第五章 相交线与平行线（4类压轴题专练）-人教版七年级数学下册复习

第五章相交线与平行线（4类压轴题专练）

【题型一平行线中含一个拐点问题】

例题：如图，AB//CDf若4=40。，ZC=26°,则NE=

【变式训练】

1.如图，AB//EF,WlJZJ,ZC,NE满足的数量关系是

E

2.已知：AB//EF,在平面内任意选取一点C利用平行线的性质，探究NA、NF、NC满

足的数量关系.

图形/B、NF、/C满足的数量关系

图⑴

图(2)

图(3)

图(4)

图(5)

图⑹

⑴将探究N8、NC、N产之间的数量关系填写下表:

⑵请选择其中一个图形进行说明理由.

【题型二平行线中含两个拐点问题】

例题：如图所示，AB//CD.BEFD是AB、CQ之间的一条折线，则/1+N2+N3+N4=

【变式训练】

1.如图，直线若N1=40。，Z2比N3大10°,则N4=

2.(1)如图①，如果48〃CD,求证：ZJPC=ZJ+ZC.

(2)如图②，［8〃CO,根据上面的推理方法，直接写出4+NP+N0+NC=.

(3)如图③，AB//CDt若乙iBP=x,NBPQ=y,/PQC=z,4QCD=m,则(用

x、y、z表不).

A-------BA_______&A________R

一—4

CZ--------D

图①图②图③

【题型三平行线中含多个拐点问题】

例题：如图，直线川?〃。£),贝IJ/2+N3+Z4-Z1-

B

【变式训练】

1.如图：

⑴如图1,/,#/2,若NP=65。，计算并直接写出4+N8的大小.

⑵如图2,在图1的基础上，将直线依变成折线P08,证明：/4+/8+/。=/0+180

⑶如图3,在图2的基础上，继续将且线方。变成折现8MQ.请你写出一条关于N1、

N2,N3,N4,N5的数量关系(无需证明直接写出)

2.猜想说理：

(1)如图，AB//CD//EF,分别就图1、图2、图3写出/4,/。，/力尸C的关系，并任选

其中一个图形说明理由：

图4图5

拓展应用：

(2)如图4,若AB//CD,贝JN/+/C+N/户C=度；

(3)在图5中,若AB〃A.D,请你用含〃的代数式表示/l+N2+N3+N4+...+N〃的度数.

【题型四平行线中与平移的综合问题】

例题：(2023下•全国•八年级假期作业)如图，线段44,8c被直线/C所截，。是线段4c

上的点，过点、D作DE〃/1B,连接XE,/B=NE,将线段沿着直线力C平移得到线段

连接DQ.

(1)求证：AE//BC-

(2)若NE=75。，DELDQ,求/。的度数.

【变式训练】

1.(2023下•陕西咸阳•八年级统考期中)如图，将“8C沿8C的方向平移得到力即.

⑴若4=74。，求NQQ的度数；

(2)若BC=3cm,EC=2cm,求“BC平移的距离.

2.（2023下•江苏淮安•七年级校联考期中）如图，将力8。沿射线口的方向平移2个单位到

力所的位置，点4&C的对应点分别点。、E、F.

⑴若力4=3,贝1］力七=.

（2）若/力8。=75。，求NCbE的度数.

3.（2023下•江西南昌•七年级统考期末）将三角形/8C沿射线4必方向平移到三角形。底"的

备用图

⑴如图1,当点。与点8重合时.

判断：NBFEZ.CBF-（用“>”、"="、"V”填空）

⑵如图2,当点。与点3不重合时，连接8户，。尸.试探究乙4C8,NCBF,NBFD三个角之

间的数量关系，并证明你的结论.

4.（2023下河北邢台七年级校考期末）如图1,AB,AC被直线/C所截，々=72。，过点4

作/E〃叱，。是线段4c上的点，过点、D作DE〃/B交AE于点、E.

⑴求的度数；

（2）将线段AE沿线段AC方向平移得到线段PQ,连接DQ.

①如图2,当"00=45。时,求N。的度数；

②如图3,当/上。。=90。时，求/。的度数：

③在整个平移过程中，是否存在/加0=3/。？若存在，直谈写出此时㈤乂的度数，若不存

在，请说明理由.

5.（2023下•福建泉州•七年级统考期末）如图，将线段.44平移得到CQ,使A与。对应，B与

。对应，连接力。，BC.

（1）求证：NB=N4DC；

⑵点。在8c的延长线上，点C与U关于直线QG对称，直线。U交8c的延长线于点E.点/

在线段上，且NDFE=NEDF.

①设4=a,求NQG的度数（用含。的代数式表示）；

小、主如CGCD

止明：—

②IGEDE

6.（2023下•北京海淀•七年级期末）如图，已知线段1八点C是线段外一点，连接力C,

=a（90。<a<180。）.将线段六沿力3平移得到线段即.点尸是线段”上一动点，连接

PD.

图1备用图

⑴依题意在图1中补全图形，并证明：NCPD=NPCA+ZPDB；

（2）过点C作直线/〃PQ.在直线/上取点加，使乙HQC=g/CQP.

①当a=120。时，画出图形，并直接用等式表示与N8OP之间的数量关系；

②在点。运动的过程中，当点P到直线/的距离最大时，/出力的度数是（用含a的式

子表示）.

第五章相交线与平行线（4类压轴题专练）

【题型一平行线中含一个拐点问题】

例题：如图，AB//CDf若4=40。，ZC=26°,则NE=

【答案】66。##66度

【详解】解：如图所示，过点E作£尸〃/18,

VEF//AB,AB//CD,

AB//CD//EF,

：.ZAEF=ZA=40°,NCEF=/C=26。,

：.ZAEC=Z.AEF+NCEF=66°,

故答案为：66。.

【变式训练】

1.如图，AB//EF,则N4ZC,NE满足的数量关系是

二EF

【答案】4+4+/£=360。

【详解】如下图所示，过点。作C。"/加，

•:CD//AB,

・,・4+/力。力=180。（两直线平行，同旁内角互补），

VAB//EF,CD//AB,

CD//EF,

AZ£+ZZ）C£=180°（两直线平行，同旁内角互补），

N4+NACD+ZE+/DCE=360°,

44+4CE+NE=360°.

・••在原图中N/I-NCI-，E=36。。,

故答案为：4+NC+NE=36C。.

—B

7)

2.已知：AB//EF,在平面内任意选取一点C利用平行线的性质，探究N3、NF、NC满

足的数量关系.

图形/B、/尸、/C满足的数量关系

图（1）

图(2)

图(3)

图(4)

图(5)

图(6)

⑴将探究NB、NC、乙F之间的数量关系填写下表:

⑵请选择其中一个图形进行说明理由.

【详解】（1）

解：/B、ZC>N/之间的数量关系如下表：

图形NB、NF、NC满足的数量关系

图(1)Z5+ZF=ZC

图(2)/F-/B=/C

图(3)/B・/F=NC

图(4)N3+NP+/C=360。

图(5)/B-/F=/C

图(6)/F-/B=/C

(2)

解：图(1)NC与NB、NQ之间的数量关系是：N8+NQNC.

图(1)

理由：过点。作CG〃力以

:・/BCG=/B,

■:AB〃EF,

：.CG//EF,

:"GCF=/F,

：./BCG+/GCF=/B+/F,

:"B+/F=4BCF；

图(2)NC与NB、//之间的数量关系是：/F・/B=/C.

图(2)

理由：过点。作CG〃44,

:・/BCG=/B,

■:AB〃EF,

:.CG〃EF,

:"GCF=/F,

・・・/GCF・/BCG=/F・/B,

:・/F-NB=/BCF；

图(3)NC与NB、N/之诃的数量关系是:4B-/F=/C.

理由：过点。作CG〃/8,

：・/BCG=/B,

■:AB〃EF,

:,CG〃EF,

:・/GCF=/F,

：.ZBCG-ZGCF=4B-4F,

:"B-/F=/BCF：

图(4)/C与NB、Nb之间的数量关系是:N8+N/?+NC=3600.

理由：过点。作。7〃4以

・・・N8CG+N3=180。，

■:AB//EF,

：.CG//EF,

.*.ZGCF+ZF=180o,

・・・/BCG+/B+ZGCF+ZF=180°+180°,

・•・/B+/F+/BCF=360。；

图(5)/C与NB、N厂之间的数量关系是:/B-/F=/C.

--G

B,

图(5)

理由：过点。作CG〃力以

：,/BCG=/B,

■:ABHEF,

：.CG//EF,

:・/GCF=/F,

：./BCG-ZGCF=/B-/F,

：・/B-/F=/BCF；

图(6)/C与/B、N/之间的数量关系是：ZF-ZB=ZC.

理由：过点。作CG〃力8,

:・/BCG=/B,

YAB//EF,

:・CG〃EF,

："GCF=4F,

工NGCF-NBCG=^F・RB，

・•・/F・/B=/BCF；

【题型二平行线中含两个拐点问题】

例题：如图所示，AB〃CD、BEFD是AB、C。之间的一条折线，则Nl+N2+N3+/4=

【答案】540。

【详解】解：连接80,如图,

":AB〃CD,

・・・N/5D+NCO8=180。，

•••N2+N3+NE8D+N必0=360。，

AZ24-Z3+NEBD+/FDB+ZABD+ZCDB=540°,

即Nl+/2+N3+N4=540°.

故答案为：540°.

【变式训练】

1.如图,直线l\〃h,若Nl=40。,Z2比N3大10°,则N4=

【答案】30。##30度

【详解】解：过4点作45〃直线/I,过。点作C。〃直线/2,

/.Z5=Z1=4O°,Z4=Z8,

•.•直线八〃/2,

：.AB//CD,

/.Z6=Z7,

/1

.*.Z2-Z3=10°,

VZ5+Z6=Z2,Z7+Z8=Z3,

/.Z5+Z6-Z7-Z8=10°,

.•.40°-Z4=10°,

解得N4=30。.

故答案为：30。.

2.(1)如图①，如果48〃CD,求证：ZJPC=ZJ+ZC.

(2)如图②，根据上面的推理方法，直接写出4+NP+NQ+NC=.

(3)如图③，AB//CD,若NABP=x,NBPQ=y,/尸0C=z,NQCD=m,则(用

ZJ=AAPM,

•:PM〃AB、AB//CD(已知)，

PM〃CD,

ZC=NCPM,

*.*Z.APC=Z.APM+Z.CPM,

ZL4PC=ZJ+ZC；

(2)如图，过点P作尸E〃4B,过点。作。尸〃”,

■:AB〃DC,PE//ABtQF〃AB,

/.AB//PE//QF//CD,

・・・4+N4PE=180。，NEP。+/PQF=180。,ZF0C+Z0CZ)=180°,

/.ZJ+£APQ+APQC+ZC=540°,

故答案为：540°：

8

E

F

r

(3)过点。作PE〃/18,过点。作。F〃彳8,

VAB//DCfPE//AB.QF/iAB,

.・.AB//PE//QF//CD,

ZB=ZBPE,/QPE=/PQF,ZFQC=ZC,

.../B+NPQC=ZC+/BPQ,

同Jx+z="?+y,

：.m=x+z-y,

故答案为：x+z-y.

A---------yB

”埠一E

CL---------D

【题型三平行线中含多个拐点问题】

例题：如图，直线48〃CQ,贝IJ/2+N3+N4—Nl—N5的度数为1

【答案】360

【详解】过E作E/〃CD,过G作G"〃CQ,过M作MN〃CD,如图所示:

,:CD〃AB,

：.EF//GH//MN//AB//CD,

；・/l=NBEF,/GEF+/EGH=180。,N〃GM+NGA/N=180。，/NMC=/5,

•：N2=NBEF+/GEF,/3=/EGH+/HGM,/4=/GMN+/NMC,

：.Z2+Z3+Z4-Z1-Z5=NBEF+NGEF+4EGH+ZHGM+乙GMN+4NMC-NBEF-4NMC

=Z.GEF+4EGH+NHGM+NGMN=360°.

故答案为：360.

【变式训练】

1.如图:

⑴如图1,l\〃L若NP=65。,计算并直接写出4+/8的大小.

⑵如图2,在图1的基础上，将直线f8变成折线久?8,证明：++/尸+180

（3）如图3,在图2的基础上，继续将且线5。变成折现8M0.请你写出一条关于/1、

N2,23,Z4,N5的数量关系（无需证明直接写出）

【详解】（1）

解：过尸作PE〃/1

：.PE//ll//l\

・・・NZ=/1,/8=/2

・・・N/P8=N1+N2=N4+N8=65。

BPZ/1+ZW50；

(2)

证明：过点P、。分别作“和/2的平行线分别记为/3和/4

*.71/7/2

：.H//12//I3//I4

V/l/7/3（已知）

・•・//=/1（两直线平行，内错角相等）

•：13〃14（已知）

・・・N2=N3（两直线平行，内错角相等）

VZ2/7Z4（己知）

・・・/4+/8=180。（两直线平行,同旁内角互补）

・・・N4+N3+N4+N8=N1+N2+180。

又・.・N1+N2=NP,N3+N4=N。

・・・N/+N8+N0=NPH8O。.

（3）

解：如图，分别过尸，0,用作产。〃/1,QD//IA,ME//IX,

图3

・"〃心

PC//QD//ME//lJ/l2

：.Zl=ZAPC,/QPC=/PQD,/DQM=/EMQ,/EMB=/5,

；・N2=N1+NPQD,Z4=Z5+ZDQM,

.•・N2+N4=N1+N〃W>+N5+NO0M=N1+N3+N5,

.\Z11Z3+Z5=Z2»Z4.

2.猜想说理：

（1）如图，AB〃CD〃EF,分别就图1、图2、图3写出/力，ZC,/力尸。的关系，并任选

其中一个图形说明理由：

拓展应用:

(2)如图4,若AB//CD,贝j4+/C+4"=度;

（3）在图5中，若48〃“），请你用含〃的代数式表示4+N2+N3+/4+…+4的度数.

【详解】解：(1)如图1:ZJ+ZC=ZJFC,

如图2:NA-NC=4FC,

如图3:NC-NA=N4FC,

如图1说明理由如下：

VAB//CD//EF,

：.NA=/AFE,ZC=NEFC,

ZL4+ZC=ZAFE+AEFC,

BPZJ+ZC=ZJFC；

(2)如下图：

过厂作切〃力8,

ZJ+ZJF//=180°,

又•：AB〃CD,

：.CD//FHt

：.NC+NC777=180。,

4+N4E〃+NC+NCF〃=360。,

即N/+NC+N/产。一360。；

故答案为：360；

(3)如下图：AB〃CD,

过后作EG〃48,过户作;7/〃力8,

VAB//CD,

：.AB//EG//FH//CD,

・・・N4+N/1EG=180。，NGEF+/EFH=180。,ZHFC+ZC=180°,

N4+N/lEG+NG£7r+NE/7/+N〃rci+NC=180°x3,

即N/+N/£F+N£7%:+NC=540。；

综上所述：

由当平行线48与CD间没有点的时候，Z4+ZC=180°,

当4、C之间加一个折点/时，4+NUC+NC=2xl80。；

当力、C之间加二个折点E、/时，则乙1+4£尸+/£产C+NC=3xl80。；

以此类推，如图5,Afi//Aft,

当4、4之间加三个折点4、4、4时，

则幺+ZJ2+乙4壮乙幻~乙方4X180C；

当4、4之间加〃个折点4、4、…4』时，

则/4+N4+N4+…//=5-1)x180),

即Z1+N2+N3+N4+…+/〃的度数是()x18()。.

【题型四平行线中与平移的综合问题】

例题：(2023下•全国•八年级假期作业)如图，线段48,8C被直线4c所截，。是线段4c

上的点，过点。作。E〃川?，连接力E,NB=NE.将线段/E*沿着直线4c平移得到线段尸0,

连接DQ.

E

ri

Q

BC\

⑴求证：AE//BC-

⑵若/E=75。，DE工DO,求/。的度数.

【答案】⑴见解析

(2)/。=15。

【详解】解：(1)证明：TOE〃48,「.NB仿+NE=180。.

,:乙B=4E,；.NB4E+NB=180°,/.AE//BC.

(2)如图，过点。作。尸〃NE交48于点R则DE+DM尸=180。.

VZf=75°,/.Z£：DF=180°-ZE=105°.

由平移的性质，得尸。〃力E,

DF//PQ,Z.FDP=^DPQ,

•;DE上DQ,:.ZEDQ=90°,

:.乙FDQ=360°-105°-90°=165c.

•••/FDQ=4FDP+ZQDP,

:"DPQ+NQDP=AFDQ=165°,

/./（?=180o-165°=15°.

【变式训练】

1.（2023下•陕西咸阳•八年级统考期中）如图，将“8c沿8C的方向平移得到

⑴若4=74。，求ND"*的度数；

(2)若BC=3cm,EC=2cm,求毛5c平移的距离.

【答案】（1）74。

（2）lew

【分析】（1）根据平移的性质，得到对应角相等，即可得解；

（2）根据=求出8E的长，即为平移的距离

【详解】（1）解：将“8C沿8c的方向平移得到

:.NDEF=NB=74°；

（2）解：•:BC=3uii,EC=2u;n,

:.BE=BC-EC=lcm,即：/BC平移的距离为lc〃7.

【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键.

2.（2023下•江苏淮安•七年级校联考期中）如图，将沿射线48的方向平移2个单位到

必由的位置，点4B、C的对应点分别点。、E、F.

⑴若力"=3,贝lj4E=.

（2）若4BC=75。，求NC尸石的度数.

【答案】（1）5

（2）105°

【分析】（1）根据平移的定义可知8E=2,进而可知力E=5；

（2）根据平移的性质可知BC〃），AE//CF.再利用平行线的性质解答即可.

【详解】（1）解：•・•将A/AC沿射线”的方向平移2个单位到力"'的位置，

BE=2,

VAB=3t

：.AE=BE+AB=2+3=5,

故答案为5；

（2）解：由平移的性质可知：BC〃EF,AE//CF,

.•・/E=NABC,Z£+ZCF£=180°,

/ABC=75°.

・•・Z£=75°,

Z.CFE=180。-NE=180°-75°=105°.

【点睛】本题考查了平移的性质，平移的定义，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题

的关键.

3.（2023下•江西南昌•七年级统考期末）将三角形力水?沿射线4V方向平移到三角形。"'的

备用图

⑴如图1,当点。与点8重合时.

判断：/BFEZCBF；(用“>"、"=”、"V”填空)

⑵如图2,当点。与点8不重合时，连接8尸，CF.试探究4CBF，NBFD三个角之

间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】（1尸

(2)ZACB=4CBF+/BFD或乙4cB=NCBF-/BFD,见解析

【分析】（1）根据平移的性质得出结论;

（2）根据点。的位置可分为点。在点8左边和点。在点8右边两种情形，利用平行线的性质

得出结果.

【详解】（1）解：=,理由如下:

•・•三角形。EV是由三角形平移得到,

，BC〃EF,

：./BFE=/CBF；

（2）解：根据点。的位置可分为两种情形,

ZACB=NDFE,

•.*BC//EF.

/BFE=Z.CBF,

ZACB=4CBF+/BFD.

由平移的性质可得：AC//DFfBC//EFfZACB=ZDFEt

•：BC//EFf

：.NBFE=Z.CBF,

ZACB=ZCBF-NBFD.

【点睛】本题主要考查图形的平移和平行线的性质，灵活运用这些性质和特点是解题的关键.

4.(2023下•河北邢台•七年级校考期末)如图1,被直线4c所截，4=72。，过点/

作/E//BC,。是线段4c上的点，过点。作。石〃/8交力E于点£

(1)求/E的度数；

⑵将线段AE沿线段AC方向平移得到线段PQ,连接DQ.

①如图2,当“。。=45。时，求N。的度数；

②如图3,当/石。。=90。时，求/。的度数；

③在整个平移过程中，是否存在"。。=3/0?若存在，直•接•写出此时4D2的度数，若不存

在，请说明理由.

【答案】(1)/石=72°

(2)①/。=27。；②/。=18。；③存在，/£。。=54。或/后。。=108。

【分析】(1)利用平行线的性质得/瓦比+”=180。,/E+/BIE=180°,根据同角的补角相等

可得答案；

(2)①如图1中，过点。作。尸〃/E,则/EZW=NE=72。，再证明。尸〃夕。，根据平行线的

性质可得答案；

②如图3中，过点。作。P//.4E,则47»=4=72。，再证明。尸〃?Q,根据平行线的性质可

得答案即可求解；

③分两种情形：图2,图3分别求解即可.

【详解】(1)VAE//BCf

：.N54E+N8=180°.

•；DE〃AB,

:.NE+NB/E=180。,

ZE=ZB=72°；

(2)①如图2,过点D作DF〃力E,

Z£PF=Z£；=72O,

.・.NFDQ=NEDF-NEDQ=72°-45°=27°.

VPQ//AEfDF//AE,

・・.DF//PQ,

/./Q=4FDQ=27。；

②如图3,过点D作DF/"E,

：.ZEDF=/E=讨,

：.Z.FDQ=ZEDQ-/EDF=90°-72°=18°.

•/PQ//AEf

：.DF//PQ,

Z0=ZFD0=I8°；

③存在，/m。=54。或/&)0=108。.

如图2,当皿。=3/。时,

由①知，3/。+/。=72。，4=18。，

.・・/即。=54。；

如图3,当/功。=3/。时，

由②知，3/。=/。+72。，4=36。，

/.ZEDQ=\0S°

图2图3

【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造平行线解次问题，井学会用分类讨论的思想思考问题.

5.（2023下•福建泉州•七年级统考期末）如图，将线段.44平移得到C。，使A与。对应，B与

。对应，连接BC.

（1）求证：NB=/ADC；

（2）点G在8c的延长线上，点C与C关于直线。G对称，直线。C交8C的延长线于点E.点产

在线段C£上，且NDFE=/EDF.

①设4=a,求/"OG的度数（用含。的代数式表示）；

②证明：洋票

G匕L）L

【答案】（1）证明见解析

（2）①/尸0G=ga；②证明见解析

【分析】（1）根据平移的性质可知力O〃AC,AB//CDt再利用平行线的性质可知4QC=N4；

（2）①根据平行线的性质及对称的性质可知乙〃）C=240G,进而可知"。G=＞；②根据

对称的性质可知ACOG的面积与△DGC'的面积相等，再利用等面积法可知萼=兽.

（JEDE

【详解】（1）证明：将线段相平移得到CO,使A与。对应，B与C对应,

・•・由平移性质知力。〃所，AB//CD,

：.ZADC=Z.DCF,NB=Z.DCF,

・・・ZADC=NB；

(2)①解：,・•由(1)知AD〃BC,

：./ADF=Z.DFE,

/DFE=NEDF,

：.ZADF=4EDF,

NEDF=Z.FDG+Z.EDG,NADF=ZADC+/CDF,

ZADC+/CDF=NFDG+4EDG,

由对称性质知，NCDG=/EDG,

ZEDG=ZCDF+ZFDG,

^ADC4-4CDF=£FDG+Z.CDF+£FDG,

4DC=2/FDG,

♦:乙B=a,N4DC=NB=a,

NFDG=；

②证明：过G作GU_LOC于M,GNtDE于N,并连接GC',

・••由对称性质知，ACOG的面积与△OGU的面积相等，CD;dD,

■:S—=gcDGM，S^G0c，=gc'D-GN，

乙乙

GM=GN,

■:SS=：DEGN，

s—CD•GM

•-△CQG_2_________

DE

S^EDG-DEGN

2

过。点作。于点〃，

s-CGDH

则山网.=2-------=Wrr

'SdEDG-GEDHGE

2

.CG=CD

*~GE~~DE

【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，轴对称的性质，掌握平移的性质及轴对称

的性质是解题的关键.

6.（2023下•北京海淀•七年级