高一数学暑假提升：基本不等式【八大题型】（解析版）

基本不等式【八大题型】

【知识点1两个不等式】

1.两个不等式

不等式内容等号成立条件

重要不等式a2+b2>2ab(a.b£R)当且仅当“生夕‘

时取心”

基本不等式1-/+/?当且仅当“日”

y/ab^—2~(a>0,b>0)时取“今

皇叫做正数外。的算术平均数，血叫做正数。，。的几何平均数.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

温馨提示：“当且仅当a=b时，等号成立“是指若斫纺，则序+/先。〃，晒空，即只能有片+/》为山,

/—〃+—

【题型1对基本不等式的理解】

[例1]（2023.仝国.高一假期作业）不等式（x-2y）+二-”成立的前提条件为（）

■x-2y

A.x>2yB.x>2yC.x<2yD.x<2y

【解题思路】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三两等”，结合此条件即可得解.

【解答过程】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等“，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正

数，所以不等式（％-2丫）+总之2成立的前提条件为％-2丫>0,即x>2y.

故选:B.

【变式1-1］（2023•全国•高一假期作业）不等式小+义之4中，等号成立的条件是（）

A.a=4B.a=V2C.a=—V2D.a=±>/2

【脩题思路】利用基本不等式的取等条件即可求解.

【解答过程】由基本不等式可知小+2N2Ja2.<=*当且仅当Q2=£,

即a=土企时等号成立，

故选：D.

【变式1-2］（2022秋・河南焦作・高一校考阶段练习）给出下列条件：①m>0；②M<0；③Q>0,匕>0；

®a<0,bV0.其中能使；+&N2成立的条件有（）

ba

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据基本不等式可知，当？+2之2成立时，则三>0,可知Q、b同号，据此可得出结论.

bab

【解答过程】由基本不等式可知，要使得£+222成立，则三>0,所以，a、匕同号，所以①©④均可以.

bab

故选：c.

【变式1-3］（2023•全国•校联考三模）己知a>0,b>0,且a+b=L则下列不等式不正确的是（）

A.abB.a2+b2>1

C.D.y/a+y/b<1

一a+7b—+1>2

【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD,消元，化简，结合不等式性质判断C.

【解答过程】因为a>0,b>0,且a+b=l,

2

由基本不等式可得出）工（学）=：（当且仅当Q=b时取等号），A正确；

由基本不等式知手工反％氏

即+（当且仅当Q=b时我等号），B正确；

由题得△+」-=」-+」-二3，

ab+11-bb+11-b2

由已知0<匕<1,故1一匕2€（0,1）,所以言>2,

If

故3+六>2,C正确;

由基本不等式可得布+亦vja+b-F

即+班工企（当且仅当Q=b时取等号），D错误.

故选：D.

【题型2由基本不等式比较大小】

【例2】（2023・江苏•高一假期作业）已知尸=X+*分0）,。=/—40+7（1〈后3）.则P、。的大小关系为

（）

A.B.C.伦QD.0

【解题思路】由基本不等式可得P>4,通过配方结合1CbW3可得Q<4即可选得答案.

【解答过程】P=a2+^>2Ja2*=*当且仅当。=士或时等号成立，

Q=从一4b+7=（b—2/+3W4,当力=3时等号成立，

所以P>Q.

故选：C.

【变式2-1]（2023•全国•高三专题练习）若0<a<从则下列不等式成立的是（）

A.Vab<a<<bB.\[ab<<a<b

C.a<>[ab<<bD.a<<y[ab<b

【解题思路】根据已知条件利用基本不等式直接得出病<雷，再结合0<avb可得出结果.

【解答过程】由已知0<a<匕，利用基本不等式得出等，

因为0VaVb,则a2<ab<b2,a+b<2b,

所以a<y/ab<b,<b,

:.a<\[ab<<b.

故选：C.

【变式2-2]（2023•全国•高一假期作业）已知“、〃为正实数，，4==2+，,G=7^5,则（）

2Hab

A.G<H<AB.H<G<A

C.G<A<HD.H<A<G

【解题思路】利用基本不等式计算出“<6<71.

【解答过程】因为。、匕为正实数，

所以4之发=G,当且仅当Q=b时，等号成立，

A=j+注2J3•q=急,所以当且仅当a=b时，等号成立，

综上：H<G<A.

故选：B.

【变式2-3]（2023秋・辽宁・高一辽河油田第二高级中学校考期末）若Ova<1,Ovbvl,月。工b,则

a+b,2\[ab,2ab,小+炉中最大的一个是（）

A.a2+bzB.2\[ab

C.2abD.a+b

【解题思路】首先利用均值不等式比较a?+乒与2ab的大小和Q+b与2夜的大小，然后结合不等式的性质

即可确定四个表达式中最大的一个.

【解答过程】v0<a<1,0<b<1,且Q工b,

2222

•••a+b>2ab,a+b>2yfab,a>a,b>bt

•••a+b>a2+b2

故选：D.

【题型3利用基本不等式证明不等式】

【例3】（2023•全国•高一假期作业）已知a>0,b>0,且a+b=l,求证：之9.

【解题思路】利用a+b=l把（1+0（1+3化为（2+》（2+$,展开利用基本不等式求最值即可证明.

【解答过程】因为a>0,b>0,a+b=1,

所以（1+3（1+9=（1+.）（1+誓）=（2+软2+）=5+与+m

25+2楞x.=9,当且仅当弓=塞即a=b/时等号成立,

故原题得证.

【变式3-1]（2023秋・河南•高一友联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件.

（1）若0工工工1,则正（1一4）工3

（2）若abH0,则卜+EN2.

lab

【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；

（2）讨论ab>0和帅<0两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.

【解答过程】（I）证明：因为0WXW1,所以l-V^>0,

2

所以4（i—y）4=%

当且仅当y=i-y,即％=:时，等号成立.

4

（2）证明：因为abHO,当Q6>0时，林+,=3+£22后^=2,

当且仅当a=b去0时等号成立.

当岫<0时，|"外=（一］十（甘"2］（一枳一［=2,

当且仅当Q=-b丰0时等号成立.

综上，若abHO,则标+,岂2成立，当且仅当a?=肝Ho时等号成立.

【变式3-2］（2023•全国•高一假期作业）已知a,h,c均为正实数.

（1）求证：a+b+c>>［ab4-4bc4-Vac.

（2）若a+b=l,求讦：（1+：）（1+"）>9

【解题思路】（1）利用基本不等式证明即可；

(2)由(1+3(1+/=1+.利用基本不等式求最值即可.

【解答过程】(1)因为小4c都是正数，所以

Q+b+c=；[(Q+b)+(b+c)+(Q+c)]>(2>[ab+2yfbc+2Vac)

-4ab+yfbc+yfac,当且仅当a=b=c时，等号成立，

所以a+/?+c>Vab+>[bc+Vac；

(2)(1+9(1+9=1+工+：+白=1+号+十=1+2之1+477=1+3=9,

\a/\b/ababababab(a+"7

当且仅当Q=b=1时等号成立.

【变式3-3］（2023秋・江西新余商三统考期末）已知a>0,b>0,且Q十匕=2,证明.

(l)a2b34-b2a3<2；

a3+2bb3+2a

⑵:a+2+b+2NQ+b

【解题思路】（1）首先将不等式左边进行变形，利用公式2=a+bZ2倾，证明不等式;

（2）首先将不等式左边变形为小+非，再利用基本不等式证明.

22

【解答过程】（1）a2b3+匕2a3-Q2b2（Q+b）=2ab,

因为a>0,b>0,2=a+b>2\/ab,则0VabW1,则a2b?w1,当a=b时等号成立,

所以a2b3+52a3<2；

(2)a3+2bb3+2a

a+2b+2

a3+2a2-2a22bb3+2b2-2b2+2a

++

Q+2b+2

2b-2a2,2a-2b2

+bz+―—―

a+2b+2

2+2(2-a)-2a2+*+2(2-b)-2b

a+2b+2

2(a-l)(a+2)2(b-l)(b+2)

a2+b2-

a+2b+2

=G2+b2—2(Q+b—2)=Q2+/

而M+炉=(。+r2-2ab=4-2ab>4-=2=a+b,当a=b时等号成立,

3

I2b+bI2a>a+b.

所以a+2b+2

【知识点2基本不等式与最值】

1.基本不等式与最值

已知x,），都是正数，

（1）如果积外等于定值P,那么当x=y时，和戈+y有最小值2"；

（2）如果和工+），等于定值S,那么当x=y时，积孙有最大值扣.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（l）x、y>0,（2）和（积）为定值，（3）

存在取等号的条件.

【题型4利用基本不等式求最值（无条件）】

【例4】（2023春・广东揭阳•高一统考期末）设工>0,则函数丁二给竺至的最小值为（）

A.6B.7C.11D.12

【解题思路】先化简为、=立匕卫=%+至+1,再利用基本不等式即可求解.

二VV

(解答过程】,.,》>0,二y="+"+2.>=%+至+1工2jx-—+1=11,

XX\1X

当且仅当戈=m，即x=5时，等号成立,

所以函数y=正经至的最小值为11.

故选：C.

【变式4-1］（2023•全国•高一假期作业）函数y=2x+：Q>0）的最小值为（）

A.2B.2V2C.3D.4

【解题思路】直接根据基本不等式即可得结果.

【解答过程】因为％>0,所以y=2x+[22届m=2加,

当且仅当勿=3即x=¥时等号成立，即函数y=2%+1(%>0)的最小值为2注,

故选:B.

【变式4-2](2023春・河南信阳•高一统考期末)当x>Q时，2%+旦的最小值为10,则。=()

x-a

A.1B.V2C.2V2D.4

【解题思路】应用基本不等式求解最小值，再根据最小值求参即可.

【解答过程】当工〉a时，

2x+=2(%-Q)++2a22^2(x—a)x+2Q=8+2Q,

即8+2Q=10,故a=1.

故选:A.

【变式4-3](2023春・湖南•高二统考学业考试)已知0V%V4,则阿二^的最大值为()

A.1B.1C.V2D.2

【解题思路】利用基本不等式可求得3(4-x)的最大值，进而求解即可.

【解答过程】因为0VxV4.5!lj4-x>0.

所以》(4-%)<=4,

当且仅当％=4-即X=2时，等号成立，

所以，x(4--<V4=2,

所以〃(4-％)的最大值为2.

故选：D.

【题型5利用基本不等式求最值(有条件)】

【例5】(2023•重庆沙坪坝•重庆校考模拟预测)已知%>0,y>0,xy+2x-y=10,则x+y的最小值为()

A.2V2-1B.2V2C.4&D.472-1

【解题思路】用y表示％+y后，根据基本不等式可求出结果.

【解答过程】因为x>0,y>0,

由xy+2x-y=10,得％=

所以x+y=舞+丫=弟+丫+2—1>2J端•（、+2）-1=4a一1,

当且仅当y=2&-2时，等号成立.

故x+y的最小值为4夜一1.

故透:D.

【变式5-1］（2023春・陕西宝鸡・高一统考期末）已知4a2+炉=6,则好的最大值为（）

A.-4B.-2C.-2D.3

【解题思路】根据基本不等式的变形形式直接求解.

【解答过程】由题意得，6=4Q2+/=（2Q）2+b2n2.2a即M

当且仅当2a=b,即a=今b=V5或a=一今b=—V5时等号成立，

所以ab的最大值为最

故选：B.

【变式5-2］（2023春・山西・高一统考期末）已知正数〃，方满足Q+2b=6,则的最小值为（）

【解题思路】由a+2b=6.得到a+2+2b+2=10.再利用“1”的代换求解.

【解答过程】解:因为a+2b=6,

所以a+2+2b+2=10,

所以专+告=M（全+康）（a+2+2b+2）N25+2=^'

当且仅当2b+2=2（a+2）,即Q=%匕=（时，等号成立.

故选:C.

【变式5・3】（2023・河南安阳・统考三模）已知a>0,b>0,则下列命题错误的是（）

A.若ab<1,a+7b>2

B.若a+b=4,则三+：的最小值为4

C.若。2+52=4,则ab的最大值为2

D.若2。+人=1,则出）的最大值为日

【解题思路】直接使用基本不等式即可判断A,C,D；若a+b=4,则工+9=：（。+》）0+9,展开后

ab4v\abj

使用基本不等式即可判断B.

【解答过程】V0<ab<1,/•-->1>•'.-+7^2区N2,故A正确；

ahabyjab

若a+b=4,则：+鸿（a+b）&+沪;G+£+10”；（2j^+10）=4,

当且仅当。=1/=3时等号成立，故B正确；

若c2+匕2=4,贝Mb&匕卢=2,当且仅当a=b=e时等号成立，故C正确：

若2Q+匕=L则1=2a+b/2j2ab,即abW：,当且仅当Q==：时等号成立，故D错误.

故选:D.

【题型6基本不等式的恒成立问题】

【例6】（2023春・四川成都・高二校考阶段练习）已知对Vx6（0,+8）,不等式”>血-，亘成立，则实数机的

最大值是（）

A.IB.2C.3D.不存在

【解题思路】将已知转化为对VxE（0,+8）,不等式m<x+（恒成立，利用基本不等式可知m<2恒成立，

即可得到答案.

【解答过程】对VxW（0,+8）,不等式%>皿一，亘成立，可化为％+：>7日恒成立，

利用基本不等式知》+222「3=2,当且仅当％=工，即％=1时等号成立

XyJXX

A（X+=2,即mV2恒成立，即实数机的最大值不存在.

\x/min

故选：D.

【变式6-1］（2023•高一课时练习）已知不等式（％+y）G+3z9对任意正实数x,y恒成立，则正实数〃

的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【解题思路】由（x+y）G+3=l+或+（+a,然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9,

建立不等式，解之即可.

【解答过程】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要a+y）G+3的最小值大于等于9即可，

•x>0y>0,a>0»

(x+y)G+3=1+微+(+a之1+Q+2>/a,

当且仅当半=狎y=VHx时等号成立，二a4-2>Ja+1>9,

二A/ZN2或VH4一4(舍去)，即Q工4

所以正实数。的最小值为4.

故选：B.

【变式6-21(2023春•黑龙江哈尔滨•高二校考阶段练习)若正实数x,y满足打：=1,且不等式了+与>加2—

4

37n恒成立，则实数m的取值范围是()

A.(—1,4)B.(―co,—1)U(4,4-oo)C.(—4,1)D.(―co,0)U(3,4-oo)

【解题思路】由工+±二1,可算出(x+9,再将最小值代入后+9>?n2-3m,即可求解.

Xy14，min'"min

【解答过程】•.•不等式％+5>/-3小恒成立

4

2

,..(x+g>m-3m

4min

x>0,y>0,且乙+±二1

xy

J/4%y、轨y

Ax+-=(^+T)-+-=------H—F2>2-F2=4

4\4/\xy)y4xIy4x

当且仅当把二子,即％=2,y=8时取等号

y4x,

••(x+9.=4

'什min

•••m2-3m<4,即(m+l)(m-4)<0

解得一1<mV4

故实数m的取值范围是(-1,4)

故选：A.

【变式6-3](2023春•重庆沙坪坝•高三校考阶段练习)已知正数a,b满足工+=1,若不等式Q+T+

a

32b2-mabzo恒成立，则m的最大值为()

A.-B.-C.V2D.上叵

424

【解题思路】结合条件，由Q+?+后匚)—mabNO可得mW小浮E,

然后由2b2N^+b可

得答案.

【解答过程】因为2+：=1,所以a+b=ab,

ab

所以由Q+0怜+2炉一mab2。可得m工吟尸=吒+『,

272aba+b

因为匕—ab=(£—匕)>0,所以+2^N]+b,

a+-+l—+2b2a+^-+—+htit

所以一一所以mWg当且仅当a=3,b=。时取等号，

a+oQ+b222

故选：B.

【题型7基本不等式的有解问题】

【例7】(2023・江苏•高一假期作业)若两个正实数，y满足4%+丫=盯且存在这样的刈y使不等式％+与<

4

Tn?+3m有解，则实数m的取值范围是()

A.(-1,4)B.(-4,1)C.(-oo,-4)U(1.4-00)D.(-oo,-3)U(0,+oo)

【解题思路】依题意可得9+：=1,再利用乘'T'法及基本不等式求出”+：的最小值，即可得到m2+3m>4,

yx4

解一元二次不等式即可.

【解答过程】解：因为%>0,丫〉0且4%+、=0，所以,+%=1,

,JJyx

所以X+*(X+JG+3=2+藁+*N2+2^^=%

当且仅当把=9即y=4%=8时等号成立，

y4x/

所以血2+37九>4,BP(zn+4)(m—1)>0,解得mV—4或m>l,

所以m的取值范围是(一8,-4)U(1,+8).

故选：C.

【变式7-1](2023•全国•高三专题练习)已知x>0,y>0,且：+：=1,若2x+yVm?-8m有解，则实

数用的取值范围为()

A.(-co,-I)U(9,+oo)B.(-9,1)C.[-9,1]D.(-1,9)

【解题思路】由2x+y<62-8讥有解，可知只要加2-8瓶大于2x+y的最小值即可，所以结合基本不等式

求出2x+y的最小值，再解关于m的不等式即可

【解答过程】因为x>0,y>0,且？+工=1,

所以2x+y=(2x+y)(：+)=5+£+§N5+2后=9,

当且仅当，=§,即％=v=3时取等号，此时2%+y的最小值为9,

因为2%+yCm2-8血有解，所以血2一8爪>9,即7M-8m—9>0,

解得m<-1或m>9,

故选：A.

【变式7-21（2023春・山东德州•高二德州市第一中学校考阶段练习）已知正实数》,y满足3%+y+盯-13=

0,且tN2y+x有解，则t的取值范围是［一7+8企,+8）.

【解题思路】根据已知表示出>=与冷，若t>2y+x有解，则£、（2y+*）mm，表示出2y+x,然后利用

基本不等式即可求出其最小值，即可得出答案.

【解答过程】由题知，因为3%+y+xy-13=0,

所以（无4-l）y=13-3x,y=

若£N2y+x有解，则£工（2y+x）min即可，

因为％,y都是正数，

r-rI.।o.26-6x32-6（x+l）

所以2y+x=-------+x=------------+x

/X+lX+1

=^+x+l-7>2J.-（x+l）-7=8V2-7,

当且仅当卫=x+1,即x=4/一1时，等号成立，

X+1

故t28&-7.

故答案为：［—7+8>/2,

【变式7・3】（2023•全国•高三专题练习）已知正数x,y满足4x+9y=xy且x+y<爪2-247几有解，则实

数加的取侑范围是（一co,-1）u（25,+8）.

【解题思路】不等式x+y<Hi?-24m有解，即（％+y）mg<m?-24m,巧用均值不等式求最值即可.

【解答过程】由已知得：-y+-x=1,

X+y=（X+y）（；4-;）=y+^+13>2Jyx+13=25,

当且仅当％=15,y=10时取等号；

由题意：O+y）minV爪2-247M,

BPn2-247n>25,

解得：771<-1或m>25,

故答案为：(-oo,-l)u(25,+oo).

【题型8基本不等式的实际应用】

【例8】（2023•高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平

面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，泡底建造单价

为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求

出最低造价;

【解题思路】设污水池的长为工米，总造价为y元，宽为皆米，得到函数y=200x（2%+詈）+250x等+

80x400求解.

【解答过程】设污水池的长为x米，总造价为y元，则宽为手米.

y=200x（2x+?）+250X个+80x400=400x++32000>56000,

当且仅当400%=笠詈，即％=30时等号成立.

所以设计污水池长为30米，宽为与米时，总造价最低为56000元.

【变式8-1］（2023•全国•高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24m,如果用材料在一边靠墙（墙足

够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最

大面积是多少？

/〈///“/////4/

XXX

yy

【解题思路】根据二次函数的性质即可求解.（或者利用均值不等式求解）

【解答过程】由题意所示3x+2y=24,=

:x>0,y>0,0<x<8,

:,S=2xy=-3x2+24x(0<x<8),

函数的对称轴为％=g=4,

・,.当％=4时，面积取得最大