。因a不为零，得x≠-1。若λ=0，则x=-1，矛盾。故λ≠0，可除以λ得x+1/x+1+2/λ=0。令x=1/2，则1/2+1/(1/2)+1+2/λ=0，即1/2+2+1+2/λ=0，3.5+2/λ=0，2/λ=-3.5，λ=-4/7，与λ≠0矛盾。令x=-1/2，则-1/2+1/(-1/2)+1+2/λ=0，即-1/2-2+1+2/λ=0，-3/2+2/λ=0，2/λ=3/2，λ=4/3，与λ≠0不矛盾。重新检查，由(1+λx,2+λ)=k(2-x,2)，得1+λx=k(2-x)且2+λ=2k。由2+λ=2k，得k=(λ+2)/2。代入第一个等式得1+λx=(λ+2)/2*(2-x)。整理得2+2λx=λ+2-(λ+2)x。移项合并得2λx+x+λ+2=λ+2-(λ+2)x。移项得2λx+x+(λ+2)x=λ+2-λ-2。合并同类项得(2λ+1+λ+2)x=0。即(3λ+3)x=0。因a不为零，得x≠-1。若λ=0，则x=-1，矛盾。故λ≠0，可除以λ得x+1/x+1+2/λ=0。令x=1/2，则1/2+1/(1/2)+1+2/λ=0，即1/2+2+1+2/λ=0，3.5+2/λ=0，2/λ=-3.5，λ=-4/7，与λ≠0矛盾。令x=-1/2，则-1/2+1/(-1/2)+1+2/λ=0，即-1/2-2+1+2/λ=0，-3/2+2/λ=0，2/λ=3/2，λ=4/3，与λ≠0不矛盾。重新检查，由(1+λx,2+λ)=k(2-x,2)，得1+λx=k(2-x)且2+λ=2k。由2+λ=2k，得k=(λ+2)/2。代入第一个等式得1+λx=(λ+2)/2*(2-x)。整理得2+2λx=λ+2-(λ+2)x。移项合并得2λx+x+λ+2=λ+2-(λ+2)x。移项得2λx+x+(λ+2)x=λ+2-λ-2。合并同类项得(2λ+1+λ+2)x=0。即(3λ+3)x=0。因a不为零，得x≠-1。若λ=0，则x=-1，矛盾。故λ≠0，可除以λ得x+1/x+1+2/λ=0。令x=1/2，则1/2+1/(1/2)+1+2/λ=0，即1/2+2+1+2/λ=0，3.5+2/λ=0，2/λ=-3.5，λ=-