全等三角形及其性质（讲义）-人教版八年级数学上册（解析版）

全等三角形及其性

考点1全等三角形的概念与对应元素

知识点1全等形

形状、大小相同的图形放在•起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫作全等形.

知识点2全等三角形

1.全等三角形的有关概念

一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形.这两个三角形可以重:合.我们把两个能完全

重合的三角形叫做全等三角形.互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角

叫做对应角.

2.全等三角形的表示方法

全等用符号“三”表示，读作“全等7”.

表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.这样容易写出对应边、对应角.如图

中的△力BC与△DEF全等，记作“△ABC=△DEF',点4与点。、点8与点E、点。与点E是对应顶点.

D

B

【题型1全等三角形的识别与符号表示】

【例1】（25-26八年级下•广西崇左•开学考试）如图，七巧板中有5个等腰直角三角形（①〜⑤），其中与

三角形③全等的是（）

\©

//⑤|

A.⑤B.④C.②D.①

【答案】B

【详解】解：与三角形③全等的是④.

【变式1-1］（2026七年级下•全国•专题练习）已知在△48C和△TIC'中，力与A',8与夕是对应点，则

△.43。和^，夕。'全等用符号语言表示为：.

【答案】△48。三△，夕。'

【详解】解：在△A8C和中，力与，，8与1是对应点，则△ABC和△，夕。'全等用符号语言表

示为：△力BCw△A'B'C'.

【变式1-2］（24-25七年级下•上海徐汇•期末）已知△力BC的三边长互不相等，若以8、C为两个顶点画不

同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与△48。全等，这样的三角形最多可以画

___________个，

【答案】3

【分析】本题主要考杳了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可.

【详解】解：如图，可以画△&BC、△/BC、△&8C与△48C全等，因此这样的三角形最多可以画3

个.

故答案为：3.

【变式1・3］全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角

形.假如和△HC'是全等二角形，且点力与点,对应，点4与点》对应，点。与点C'对应.如下

图，当沿周界及HTB'TC'T"环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动

方向相反，则称它们是镜面合同三角形.

下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有

【分析】本题主要考查了全等三角形.根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解.

【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反，

••・属于镜面合同三角形的有①③.

故答案为：①③.

【题型2寻找全等三角形的对应顶点、对应边和对应角】

【例2】如图所示，4ACB三ADEF,其中4与D,C与E是对应顶点，则CB的对应边是,乙48。的对

应角是.

【答案】EF乙DFE

【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角.解题的关键是牢记"全等三角形的对应边相等，对应角

相等”即可.解题时要找对对应边，对应角即可.

【详解】解：•••△相8三凡

:.CB=EF,Z.ABC=乙DFE,

••.CB的对应边是EF,乙48c的对应角是4DFE.

故答案为：EF,乙DFE.

【变式2・1】（24-25八年级上广西崇左,阶段检测）如图，两个三角形与△BOE全等，观察图形,

判断在这两个三角形中边8D的对应边为（）

EB

ADC

A.BEB.ABC.CAD.BC

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的对应边的含义.注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.观察

图形，找到与长度相等的边即可.

【详解】解：观察图形可知：BE>AB,BE>BC,

，BE和AC是对应边，

而显然30和BC是两个三角形中最短的边，是对应边，

，边8。的对应边为8C.

故选D.

【变式2-2]如图，△ABgACDA.下歹U结论：①AB与4。是对应边；②AC与CA是对应边；③与

是对应角；④N&4B与乙4CD是对应角.其中正确的是.（填序号）

DC

N

【答案】②④

【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角.

根据全等三角形的有关概念，即可求解.

【详解】解：•••△ABCwACZM,

••MB与CD是对应边，故①错误；

4c与CA是对应边，故②正确；

△B4C与乙力CD是对应角，故③错误；

4a18与乙力CO是对•应角，故④正确.

所以正确的有②④.

故答案为：②④

【变式2-3]（24-25七年级下•全国•课后作业）如图，已知乙1=42,乙B=功,△ABC和全等，则

下列表示正确的是（）

A.^ABC^^AEDB.△ABC=△EAD

C.△ABC^△DEAD.△AHC^△ADE

【答案】D

【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义.根据题意找出

对应点，即可解题.

【详解】解：Z1=Z2,

•••E与C相对应，

vZ.B=Z.D,

•••B与。相对应，

•••^ABC^^ADE,

故选:D.

【题型3分割成几介全等三角形】

【例3】（24-2S七年级下•全国•期中）请把加图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形.

【答案】见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定，选择对边的两个中点连接即可分得两个全等的图形；分别连接对边

的两个中点即可得到四个全等的图形；分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可得到8个全等的

图形.

【详解】解：所作图形如下所示：

2个4个8个

【变式3-1】（2025八年级上•全国・专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四

个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含60。的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个

全等的直角三角形，三个全等的直角三角形.

请你在图中依次画出分割线;

【答案】图形见详解

【分析】本题考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定等知识点.根据要求画出图形即可.

【详解】解：分割线如图所示:

图1图2

【变式3-2］（24-25八年级上•云南大理•期中）如图，在11X10的网格中，每个小正方形的边长都是1,AABC

与△48C的边交于点D；

⑵在图乙中画△ABE,使得△48。与△ABE全等（只画一个）.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了作图一格点作图，三角形中线的性质、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活

运用是解此题的关键.

（1）根据网格即可画出△ABC的中线CD；

（2）根据网格结合全等三角形的性质即可画出△4BE.

【详解】（1）解：如图：CD即为所作,

【变式3-3】小红想将一个等边三角形沿着图中的虚线剪下得到几个全等三角形，下列操作中沿虚线剪下得

到的三角形是全等图形的是（）

【答案】C

【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法依次判断即口J.

本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【详解】解；A.将等边三角形沿底边的三等分点和顶点的连线剪下，根据SAS可得左右两个三角形全等,

但不与中间三角形全等.故A选项不符合题意；

B.将等边三角形沿底边的四等分点和顶点的连线剪下，根据SAS可得左右两个三角形全等，中间两个三角形

全等，但这四个三角形不全等，故B选项不符合题意；

C.将等边三角形沿三条边中点的连线剪开.根据SAS可得这四个三角形全等.故C选项符合题意；

D.在等边三角形顶角的平分线上任取一点，再连接两个底角的顶点，沿虚线剪开.根据SASHJ得左右两个

三角形全等，但不与下面的三角形全等.故D选项不符合题意.

故选：C

考点2利用全等三角形的性质计算

知识点2全等三角形的性质

1.全等三角形的对应边相笠，对应角相笠.

2.全等三角形的其他性质

（1）全等三角形的周长相等；

（2）全等三角形的面积相等；

（3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的面相等.

【题型4利用全等三角形对应角相等求角的大小】

【例4】（24-2S七年级下•福建宁德•期末）加图，三△CO。，4/02=110。，OB±OC,则

乙DOB=___________

【答案】20

【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键.根据△408工△COD,可

得=Z.AOB=110°,再由4。8=4COD—4BOC可得结果.

【详解】解：v△NOB三△C。。，

ALCOD=Z.AOB=110°,

•••OBLOC,

Z.BOC=90°,

•••乙DOB=Z.COD-Z.BOC=110°-90°=20°,

故答案为：20.

【变式4・1】（25-26八年级上•广东汕头•期末）如图,△ABCzADEF,乙8=40。，ZD=80%则乙4的度

数是（）

A.100°B.80°C.60°D,40°

【答案】B

【分析】本题考查全等二角形的性质，利用全等二角形对应用相等，即可得到乙A的度数.

【详解】解：•:AABg4DEF,Z.D=80°,

••.Z.4=Z.D=80°.

故选：B.

【变式4-2］如图，AABC三AAED,若484C=40。，Z.CAE=15°,则NC4D等于'

A

【答案】55

【分析】根据全等三角形的性质得到4E4D=40。，即可求出N&4D的度数.

【详解】解：三△AED,Z-BAC=40°,

.•.4F4D=Z.BAC=40°,

-Z.CAE=15°,

.•.皿。=40。+15。=55°.

【变式4-3］（25-26八年级上•山东潍坊・期中）如图，已知△4BC三△ADE,的延长线交。A于点厂，交DE

于点G,£D=25°,乙E=120°,Z.DAC=25°,则NEG8=度.

D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；

本题根据三△40E可得44cB=NE=120。，求得=95。，根据等量变换，然后即可求解乙EG&

【详解】解：•••△48C三△40E,

•ZACB=ZF=120°,

•:乙ACB=Z.DAC+乙4FC,

:•乙AFC=LACB-LDAC=120°-25°=95°,

•3FG=乙AFG=950,

：/EGB=zD+Z.DFG=25°+95°=120°,

故答案为：120°；

【题型5利用全等三角形对应边相等求线段的长度】

【例5】(25-26八年级上•福建福州•期末)如图，已知△4DC三△AEB,AB=8,CE=5,贝J4E的长度为

().

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本题考杳全等三角形的性质，线段的和差运算，掌握好相关知识是关键.

根据全等三角形对应边相等的性质可得/C==8,作差求出4E的长.

【详解】解：•••△力。。三△力E8,

-'•AC=AB=8,

.-.AE=AC-CE=Q-5=3.

故选；B.

【变式5-1](25-26八年级上•安微合肥•期末)如图，若△4BC三△40E,AB=5,AE=2,则CD的长为

()

【答案】C

【分析】本题主要考查全等三角形的性质，通过全等三角形得到对应边相等是解题的关键.

首先根据全等三角形得到｛0=48=5,AC=AE=2,即可求解CO的长.

【详解】解：•••△A8C三△ADE,AB=5,AE=2,

•••AD=AB=5,AC=AE=2,

.'.CD=AD-AC=5-2=3,

故选：C.

【变式5-2】已知△/BC三,4ABC的三边为5、m、n,尸的三边为11、p、q,若△ABC三

边均为整数，则加+九+2+勺的最小值为.

【答案】30

【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形三边关系，由△力BC三△。£尸，则小九中有一边为11,p、q

中有一边为5,m、九与p、q中剩余两边相等，通过三角形三边关系可知两三角形剩余两边最小为7,然后根

据周长公式即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键.

【详解】解：•••△OBCeZiDEF,

•••m,n中有一边为11,p、q中有一边为5,zn、n与p、q中剩余两边相等，

•••11-5=6,

•••两个三角形剩余两边最小为7,

二6+几+p+q的最小值为：11+5+7+7=30,

故答案为:30.

【变式5-3]如图，己知△48。三△/)£1「，DF||BC,且4B=60。，ZF=40°,点/在上，求/从4。的度数.

E

A

/DL------------\、F

BL-------

【答案】20°

【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定和性质.

根据全等三角形的性质得到NB=NE=60。，zf=ZF=40°,根据平行线的性质得到Nl=NC,进而证明

ACIIEF,可得42=zF=60°,进而计算即可.

【详解】解：如图所示，

•：AABCmADEF,

：/8=Z-E=60°,zC=ZF=40'.

vDF||BC,

AZ1=",

AZ1=乙F,

MC||EF,

•••Z.2=Z.E=60°.

-LBAC=1800-z/?-zC=180°-60°-40°=80°,

.'./.BAD=^BAC-A2=80°-60°=20°.

【题型6利用全等三角形性质求周长与面积】

（ft6］（25-26八年级上•安徽亳州・期末）如图,在△4BC中,于点。、E是CD上一点、,若

△BDE三△GX4,48=14,AC=12,则△8DE的周长为（）

A

BC

A.20B.22C.24D.26

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键.

根据全等三角形的性质，可得DE=DA,BE=&4,再根据周长为

BD+DE+BE=BD-i-DA+CA=BA+CA,即可求解.

【详解】解：BDE=△CDA,

.-.DE=DAtBE=CA,

vAB=14,AC=12,

则△BDE的周长为80+DE+BE=BD+DA+CA=BA+CA=14+12=26.

故选：D.

【变式6」】如图，△ABC中，乙4cB=90°,将△/WC沿4c方向平移力。的长度得至ljZkOE凡且/W=3,BC=6,

BG=2,则图中阴影部分的面积是.

【答案】15

【分析】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图

形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个

点是对应点.连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等.先根据平移的性质得到△。£?三2\48。即

BC=EF=6,CF=AD=3,可求出CG=4,最后根据梯形的面积公式计算即可.

【详解】解：••・将△48。沿AC方向平移AD的长度得到

:•ADEFwAABC,

:.BC=EF=6,CF=AD=3,

•：BG=2,

•••CG=BC-BG=4,

闭影=1x(4+6)x3=15.

故答案为：15.

【变式6-2]（24-25八年级上•湖北•期中）中国古代数学家刘徽仕《九章算术注》中，给出了证明二角形面

积公式的出入相补法.如图，在△48C中，分别取AB,4C的中点D,E,连接DE,过点川乍4/10E,垂足

为人将△48。分割后拼接成长方形BCWG.若。E=5,AF=3,则△ABC的面积是.

【答案】30

【分析】本题考查了全等三角形的性质.熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.

由题意知，AADFZARDG,△40/三△BOG,则。尸=OG,EF=EH,AF=BG=3,可求0G=10,根

据ZABC=S长方形BC〃G=BGxDG,计算求解即可.

【详解】解：由题意知，△710尸三△BDG,AADF三ABDG,

•••DF=DG,EF=EH,AF=BG=3,

.--Du+DF+EF+EH=2DE=10,

•••长方形BCHG,

••,S&A8C=S长方形BCHG=BGxDG=30，

故答案为：30.

【变式6-3]（24-25八年级上•湖南衡阳・期末）如图，△4BC三△4OE,点E在边BC上（不与点8,C重

合），DE与AB交手点、F.

(1)若=110°,^.BAE=30°.求484。的度数;

(2)若AD=10,BE=CE=4.5,求△力。尸与△BE尸的周长和.

【答案】(1)40°

(2)33.5

【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；

(I)利用全等三角形的性质、等式的性质可得=然后利用角的和差关系求解即可；

(2)利用全等三角形的性质可求出入B=4。=10,BC=DE=9,然后利用三角形的周长公式求解即可.

【详解】(1)解:•・•△ABC三

：ZBAC=乙DAE,

.,./-CAE=乙BAD,

:4CAD=110°,Z-BAE=30°,

.-.Z.CAE+Z.BAD=Z.CAD-Z.BAE=80°,

；/BAD三乙CAE-40°；

(2)解：•.乂0=10,8E=CE=4.5,△ABC三△力。E,

：.AB=AD=10,BC=DE=BE+CE=9,

△4DF与△BEr的周长和为4。+DF+AF+BF+EF+BE

=AD+(DF+EF)+(AF+BF)+BE

=AD+DE+AB+BE

=10+9+10+4.5

=33.5.

考点3全等三角形在图形变换与位置关系中的应用

知识点3全等变换

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后

的图形全等.

如图(1),把△ABC沿8C所在直线向右平移一段距离，得到△/)£/，则

如图(2),把△4BC沿8c所在直线翻折，得至iJZkDBC,贝lj△4BC三△OBC.

如图(3),把△力BC绕点力旋转，得到△4ED,则三△4E0.

A

【题型7平移背景下的全等三角形性质应用】

【例7】如图，△48C的边长8C长为7cm,将△ABC向上平移3cm得到△力'"。'，己知四边形BCC®为长

方形，则阴影部分的面积为

【分析】本题考查平移的性质、矩形的面积公式,证明△ABC三△48。及S阴影=S四边形BCC，B'+

S^ABC—S四边形BCCW是解题的关键.

r

由平移得88,=3cm,△A'B'C'^△/^。，可得^谢=S^A'B'C,再根据S阳影=S四边形九厂1+55夕/一

S^ABC=5四边形BCCW，即可求解・

【详解】解：由平移得B8'=3cm,△，1C'三△4BC,

'S^ABC~S〉A'B'c'，

'S阴影=S四边形BCC'B'+^^A'B'C'~^^ABC=S四边形BCC'BJ

•.•四边形BCC'8'为长方形，BC=7cm,

S四边形BCC'B'=BC♦BB=7x3=21（cm）,

・•・S阴影=21cm2,

故答案为:21cm2.

【变式7-1]（24-25七年级下•江苏南京•阶段检测）如图，△DET由△ABC平移得到，下列说法中，不正

确的是（）

A.AB||DEB.CF||BE

C./-ABC=Z-DFED.Z.BAC=Z-EDF

【答案】C

【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质，逐项遂行判断即可.

【详解】解：•••△DE尸由△45C平移得到，

M8IIDE,CF||BE,△ABCmADEF,

:•iABC=乙DEF,Z.BAC=Z.EDF,

因此乙48c工乙DFE,选项C错误，符合题意.

故选：C.

【变式7-2】如图所示，△ABC平移得到△/）£/，若ND£T=35。，LACB=70°,则乙1的度数是（）

【答案】C

【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得△4BC三△DE凡即可得

Z/1FC=ZDEF=35°,再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键.

【详解】解：••・△平移得至IJ△OEF,

MABgADEF,

・"BC=乙DEF=35°,

SCB=70°,

心=180°-35°-70°=75°,

故选：C.

【变式7-3］如图，在一次演出中，△48C位置上重合着两个三角形道具，演员把其中一个沿直角力BC的BC

边所在的直线向右推动，使之平移到尸位置.

⑴若BE=3,EF=8,求EC的长.

⑵除了乙4BC=90。，还能求出哪些角的度数？求出这些角的度数.

⑶你还能得出哪些关于线段位置关系的结论？写出一个，并加以证明.

【答案】（1）5

{2]LDEF=90°

⑶ABIIDE,证明见解析（答案不唯一）

【分析】（1）首先根据平移的性质得到△/BCw然后得到BE=CF=3,进而求解因可：

（2）根据全等三角形的性质求解即可；

（3）根据平行线的判定方法求解即可.

【详解】（1）•••△ABC平移至IJ△DE产,

二△ABC=△DEF

:.BE=CF=3

.--EC-EF-CF-8-3-5：

（2）v△ABC^△DEF

••ZD"=LB=90。：

（3）ABIIDE.

证明：•.2D£T=iB=90°

MBIIDE.（答案不唯一）

【点睛】此题考杳了平移的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

【题型8旋转背景下的全等三角形性质应用】

【例8】（24-25九年级上•广东韶关•期中）数学课堂上，为探窕旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图

所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状△ABC,并用图钉固定点4,将三角

形硬纸板绕点力顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到△/1/）£1,经测量乙8力。=50。，乙。4。=15。则

LCAE=.

【答案】35°/35®

【详解】解：将三角形硬纸板绕点4顺时针旋转一定角度，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大

小，只改变图形的方向，

^ABC^AADE,

•••LBAC=Z.DAE,vZ.BAC=50°,

Z.DAE=50°,

vLCAE=Z.DAE-/.CAD,Z-CAD=15°,

•••Z.CAE=50°-15°=35°,

故答案为：35°.

【变式8-1]（2025七年级下•全国•专题练习）如图，把△4BC绕点力旋转一定角度得到△/1/）£1,那么这两

个三角形的关系可用符号表示为,点8的对应顶点为,边。E的对应边为

,匕84。的对应角为.

E

【答案】三点。BC^DAE

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，由旋转的性质可得△ABC三△4DE,即可求解.掌

握旋转的性质是本题的关键.

【详解】解：•••把绕点力旋转一定角度得到△ADE,

：.^ABC=AADE,

•••点4的对应顶点为点Q,边DE的对应边为8C,匕的对应角为N/ME,

故答案为：三，点。，BC,LDAE.

【变式8・2】（25-26七年级上•河北石家庄•期中）如图，将三角形ABC绕点。沿顺时针方向旋转后得到三角

形/8'C,若点夕恰好落在线段上，AC,大夕交于点。，则下面结论错误的是（）

A./.BCB'=/_ACA'B.4'。=/TC

C.CA=CAD.DC=B'C

【答案】B

【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键.根据旋转的性质

可得△/8C三△力力七，旋转角乙BCB'=KACA',再根据全等三角形的性质可得C4=，4',BC=B'C,由

此即可得.

【详解】解：由旋转的性质得：AABC三AA'B'C,旋转角乙BCB'=LACA；则选项A正确；

'.CA=C^',BC=B'C,则诜项C和D均正确：

由已知条件无法得出40="C,则选项B错误；

故选：B.

【变式8・3］（24・25九年级上•福建厦门•期中〉如图,七是正方形48co中C。边上的点，以点4为中心，把

△4DE顺时针旋转，得到A/IB凡其中ZDAE=15。.那么旋转角的度数是（）

A.15°B.75°C.90°D.105°

【答案】C

【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的性质等知识点，熟记全等三角形的性质是解题的关键.

根据正方形的性质得到力8=40,^BAD=90°,由旋转的性质推出△4DE三△48F,求出

乙FAE=乙BAD=90。即可解答.

【详解】解：•.・四边形力BCD是正方形，

••乂8=m/.BAD=90°,

由旋转得△力DEw△48凡

；zFAB=Z.EAD=15°,

；ZFAB+Z-BAE=Z.EAD+Z.BAE,

：.Z-FAE=乙BAD=90°,

・•・旋转角的度数是90。.

故选:C.

【题型9利用全等三角形性质判定线段的位置关系】

【例9】如图，在△4BC中，乙（？=90。,4。=8。，点。为44此内一点，将4。8（?绕点。逆时针旋转到4七4。

的位置.贝必E与BD的位置关系（）

A.AE1BDB.4E与3。相交旦交成的锐角