2025-2026学年北京市某中学八年级（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年北京市第五实验学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各式中，是最简二次根式的是（）

_._1

A.瓜B.v/（k2C.国D.\后

2.下列计算正确的是（）

L厂/-厂LVM

A.g+g遥B.lx/6遥IC.=ID.v/3x-lv/312

v5

3.下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是（）

A.瓜、2，泡B.1,心，2C.6,8，12D.3,6,7

4.下列各曲线中表示y是x的函数的是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.有两个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D,有一组邻边相等且有一个角是宜角的平行四边形是正方形

6.如图，数轴上的点儿。表示的实数分别是・2,1,BCLiC于点C,且8C的长度为1个单位长度，连接

/也.若以点力为圆心，力4长为半径画弧交数轴于点P,则点尸所表示的实数为（）

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A.2-vz10B.v^lO-2C.D.2+x/10

7.如图，矩形48CQ中，AC、8Q交于点O,〃、N分别为8C、OC的中

点.若4c8=30°,AB=8,则MV的长为（）

A.2

B.4

C.8

D.16

8.如图，在矩形43C£＞中，4B=6：AD=5,点尸在力。上，点。在8。上，且

AP=CQ,连结CP,QD,则PC+。。的最小值为（）

A.II

B.12

C.13

D.15

9.如图，宇树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点力出发沿折线力BfACf。匀速运动至点

力后停止.设小P的运动路程为达线段4P的长度为乂图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点尸为曲

线的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段的距离为（）

10.如图，已知正方形/8CQ中，点E为对角线8。上的一个动点（不与点8、点。重

合），点尸在力。上，^AEF=45°,下列说法正确的是（）

①AE=EC；②乙BAE=^FED；③△ABEq4EDF；④若乙E4D=^B4E+45°,连接尸。，

则FL、历EC

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A.©@B.②③C.①③④D.①②④

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

H.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范闱是_.

12.已知一个直角三角形的两边长分别为12和5,则第三条边的长度为

13.如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有△2/8,则

乙PAB+CPBA的度数是.

14.比较大小《一份一夕-幻.(填或"V”=)

15.如图，平行四功形力灰:。的对角线力。和〃。相交于点O,过点O的

直线分别交C。和于点E、F,且48=7,BC=4,乙D4B=60°,那么

图中阴影部分的面积为一.

16.如图，矩形/出CD中，AB=5,802,将矩形沿/1C折置，点。落在点》

处，则重置部分△月尸C的面积为一.

17.在平面直角坐标系xQy中，已知点/(1,1),B(-1,1),请确定点C的坐标，使得以.4,B,C,O

为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点。的坐标是—.

18.如图1,矩形力8C。中，8C=8c〃?/8=6c〃?,两动点M,N同时从点8出发，点M在边8c上以2sMs的

速度匀速运动，到达点。时停止运动，点N沿比儿。・。的路径匀速运动，到达点C时停止运动.△8MN的

面积S(cm2)与点N的运动时间/(s)的函数图象如图2所示.

①W点的运动速度是1c加/s；②的面积的最大面积为24s产；③当S=12c〃,时，/的值为3或17.以上

说法正确的是—.

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即图2

三、解答题：本题共10小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题6分）

计算:

（1）|3—+（y5—«

⑵3房x（一1司+需.

20.（本小题5分）

先化简，再求值：4二’-亚孚亘，其中〃二’.

a—1tr—a24-v3

21.（本小题5分）

己知：如图，在平行四边形力8C。中，点从产在4c上，HAE=CF.求证：BE=DF.

22.（本小题5分）

如图，△力AC中，。是4C的中点,，力C=24，力力=3,求8C的长及的面积.

23.（本小题5分）

在6X6的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形.

①在图1中，以格点为顶点画一个三边长分别为4、瓜、/Ui的三角形：

②在图2中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3,一个角是45°：

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③在图3中，以格点为顶点画一个面积为4的菱形.

图I图2图3

24.（本小题5分）

尺视作图：过直线外一点作这条直线的垂线.

已知，如图，直线/和直线外一点P.

求作：直线加，使得ml/,且直线机经过点P.

下面是小兵设计一种尺规作图过程.

①在直线/上取一点儿连接口，以点尸为圆心，口的长为半径画弧，交直线/于另外一点8；

②分别以点44为圆心，力P为必径画弧，在直线/的下方，两弧交于点。：

③经过P,。两点作直线小.

则直线/〃即为所求直线.

根据小兵设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形.（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：连接P8,QA,QB,PQ,

vJP=____==____,

四边形P4QB为菱形（______）（填推理的依据）.

；.PQUB（______）（填推理的依据）.

直线〃71直线/.

25.（本小题6分）

如图，在平行四边形力8。。中，BC=2AB,点、E、尸分别是8C、力。的中点，AE.8/交于点0,连接

EF、OC,

（1）求证：四边形厂是菱形；

（2）若,44=8,ZJAC=6O°,求0c的长.

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D

26.（本小题6分）

在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到

了两种平均数的定义，他把二种平均数的定义整埋如卜：

对干两个数a,b,河=卡称为。，6这两个数的算术平均数，"称为。，〃这两个数的几何平

均数，。=，勺”称为m〃这两个数的平方平均数.

小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：

（1）若〃=-1,b=-2,则A/=_____,N=______,P=______；

（2）小聪发现当a,人两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a,8都是正数时这三

种平均数的大小关系.结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：

如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2.

①请分别在图2,图3中用阴影标出一个面积为“，产的图形；

②借助图形可知当m方都是正数对，M,N,P的大小关系是______.（把M,N,。从小到大排列，并用

“V”或“w”号连接）.

27.体小题6分）

如图，在正方形48CO中，"是对角线8。上的一动点，且连接4”,过点8作4”的垂线，

交4W的延长线于点E,交CD于点、F,且乙DBF=CL.

（1）依题意补全图1,求上。4石的大小（用含a的式子表示）；

（2）若点N在线段8/上，BN=*M,连接MM用等式表示MMBN,之间的数量关系，并证明；

（3）连接CE.若/4=4,请直接写出线段CE长度的最小值.

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图1备用图

28.体小题7分）

在平面直角坐标系xQy中，若尸，。为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,

则称该矩形为点P,。的“相关矩形”，图1为点P，。的“相关矩形”的示意图.

（1）如图2,点〃的坐标为（80）.

①若b=-2,则点48的“相关矩形”的面积是—

②若点4月的“相关矩形”的面积是8,则。的值为

（2）点。在过点（0,-1）且平行x轴的直线/上，若点儿Cf勺''相关矩形”是正方形，直接写出点C

坐标；

（3）请利用图3画图并研究：等边△。"的边。£在工轴上，顶点尸在y轴的正半轴上，点。的坐标为

（2,0）,点M的坐标为（加,4）.若在的边上存在一点N,使得点河，N的“相关矩形”为正方

形，请直接写出机的取值范围.

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1.【答案】D

2.【答案】。

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】D

II.【答案】G2

12.【答案】13或者1/T而

13.【答案】45°

14.【答案】＞

15.【答案】

9()

16.【答案】；()

17.【答案】(-2,0)或(2,0)或(0,2)

18.【答案】®®

19.【答案】8-30，:

20.【答案】解：.••斫・汇\广2-、行＜1,

即0＜如1＜0,

0吐少匹心(油).：二\5「

«-la(a-1)"S-D«

当上2-、8时,原式=2-4+l+2+e=5.

21.【答案】证明：如图，连接8。与对角线力C交于点O.

•••四边形48CO是平行四边形，

.•04=。。，OB=OD.

♦：AE=CF,OA-AE=OC-CF,

：.OE=Ob\

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匹边形8EZW是平行四边形,

:・BE=DF.

22.【答案】解：延长力。到£，使。£=4。=3,连接4E,CE.

••・。是8c的中点，

：.CD=BD,

.••匹边形48EC是平行四边形，

••/8IICE,七8=。=2\々，

♦.•64（2v/3）2=（4v/3）2,KPAE^A^EC1,

•••应C=90°,

.•2D4C=90°,

••CD=，/102+.AC^=J3，I（2V：'/=\21»

:.BC=2CD=2\阳,

•••S”8L2SJCD=2X:AC*AD=2\3X3=6y,z3.

综上所述，8C的长度为2、百，。的面积是6g.

23.【答案】见解析；

见解析；

见解析.

24.【答案】见解析；

PB,QA,QB,四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直.

25.【答案】（1）证明：•••四边形/18。。是平行四边形，

.•MDII4C,AD=BC,

.•・"II困

•:点E、尸分别是8C、的中点,

：.AF=-AD.BE=[BC,

22

:.AF=BE,

匹边形是平行四边形，

•：BC=2AB,且BC=2BE,

••AB=BE,

.•.匹边形力4。'是菱形;

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(2)如图，过点。作0H18C于",

由（1）知，四边形尸是菱形，4/4060°,

："AB0=Z.OBH=-x60。=30°,BOLAE,

2

••"8=8,

.-./io-Lui,

2

••BO\/AB2-AO2而

：,BH=y/BO2-OH2=^（4\/3）2-（2^3）2=6,

•••8C=2/18=2X8=16,

HC=BC-BH=\6-6=\0,

-0C=y/OH2+IIC2=J（2通）2+I伊=4怀

26.【答案】解：（1）一/0，Jf

（2）①（匕_（«+♦）’（〃-少+I-

则用阴影标出一个面积为“的图形如下所示：

a2+lr(a—b)"+2ab(a—b)2

产=一-----------2-----=-2-+f

则用阴影标出一个面积为P2的图形如下所示:

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