北师大版九年级数学上册 第1课时 行程（或动点）问题及平均变化率问题（导学案）

第二章一元二次方程

2.4应用一元二次方程

第1课时行程（动点）问题及平均变化率问题

【学习目标】

1.掌握列一元二次方程解决行程（动点）、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实

际意义，检验结果的合理性.

2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题.

学习重点：掌握列一元二次方程解决行程（动点）、几何、变化率等问题，并能根据具体

问题的实际意义，检验结果的合理性.

学习难点：理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题.

【复习导入】

还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？

如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果

梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？/

【合作探究】

探究点1:利用一元二次方程解决行程（动点）问题

（1）在这个问题中，梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m,那么梯子顶

端下滑几米时，梯J'底端滑动的距离和它相等呢？

(2)如果梯子的长度是13m,梯子顶端与地面的垂直距离为12m,那么梯子顶端下滑

的距离与梯子的底端滑沟的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

典例精析

例1如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200nmile处有一目标B,在B的

正东方向200nmile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，

小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D

出发,沿南偏西方向匀速育线航行,欲将一批物品送达军舰.

已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么

相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到01海里)?

练一练

1.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始沿AB边向点B

以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果

P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64um??

P

-------\ft

°

D

探究点2：平均变化率问题与一元二次方程

前年生产1吨甲种药品的成本是500()元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则

去年生产1吨甲种药品的成本是元，如果保持这个下降率，那么现在生产

1吨甲种药品的成本是元.

例2前年生产1吨甲种药品的成本是5000元,随着生产技术的进步，现在生产1吨

甲种药品的成本是4050元，试求甲种药品成本的年平均下降率.

注意：下降率不可为负，且不大于1.

例3某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的

营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求平均增长率是多少？

想一想你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？

练一练

2.前年生产I吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种

药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率.

当堂反馈

1.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个

月投放垃圾桶2500个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x,

则可列方程为()

A.1000(1+4=2500

B.1000(1-A)2=2500

C.(1-r)2+1000=2500

D.f+1000=2500

2.某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下

降的百分率是.

3.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度

共生产化工原料6()万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x,可列出方程

为.

4.随布互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从前年的200万元增长到今年的392

万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率.

书写通关

解：设，

根据题意得.

解得.

(x=不合题意，舍去)

答：.

5.如图，在AABC中，AF50m,8m40m,NC=90。，点二从点A开始沿AC边向点

C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由点C开始以3m/s的速度沿着CB边向点B

匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2?

书写通关

解：设於时，△PCQ的面积等于450m2,_夕

由题意可得4尸=m,PC=m,CQ=m,|

所以可得方程.Q

解得."

当］=不合题意，舍去.

答：s时，△PCQ的面积等于450nr.

参考答案

【合作探究】

探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题

(1)解：设梯子顶端下滑xm时，梯子底端滑动xm,根据题意，得

(8-x)2+(6+x)2=102.x2-2x=0

解得xi=0(舍)，X：=2.

答：梯子顶端下滑2m.

(2)解：设梯子顶端下滑xm时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得

(12-X)2+(5+X)2=132,x2-7x=0

解得xi=0(舍)，x2=7.

典例精析

例1解：连接DF.VAD=CD,BF=CF,ADF是AABC的中位线.

・・・DF〃AB,1.DF=|AB,VAB1BC,AB=BC=200nmile,

ADF1BC,DF=100nmile,DF=100nmile.

设相遇时补给船航行了xnmile,那么DE=xnmile,AB+BE=2xnmile,

EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmile.

在RtADEF中，根据勾股定理叫得方程

x2=1OO2+(3OO-2X)2.

整理，得3x2-1200x+100000=0,

解这个方程得(不合题意，舍去).

所以，相遇时补给船大约航行了118.4nmile.

练一练

1.解：设所需时间为ts,根据题意，得

2t(6-1)4-2=6X12-64.

整理得t2-6t+8=0.

解方程，得2U0卜号31±邺./=200+当普

答：在第2秒和第4秒是五边形面积是64cm2.

探究点2:平均变化率问题与一元二次方程

例2解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得

5000(1-X)2=4050,

解方程，得xi=0.1>X2=1.9.

根据问题的实际意义，取x=0.1,

即甲种药品成本的年平均下降率为10%.

例3解：设平均增长率为x.根据题意，得

200+200(1+x)+200(1+x)2=950,

整理方程，得4x2+12x-7=0.

解得xi=35(舍去),X2=0.5=50%.

答：平均增长率为50%.

练一练

2.解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得

6000(1-y)2=3600

解方程，得y产0.225,y2^1.775.

根据问题的实际意义，取y^0.225,

即甲种药品成本的年平均下降率为22.5%.

当堂反馈

1.A

2.40%.

3.15+15(1+x)+15(1+X)2=60.

4.

解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，

根据题意得200(1+赤=392.

解得汨=0.4,3=—2.4.

(x=-2.4不合题意，舍去)

答：该购物网站