2026年广东省八年级下册期末数学试卷（知识点全覆盖）含解析

2026广东省八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）若/』有意义，则k的值可以是（）

A.-2B.0C.1D.5

3.（3分）下列图象中，y不是工的函数的是（）

4.（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）

，计2

A.21=0B.x+3=-X

C.x1-2y+4=0D.ajr+bx+c=0

5.（3分）如图，1角硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形每个内角的度数是（）

实物图局部示意图

A.40°B.140°C.360°D,1260°

6.（3分）如图为某城市7月份空气质量指数CAQI）的箱线图（AQ/值越小，空气质量越好），下列说法

错误的是（

AQI

0102030405060708090100110120

A.这个月空气质量指数的最大值为100

B.中位数为80

C.数据在箱体的右侧比较集中

D.第一四分位数为2（）

7.分）学习了《植物生长》后，实践小组观察记录了一段时间娃娃菜幼苗的成长，将娃娃菜幼苗的高

那么娃娃菜幼苗的高度最高是（）

D.19cm

8.（3分）动手操作是学习数学的一种好方法.如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张A4纸（长宽比

为企：1）A8CQ沿A尸折叠，使点B落在人。边上的点G处，再沿产/折叠，使点。落在FG边上的点

H处,则矩形的长与宽的比值为（）

C.V2D.V5-1

9.（3分）如图，在四边形A3C0中，NC=90。，8c=8,CD=6,G为线段的中点，连接AG,E、

户分别为人G、人。的中点，则石尸的长为（）

A.V13B.4C.2V13D.6

10.（3分）如图，点P是矩形ABC。的对角线8。上一点，过点P作E/〃A8,GH//BC.连接以，PC,

若BF=3,PE=8,则图中阴影部分的面积和为（）

A.10B.12C.18D.24

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）一个多边形的每一个外角都是72°,则这个多边形的边数是.

12.（3分）如图，数轴上点A的横坐标是4,A8_LCM于点A.A4=2,以原点。为圆心，。用长为半径画

弧交数轴于点C,则点C表示的数是.

13.（3分）广东省多地中小学落实全面育人评价体系，学生综合评价由学业成绩、体能素质、美育素养三

部分组成，三项成绩按5：3：2的比例计入综合总分.某校学生小方学业成绩90分，体能素质80分,

美育素养85分，则他的综合评价得分为分.

14.（3分）已知一次函数），=澡+1）x+k-2,若该函数图象经过第一、三、四象限，则2的取值范围

是.

15.（3分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示

的弦图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EPGH组成一个边长为6的大正方形A8CQ.连接

AE并延长，分别交8G和BC于点P和点M,若则8W的长为.

三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（8分）（I）计算：旧+衣一（遍+1）。+（》-1；

（2）已知m=V7—遥，n=V7+V5,求利7+利次的值.

17.（8分）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图.现测得A8=8力〃，BC=9dm,CD=\2dm,

AD=\ldm,其中A8与8。之间由一个固定为90°的零件连接（即NA8D=90°）.

（1）求线段8。的长度；

（2）安全标准规定：需满足8C_LCD,请判断该车是否符合安全标准，并说明理由.

图1图2

18.（8分）我国人工智能机器人产业正处于高速发展的关键时期，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热

情，某校举办了“机器人”知识竞赛，现分别从七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统

计整理如F：

【收集数据】

七年级10名同学测试成绩统计如下：84,78,85,75,72,91,79,72,69,95.

八年级10名同学测试成绩统计如下：85,80,76,84,80,72,92,74,75,82.

【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：

平均数中位数众数方差

七年级80①7266.6

八年级8080②33

【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：

（1）①；②________；

（2）根据以上数据，你估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？为什么？

（3）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共800人，请估

计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数.

19.（9分）如图，已知在△ABC中，ZBAC=90°,。是8c的中点，E是AD的中点，过点A作A尸〃

BC交BE的延长线于点F,连接CF.

（1）求证：四边形AOC/'是菱形；

（2）若AC=8,菱形AOC/的面积为40,求A8的长.

2026年第十五届全国运动会落地广东，“智慧全运”成为办赛亮点.为提升赛事安保巡防、场地动态监

测与航拍转播保障效率，组委会计划采购两款国产工业无人机，相关信息如下：

全运会运维无人机采购方案设计

素材1购买6台轻型巡检无人机和5台重载安防无人机共

需57万元；

购买5台重载安防无人机的费用比II台轻型巡检无

人机的费用高23万元.

素材2每台轻型巡检无人机每日可覆盖150处赛事保障

点位；

每台重载安防无人机每FI可覆盖280处赛事保障点

位.

素材3组委会计划采购两款无人机共12台，采购总预算

不超过73万元.

问题解决：

（1）求购买一台轻型巡检无人机、一台重载安防无人机的费用分别是多少万元？

（2）采购两款无人机各多少台时，每口覆盖的点位总数最多？最多可覆盖多少点位？

21.（9分）已知关于工的一元二次方程』・4%+5・2〃?=0有两个实数根.

（I）求实数〃?的取值范围：

（2）若XI，X2是该方程的两个根，且满足巧+X1+X2=7砂+6，求/〃的值.

22.（12分）【问题情境工小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1,在等边△ABC中，AB

=5,点M,N分别在边AC8c上，且4M=CM试探究线段MN长度的最小值.

【问题分析】：小明通过构造立行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点

的运动路径，进而解决上述几何问题.

【问题解决】：如图2,过点C.M分别作MM"C的平行线，并交于点P,作射线AP.在【问题情境】

的条件下，完成下列问题：

(1)证明：AM=MP；

(2)求NC4P的度数和线段WN长度的最小值；

【方法应用1(3)某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图3,小明收集了该房屋

的相关数据，并画出了示意图，如图4,△/WC是等腰三角形，四边形是矩形，AB=AC=CD=

2m,NACB=30°,MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在OE上.在

调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=OM请直接写出钢丝绳MN长度的最

小值.

23.(12分)如图1,在平面直隹坐标系中，一次函数y=-2x-4与x轴，y轴分别交于A,E两点,直线

4C与y轴交于点C(0，-3).

(1)求直线AC的函数表达式；

(2)如图2,点M是直线上一动点，过点M作MN〃)，轴交直线AC于点N,当MN=5时，求出

点M的坐标；

(3)如图3,直线/：y=%与直线AC垂直于点〃，将直线A8向左平移4个单位后与x轴，y轴分

别交于。，£两点，与直线4C交于点忆在直线/上是否存在点P,使得NC4P+NCEr=NECE若

图1图2图3

2026广东省八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DBCABDCCAD

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）若5』有意义,则/的值可以是（）

A.-2B.0C.1D.5

【考点】二次根式有意义的条件.

【答案】D

【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，即可求解.

【解答】解：由题意可得：被开方数需满足x-420,

解得x24.

故选：D.

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，正确进行计算是解题关键.

2.（3分）如图，在口A8C。中，已知NA+NC=260°,则N8的度数为（）

【考点】平行四边形的性质.

【答案】B

【分析】由平行四边形的性质可求NA=NC=130"，即可求解.

【解答】解：•・•四边形44co是平行四边形，

，NA=NC,N4+N8=180°,

VZ4+ZC=260°,

/.ZA=ZC=130°,

・・.N8=50°,

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键.

3.（3分）下列图象中，），不是x的函数的是（）

【答案】C

【分析】“如果在一个变化过程中有两个变量x和），，并且对于变量x的每一个值，变量），都有唯一的值

与它对应，则称y是x的函数，其中％是自变量”

【解答】解：由函数的定义可知，选项。中的图象y不是x的函数.

故选：C.

【点评】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键.

4.（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A./-2计1=0B.x2+3=-

X

C.x1-2y+4=0D.ajr+bx+c=O

【考点】一元二次方程的定义.

【答案】4

【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论.

【解答】解：4.方程』-2x+l=0是一元二次方程，选项4符合题意；

8.・・・方程7+3=］不是整式方程，

J方程』+3=］不是一元二次方程，选项B不符合题意；

C.V方程A-2-2y+4=0含有两个未知数，

・•・方程/-2）叶4=0不是一元二次方程，选项C不符合题意；

D.当。=0时，方程aP+/u+c=0不是一元二次方程，选项。不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整

式方程叫一元二次方程”是解题的关键.

5.（3分）如图，1角硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形每个内角的度数是（）

实物图局部示意图

A.40°B.1401C.360°D.1260°

【考点】多边形内角与外角.

【答案】B

【分析】求出每个外角的度数，再运用邻补角的知识可求内角.

【解答】解：正九边形每个外角=360°4-9=40°,

每个内角=180°-40“=140°,

故选：B.

【点评】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键在于掌握相关知识的灵活运用.

6.（3分）如图为某城市7月份空气质量指数（AQJ）的箱线图（4Q/值越小，空气质量越好），下列说法

错误的是（）

।1」」」」」1」11」」AQ[

0102030405060708090100110120

A.这个月空气质量指数的最大值为100

B.中位数为80

C.数据在箱体的右侧比较集中

D.第一四分位数为20

【考点】中位数.

【答案】D

【分析1通过观察箱线图的特征，结合AQ/的定义，对每个选项逐一分析判断.

【解答】解：A.从箱线图中可见这个月空气质量指数的最大值为10(),说法正确，不符合题意:

观察箱线图可知，中位数为8(),说法正确，不符合题意；

C.观察箱线图可知，数据在箱体的右侧比较集中，说法正确，不符合题意；

D.观察箱线图可知，第一四分位数为50,原说法错误，符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查了箱线图的理解与应用，熟练掌握箱线图的特征是解题的关键.

7.(3分)学习了《植物生长》后，实践小组观察记录了一段时间娃娃菜幼苗的成长，将娃娃菜幼苗的高

度)，(cm)与观察时间x(天)的函数关系用如图表示，那么娃娃菜幼苗的高度最高是()

【考点】函数的图象.

【答案】C

【分析】由题意知，A(0,6)、B(30,12),待定系数法求线段AC的解析式为y=0.2x+6,将x=50

代入，计算求解即可.

【解答】解：由题意知，A(0,6)、B(30,12),

设线段4C的解析式为y=kx+b,

将A(0,6)、B(30,12)代入得，仆，

130k+D=12

解得，｛冷.2,

•・・线段AC的解析式为y=02t+6,

将x=50代入y=0.2X50+6=16,

：.C(50,16),

・•・娃娃菜幼苗的高度最高为16。〃，

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数应用，一次函数解析式.熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的

关键.

8.（3分）动手操作是学习数学的一种好方法.如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张A4纸（长宽比

为DABCO沿A尸折叠，使点B落在A。边上的点G处，再沿F/折叠，使点C落在FG边上的点

H处，则矩形GH1D的长与宽的比值为（）

D

I

C

A.V3B.2C.V2D.V5-1

【考点】翻折变换（折置问题）；矩形的性质；正方形的判定与性质.

【答案】C

【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证明四边形48FG是正方形，四边形/CFH是正方形，设

则8c=V2x,根据正方形的性质得到AB=BF=GF=x,FC=FH=HI=陋一l）x,进而得到G”=

（2-V2）x,计算工;的值即可.

H1

【解答】解：•・•将一张44纸（长宽比为&：1）/WCQ沿A”折叠，使点3落在边上的点G处，

AZBAG=ZB=ZC=90°,ZAGF=ZB=W,BF=GF,

・•・四边形A5PG是矩形，

・•・矩形A8PG是正方形，

.,.ZBFG=90°,

.\ZCF//=180°-90°=90°,

同理可证四边形/CFH是正方形,

设则=

;四边形A8FG是正方形，

AB=BF=GF=x,

：.FC=(V2-l)x,

•・•四边形/CFH是正方形，

：.FC=FH=Hl=(42-l)x,

：.GH=GF-HF=x-(42-l)x=(2-gx,

，矩形GHID的长与宽的比值为粤=2产=历

HI（V2-l）x

故选：C.

【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，正方形的判定与性质，解答本题的关键

是熟练掌握折叠的性质.

9.（3分）如图，在四边形A4CD中，ZC=90°,BC=8,CD=6,G为线段3C的中点，连接AG,£、

厂分别为AG、/W的中点，则石户的长为（）

A.V13B.4C.2V13D.6

【考点】三角形中位线定理.

【答案】A

【分析】连接G。，根据线段中点的定义求出CG的长，利用勾股定理求MOG的长，再根据三角形中

位线定理即可求解.

【解答】解：连接GD,

〈G为线段8c的中点，BC=8,

：.CG=^BC=4,

VZC=90°,CD=6,

：,DG=y/CG2+CD2=2>/13,

•••£,一分别为4G,4。的中点,

.,.EF=1DG=V13,

故选：A.

【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握其相关知识点是解题的关键.

10.（3分）如图，点夕是矩形人BC。的对角线8。上一点，过点P作后尸〃人&GH//BC.连接处,PC,

若BF=3,PE=8,则图中阴影部分的面积和为（)

【考点】矩形的性质.

【答案】D

【分析】由矩形的性质推出△以/）的面积=△〃（?尸的面积，求出的面积=12,即可得到图中阴

影部分的面积和.

【解答】解：•・•四边形A4c。是矩形，

的面积=/\。8。的面积，

■:EF//AB,GH〃BC,

・•・四边形DEPG、四边形EAHP、四边形PHBF、四边形尸尸CG是矩形，

:.丛DEP的面积=△0Gp的面积，XPHB的面积=△尸6尸的面积，

・••矩形EAHP的面积=矩形PFCG的面积，

•••△E4P的面积=Z\PCb的面积，

*：AE=BF=3,PE=8,

:、4EAP的面毛1=^PE*AE=1x3X8=12,

・•・图中阴影部分的面积和为12X2=24.

故选：D.

【点评】本题考查矩形的性质，关键是判定△EAP的面积=△尸C尸的面积.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）一个多边形的每一个外角都是72°,则这个多边形的边数是5.

【考点】多边形内角与外角.

【答案】5.

【分析】根据多边形外角和是360。进行计算即可.

【解答】解：一个多边形的每一个外角都是72。，则这个多边形的边数为360°+72。=5（条），

故答案为：5.

【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形外角和是360°是正确解答的关键.

12.（3分）如图，数轴上点A的横坐标是4,A8_LO4于点A.48=2,以原点。为圆心，。8长为半径画

弧交数轴于点C，则点C表示的数是_^V5_.

01234C

【考点】实数与数轴.

【答案】2Vg.

【分析】根据题意，先用勾股定理求出0/3,而04=0C,艮］可得出答案.

【解答】解：•・•数轴上点A的横坐标是4,于点儿48=2,

：.0B=V42+22=275,

*/以原点。为圆心，0B长为半径画弧交数轴于点C,

：.0B=0C=2瓜

・••点C表示的数是2遥，

故答案为：2Vs.

【点评】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握圆的半径和勾投定理的知识点是解题的关键.

13.（3分）广东省多地中小学落实全面育人评价体系，学生综合评价由学业成绩、体能素质、美育素养三

部分组成，三项成绩按5：3：2的比例计入综合总分.某校学生小方学业成绩90分，体能素质80分,

美育素养85分，则他的综合评价得分为86分.

【考点】加权平均数.

【答案】86.

【分析】根据题目给出的三项成绩的权重，代入加权平均数公式计算即可.

【解答】解：由题意可得,

90X5+80X3+85X2

小方的综合评价得分为=86（分）,

5+3+2

故答案为；86.

【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法.

14.（3分）已知一次函数y=（Kl）x+k-2,若该函数图象经过第一、三、四象限，则氏的取值范围是-

ivy2.

【考点】一次函数图象与系数的关系.

【答案】7V2V2.

【分析】根据函数图象经过第一、三、四象限得到一次项系数人于0,常数项小于0,据此列出关于女

的不等式组，解不等式组即可得到女的取值范围.

【解答】解：•・•一次函数y=(Hl)x+2・2的图象经过第一、三、四象限,

於+1〉0①

(k-2VO②‘

解不等式①，得Z>-I,

解不等式②，得々<2,

・•・♦的取值范围是-\<k<2.

故答案为：・l〈k<2.

【点评】本题考查的是•次函数的图象与系数的关系，熟知•次函数的图象与系数的关系是解题的关键.

15.(3分)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国占代数学的瑰宝.如图所示

的弦图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EPG”组成一个边长为6的大正方形A8CD连接

9

AK并延长，分别交4G和。。于点〃和点M,若则的长为-.

【考点】勾股定理的证明.

【答案】:

【分析】设四个全等的直角三角形的短直角边为“，长更角边为4则小正方形EFG”的边长为。・小

先证明△A8G空△E4F(AS4),得出A£=A8=6,AG=EF,从而得出〃=2a,AG=HE,再证明AAPG

^/XEHP(A4S),得出〃P=PG,AP=EP=^AE=3,设BM=PM=x,则4M=x+3,再结合勾股定

理计算即可得出结果.

【解答】解：设四个全等的直角三角形的短直角边为。，长直角边为儿则小正方形EFGH的边长为〃

•・•四边形人BC。为正方形，

：.AB=BC=6,NABC=90°,

■:BM=PM,

，/MBP=/MPB,

,//APG=/MPB,

ZAPG=ZMBP,

•.•NABG+NM8尸=90°,ZXPG+ZB4G=90°,

・•・ZABG=ZPAG,

•：BG=AF,ZAGB=ZAFE=90°,

A/\ABG^^EAF(ASA),

：.AE=AB=6,AG=EF,

:・a=b~a,

：.h=2a,AG=HE,

■:NAPG=NEPH,NAGP=NEHP=90°,

•••△4PGg△石"P(AAS),

:・HP=PG,AP=EP=^AE=3,

设8W=PM=x,则AM=AP+PM=x+3,

由勾股定理可得A岛序=AM,

62+.r2=(x+3)2,

解得％=

乙

9

C.BM=x=«,

乙

9

故答案为:；.

【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，掌握其相关知识点是解题的关键.

三、解答题(本大题共8小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(8分)(1)计算：V24-V2-(V3+1)°+(i)-1；

(2)已知zn=5/7—遥，n=\/7+V5»求机7+加产的值.

【考点】二次根式的化简求值；平方差公式；零指数辕；负整数指数暴.

【答案】(1)2V3+2；

(2)4五.

【分析】(I)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)利用因式分解进行计算，即可解答.

【解答】解：（1）旧+企一（6+1）°+（3-1

=g-1+3

=275-1+3

=275+2；

（2）m=y/7—V5,n=中+店,

••./〃十〃=2々，mn—2,

Ain2n+mti2=mii（〃?+〃）=2'2夕=4夕.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式，零指数幕，负整数指数累，准确熟练地进行计

算是解题的关键.

17.（8分）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图.现测得A8=8d〃?，BC=9dm,CD=\2dm,

AD=17dm,其中A3与8。之间由一个固定为90°的零件连接（即NA8£>=90°）.

（I）求线段占。的长度；

（2）安全标准规定：需满足8C_LCQ,请判断该车是否符合安全标准，并说明理由.

图1图2

【考点】勾股定理的应用.

【答案】（1）线段3。的长度为15d〃”

（2）该车符合安全标准，理由如下：

"：BC=9dm,BD=\5dm,CD=\2dm,

：.Bd+CD2=92+122=225，

V^D2=152=225=Bd+ClX,

：.BC±CD,

即该车符合安全标准.

【分析】（1）通过勾股定理求出3。的长度；

（2）利用勾股定理的逆定理判断8C与C7）是否垂直即可.

【解答】解：（1）在RtZXABO中，

BD=>JAD2-AB2=15(dm).

(2)该车符合安全标准，

理由：IBC=9dm,BD=15dm,CD=12dm,

/.BC2+CD2=92+122=225,

VB£>2=152=225=BC2+CD2,

ABC1CD,

即该车符合安全标准.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握该知识点是关键.

18.(8分)我国人工智能机器人产业正处于高速发展的关键时期，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热

情，某校举办了“机器人”知识竞赛，现分别从七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统

计整理如下：

【收集数据】

七年级吸名同学测试成绩统计如下:84,78,85,75,72,91,79,72,69,95.

八年级10名同学测试成绩统计如下：85,80,76,84,80,72,92,74,75,82.

【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：

平均数中位数众数方差

七年级80①7266.6

八年级8080②33

【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：

(I)①78.5；②8()；

(2)根据以上数据，你估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？为什么？

(3)按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共800人，请估

计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数.

【考点】方差：用样本估计总体；算术平均数；中位数：众数.

【答案】(1)①78.5,②80

(2)八年级的竞赛成绩更整齐，理由如下：

•・•七年级的竞赛成绩的方差为666八年级的竞赛成绩的方差为33,且66.6>33,

・•・八年级的竞赛成绩更整齐；

(3)估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数为320人.

【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；

（2）根据方差越小，成绩越整齐即可得到结论：

（3）分别计算两个年级的优秀人数后求和即可得到答案.

【解答】解：（I）把七年级1（）名同学测试成绩按照从低到高的顺序排列为：69,72,72,75,78,79,

84,85,91,95,第5个数据为78,第6个数据为79,

78+79

...七年级10名同学测试成绩的中位数为=78.5；

•••八年级10名同学测试成绩中得分为80的人数最多，

・•・八年级10名同学测试成绩的众数为80；

故答案为：78.5,80；

（2）八年级的竞赛成绩更整齐，理由如下：

;七年级的竞赛成绩的方差为66.6,八年级的竞赛成绩的方差为33,且66.6>33,

・•・八年级的竞赛成绩更整齐；

（3）1200X+800x=240+80=320（人）,

答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数为320人.

【点评】本题考杳用样本估计总体，算术平均数，众数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.

19.（9分）如图，已知在△ABC中，ZB4C=90°,。是8c的中点，E是AO的中点，过点4作A尸〃

8c交BE的延长线于点F,连接CE

（1）求证：四边形AOC产是菱形；

（2）若AC=8,菱形AOCr的面积为40,求A8的长.

B

【考点】菱形的判定与性质；直角二角形斜边上的中线.

【答案】（1）证明见解答过程；

（2）AB=IO.

【分析】（1）由AAS证明△AE/gAOEB,由全等三角形的性质得4/=OB,证得四边形AOC广为平行

四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质可得AO=CQ,可证得结论；

（2）根据条件可证得S受形ADC尸=S”5C，再由三角形面积公式可求得答案.

【解答】（1）证明：如图1,

ZAFE=NDBE,

IE是的中点,

：,AE=DE,

在AAE/和△OEB中，

Z.AFE=Z.DBE

^AEF=乙DEB,

AE=DE

：,/\AEF^ADEB(AAS)；

:,AF=DB,

•・FO为BC边上的中线，

:・DB=DC,

:.AF=CD,

，：AF"BC,

・•・四边形AOCV是平行四边形,

"84c=90°,。是8c的中点,

：,AD=^BC=CD,

・•・平行四边形AOCF是菱形;

（2）解：:。是8c的中点,

.*.5ADCF=2S^ADC=S^ABC

=^AC*AR=1xXAW=40,

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟

练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

20.（9分）综合与实践

2026年第十五届全国运动会落地广东，“智慧全运”成为办春亮点.为提升赛事安保巡防、场地动态监

测与航拍转播保障效率，组委会计划采购两款国产工业无人机，相关信息如下:

全运会运维无人机采购方案设计

素材I购买6台轻型巡检无人机和5台重载安防无人机共

需57万元；

购买5台重载安防无人机的费用比11台轻型巡检无

人机的费用高23万元.

素材2每台轻型巡检无人机每日可覆盖150处赛事保障

点位；

每台重载安防无人机每口可覆盖280处赛事保障点

位.

素材3组委会计划采购两款无人机共12台，采购总预算

不超过73万元.

问题解决：

（1）求购买一台轻型巡检无人机、一台重载安防无人机的费用分别是多少万元？

（2）采购两款无人机各多少台时，每日覆盖的点位总数最多？最多可覆盖多少点位？

【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用.

【答案】（1）购买一台轻型巡检无人机的费用是2万元，一台重载安防无人机的费用是9万元；

（2）采购轻型巡检无人机5台，重载安防无人机7台时，每FI覆盖的点位总数最多，最多可覆盖2710

处点位.

【分析】（1）设购买一台轻型巡检无人机的费用是x万元，一台重载安防无人机的费用是J万元，根据

素材1建立方程组求解即可；

（2）设购买轻型巡检无人机〃?台，每日覆盖的点位总数为W处，根据素材3建立不等式求出机的取

值范围，根据素材2列出W关于用的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可.

【解答】解：（1）设购买一台轻型巡检无人机的费用是x万元，一台重载安防无人机的费用是y万元，

购买6台轻型巡检无人机和5台重载安防无人机共需57万元；购买5台重载安防无人机的费用比11台

轻型巡检无人机的费用高23万元.

由题意得,盥普;马

解得m

答：购买一台轻型巡检无人机的费用是2万元，一台重载安防无人机的费用是9万元;

（2）设购买轻型巡检无人机〃，台，每日覆盖的点位总数为卬处，

.••2〃？+9（12-/n）W73,

解得〃?25,

・・・5W〃?W12,且小为整数；

由题意得,W=150^+280（12-w）=730m+3360,

V-130<0,

・・・W随加的增大而减小，

・•・当m=5时，W有最大值,最大值为・130X5+3360=2710,此时12-6=7,

答：采购轻型巡检无人机5台，重载安防无人机7台时，每日覆盖的点位总数最多，最多可覆盖2710

处点位.

【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关健.

21.（9分）已知关于工的一元二次方程/-41+5-2〃?=0有两个实数根.

（1）求实数，〃的取值范围；

（2）若川，X2是该方程的两个根，且满足与无2+无1+%2=^2+6,求"1的值.

【考点】根与系数的关系；根的判别式.

【答案】（1）m>

（2）机的值1.

【分析】⑴由7-4x+5・2〃?=0有两个实数根，可得（・4）2・4（5・2加20,即可解得心去

2

（2）求出X\+X2=4,Xi*xi=5-2m,由―必+xr+x2=m+6,得5-2〃?+4=〃P+6,即可解得答案.

【解答】解：（1）••・关于x的一元二次方程7-4%+5・2m=0有两个实数根,

••・A20,即（-4）2-4（5-2w）20,

解得m>i,

，实数〃?的取值范围心与

（2）Vxi,X2是x2-4.V+5-2,钝=0的两个根，

/.XI+A2=4,XI、V2=5-2/M»

Vxrx2+/+&=m2+6,

.,.5-2，"+4="P+6,

解得〃?=1或加=-3（此时△V0,舍去）,

・・・m的值1.

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系

数的关系.

22.（12分）【问题情境】：小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1,在等边△A4C中，AB

=5,点M,N分别在边AC,BC上,且AM=CM试探究线段MN长度的最小值.

【问题分析】：小明通过构造“行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点

的运动路径，进而解决上述几何问题.

【问题解决】：如图2,过点CM分别作MM8c的平行线，并交于点P,作射线4P.在【问题情境】

的条件下，完成下列问题：

（1）证明：AM=MPt

（2）求NC4P的度数和线段MN长度的最小值；

【方法应用】：（3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图3,小明收集了该房屋

的相关数据，并画出了示意图，如图4,/XABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AR=AC=CD=

2m,NAC8=30°,MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在OE上.在

调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=ON.请直接写出钢丝绳MN长度的最

小值.

【考点】四边形综合题.

【答案】（1）见解析：（2）30°；；；（3）V6m.

2

【分析】（1）先证四边形CPMN是平行四边形得到MP=NC=AM；

（2）利川等腰三角形可得/。1尸=/知%=30°,再将MN转化成PC,时有最小值，即可求

解；

（3）参考上述思路构造平行四边形，将MN转化成。P,再求得/以D=45°,AD=2瓜即可求解.

【解答】（1）证明：•:CP〃MN,MP//NC,

，四边形CPMN是平行四边形,

:・MP=NC,

又.：AM=CN,

：.AM=MP；

(2)解•・•在等边△A8C中，AB=5,AM=MP,

：.ZCAP=ZMPA,

•；NPMC=NACB=60°,

・・・NC4Q=NM%=30°,

•・•四边形CPMN是平行四边形，

:・MN=PC,

当最小时，线段MN也有最小值，

此时PC=基《=今

・•・线段MN的最小值是a

(3)解：如图，连接A。，过M、。作EQ、MN的平行线，则四边形MNQ尸是平行四边形,

:,MN=DP,MP//ND,MP=DN,

*：AM=DN,

：.ZR\M=ZAPM,

•••四边形8CQE是矩形，

：.BC//DE,NBCD=90°,

J.MP//BC,

：・/PMC=NACB,

VZACB=30°,

・・・NPMC=NAC8=30°,

ZPMC=Zf^M+ZAPM,

：,ZPAM=ZAPM=\50,

・••当。匕LAP时,DP最小,此时MN=D尸最小,

VZACD=120°,AB=AC=CD=2,

1ono_/Arn

:.“AD=ACDA==30°,ZACB=ZACD-ZfiCD=30°,

：.ZR\D=ZCAD+ZPAM=45°，ZACF=ZDAC=30°,

，/以。=/尸。4=45°，AF=CF,

：,AP=D