苏科八年级数学上册 全等三角形的判定 HL（分层练习）

1.3.4全等三角形的判定HL分层练习（学生版）

基础过关练

题型一、直角三角形的判定方法：HL

1.如图，/C=ND=90o、BC=BD.可以判定之的依据是（）

A

B

A.HLB.ASAC.SASD.AAS

2.如图，在V/8C和ACQ/中，AB=CDfNA="=90。，则的理由是（）

BD

A.AASB.SASC.ASAD.HL

3.如图，AC=BDtN4BC=NDCB=90。,则的依据是（）

AD

X

A.SASB.HLC.SSSD.AAS

题型二、用HL需要添加的条件

4.如图，在V48c和△/。。中，/8=/。=90。，要根据“HL”证明还应添加一个

条件是（）

D

A.Zl=Z2B.Z2=Z4C.AB=ACD.AB=AD

5.如图，DEJ.4C于点、E,BFt.4C于点尸,且Q£=8E,若利用证明SEC/以兄则需添加

的条件是（）

DC

三

AB

A.DC=BAB.EC=FAC.NDCE=/BAFD.ND=NB

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习（学生版）

6.如图，ZC=ZD=90°,若利月HL证明18（*△胡。，需添加的条件是.（写出

一种即可）

题型三、用HL证明直角三角形全等

7.如图，已知力。=8。,/。=/。=90°,求证：Rt△48c且RtAZUO.

8.如图所示，力。是的中线，DFJ.AC,DEJLAB,垂足分别为凡E,BE=CF.求证:

RtACDF^RtASD£.

9.己知：如图，AE1AB,BCLAB,EA=ABfD为AB上一点、,连接石。、力。相交于EED=AC,

求证：RI^EAD^RUABC.

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习（学生版）

10.己知：如图4。为△48C的高，E为AC上一点BE交4D于F且有BF=AC,FD=CD.求证:

RtA^FP^RtAJCZ）.

11.如图，4B=4C,。、E分别是力。、48上的点，M、N分别是。石、4。上的点，若月M工CE、

AN1BD,AM=AN,求证：RUABN^RUACM.

题型四、利用HL和全等的性质证明角相等

12.巳知：如图，4。是V相。的高，£是4。上一点，AD二BD,BE=AC,求证:

(1)Z1=ZC.

(2)BEA.AC.

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134全等三角形的判定HL分层练习(学生版)

13.如图，已知力。、"分别是两个钝角V/3C和小8£的高，已知仞=胪,AC=AE.求证:

ZACB=乙4EB.

题型五、利用HL和全等的性质求角的度数

14.2知，如图，点A、E、F、笈在同一条直线上，CA_AB,DBtAB,AE=FB,CF=DE

(1)求证：&CAF9ADBE；

(2)若乙4"=25。，求/。的度数

15.如图，在V"。中，4c8=90。，。为力。延长线上一点，点上在8c边上且CE=CD,AE=BD.

(1)求证：“CE知BCD；

(2)若NC4E=25。,求/ADE的度数.

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16.如图，在四边形4?。。中，NA=NB=9&,£是”上的一点，且酢=8C,连接OE,EC,DE=EC.

（1）求证：RtAADE^RtABEC：

（2）求NCQE的度数.

题型六、利用HL和全等的性质求线段的长度

17.如图，AC=BC,AD±CD,BEtCD,AD=CE.

(1)求证：“CDACBE；

(2)若40=2,BE=6,求OE的长.

18.如图，四边形/18C。中，AB=AC,D0=9O。，BE八AC于点、F,交CD于点、E,连接E力，E4平分NDEF.

(1)求证：AF=AD;

(2)若BF=7,DE=3,求C£的长.

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习(学生版)

19.如图，RtZ\"C与太△="■的顶点4,F,C,。在同一条直线上，与防交于点G,BC与DE

交于点，，Z5=ZE=90°,AF=CD,AB=DE.

(1)求证：R&BgRtADEF

(2)若3=2,求线段C〃的长.

题型七、利用HL和全等的性质证明线段相等

20.如图，已知I力D.相交于点O,AB=CD,于点〃，DNIBC于点、N,BN=CM.

(1)求证：1ABM94DCN;

(2)试猜想OX与。。的大小关系，并说明理由.

21.如图，AD=AC,AB=AE,ZDAB=Z.CAE.

(1)写出与全等的理由；

(2)判断线段。户与W的数量关系，并说明理由.

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题型八、利用HL和全等的性质证明线段之间的位置关系

22.如图，在V"C中，力。/灰;于点。，点£在4。上，DE=DC,点/为8c的中点,

连接E尸并延长至点M，使冗”=防，连接CM.求证：

M

(1)丛BDEgAADC;

(2)ACLMC.

23.如图，4、E、AC四点在同一直线上，4E=C/，过分别作M_L4C,OE_L4C,且48=0

(1)AB//CD；

(2)BD平分EF.

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134全等三角形的判定HL分层练习(学生版)

24.如图，四边形44C。中，BC=CD,AC=DE,/B=/DCE=90°,/C与。£相交于点凡

(1)求证：MBC"ECD

(2)判断线段力。与。石的位置关系，并说明理由.

能力提升练

题型一、证明线段之间的数量关系

25.如图，在V43C中初=4C,/是BC上的一点，BD上AF,CEJ_的延长线于点E,AD=CE.

(1)求证：/XABD出AAEC.

(2)判断4。、DE、CE这三条线段之间的数量关系，并说明理由.

26.如图，在四边形。力8中，CEJ_O力于E,Z1=Z2,CA=CB.求证：N3+N4=180。；0A+OB=2OE.

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习(学生版)

27.如图，在Rt△45C中，DZ?=90°,AB=BC,4。平分/历IC,DE_LAC于点E.

(1)求证：AABD%AED；

(2)请你判断力3,40与，•之间的数量关系，并说明理由.

题型二、直角三角形的全等与动点问题

28.如图，在Rt△44c中，ZC=9O°^C=iO,5C=5,线段叩=4氏P,。两点分别在jC和过点A且垂

直于4C的射线/。上运动，当初的长为何值时，Y4BC与△PQA全等?

29.如图，有一直角三角形力BC,ZC=90",JC=10cm,BC=5cm,线段尸。=9，P、0两点分

别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问。点运动到AC上什么位置时VABC才能和

△在Q全等？

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134全等三角形的判定HL分层练习（学生版）

题型三、灵活利用全等的条件证明三角形全等

30.在△408和△COQ中，NAOB=NCOD=90。,OA=OB,OC=OD,连接4C、BD.

图1图2

（1）如图1,求证：AC=BD；

（2）如图2,当。/=0。时，连接延长8。、CA交于点E,AB、CD交于点F,在不添加任

何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等三角形（第一问中用到的除外）.

31.小晓在进行三角形全等的探究时提出命题：

①“两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等“

②“两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等“

（1）以上命题是真命题的有；（填序号）

（2）请选择一个真命题及与之匹配的图形，补充完整已知、求证，然后证明.

我选择的命题是：,（填序号）

已知：如图（填序号），V"C与"7TU中，；

求证：;

证明：

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题型四、全等与倍长中线模型

32.【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题：如图1,V4BC中,若AB=8,AC=6f

求8c边上的中线4)的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长力。到点E,使DE=AD,请根据小明的

方法思考：

(1)选择：由已知和作图能得到\ZDC到"8的理由是()

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)填空：求得力。的取值范围是.

【方法感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线''字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件

和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,已知：CD=AB,ABDA=ZBAD,力£■是△"D的中线，求证：NC=4BAE.

题型五、全等与旋转模型

33.(1)如图1,在四边形48C。中，AB=4DZB=ND=90°,E,尸分别是边BC,CO上的点，且

N£4F=；".，1D,线段EF,BE,Q之间的关系是;(不需耍证明)

(2)如图2,在四边形力8C。中，力4=力。,4+/。=180。，E,厂分别是边8C,C。上的点，且

加Q,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数

量关系，并证明.

(3)如图3,在四边形力8c。中，"=/D/8+/4)C=180。，E,b分别是边8C,CZ)延长线上的

点，且/£肝44皿)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之

间的数量关系，并证明.

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134全等三角形的判定HL分层练习（学生版）

题型六、全等与垂直模型

34.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】

某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1,由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全

等模型图（如图2、图3）,即“一线三等角”模型和“K字，模型.

【问题发现】（1）如图2,已知V/8C中,CA=CB,乙4cB=90。，一直线过顶点C,过8分别

作其垂线，垂足分别为E，F,求证：V/ECgVbB；

（2）如图3,若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出斯，AE,"之间的数量关系,

并说明理由；

【问题提出】

（3）在（2）的条件下，若BF=44E,EF=5,求△"C的面积.

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习（学生版）

拓展培优练

35.如图，在\，月4。中，ZC=90°,且/E=/C,OE工48于点E.若BC=7,则。£+4。的值为（）

A.14B.12C.9D.7

36.如图，解是248C的平分线，DE上BA,DF1BC,乖足分别是点反/，DM=DN，且8N=6,

A.2B.3C.4D.5

37.如图，在RtZ\/8C中，ZC=90°,JC=12,BC=7,一条线段2。=片8,P、。两点分别在这和

过点A且垂直于力C的射线力X上运动，要使V48C和△。口全等，则/尸=.

38.如图，在“8C和aOEC中，ZC=90°,AB=DE,/C=OC,下歹U结论：①4二/。；②4+NO1=90。；

@AE=DB；④OE=。。.其中结论正确的是.（填序号）

39.如图，在V48C中，力。平分/84E,E为CO的中点，ZDAC=ZADC.求证：AB=2AE.

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习（学生版）

40.证明命题：如果两个直珀三角形有一条直角边和斜边上的高分别对应相等，那么这两个直角三

角形全等.画出图形，写出已知，求证，并证明.

41.如图，VX8C中，4B=4C,4D工BC于点、D.

C

（1）求证：ZUCQg△48。；

（2）过点C作CE/48于点七，CE交力D于点F,若CE=AE.求证：AF=2CD.

42.八年级数学学习小组的同学们在讨论这样一道题：

如图所示，/胡C是钝角，=4C,D,E分别在力BMC上,且CD=BE.试说明：NADC=NAEB.

其中一个同学的解法是这样的：

AB=AC

在△/CO和"BE中，＜BE=CD

NBAE=NCAD

所以△力所以=

（1）你认为这种解法正确吗？为什么？

（2）小明同学想到了另一种解法，他说可以作垂线段构造直角三角形来证明全等.清你按照小明

的思路进行证明.

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习(学生版)

43.【基本模型】

(1)如图1,48co是正方形，NE4F=45°,当£在4。边上，厂在CO边上时，请你探究研、DF与

政之间的数量关系，并证明你的结论.

【模型运用】

(2)如图2,是正方形，ZEJF=45°,当上在8。的延长线上，尸在CQ的延长线上时，请你探

'究BE、。/与M之间的数量关系，并证明你的结论.

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13.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

基础过关练

题型一、直角三角形的判定方法：HL

1.如图，/。=/。=90。,4。=以\可以判定△48C之的依据是（）

A.HLB.ASAC.SASD.AAS

【答案】A

【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法.

根据直角三角形全等的判定定理求解即可.

【详解】解：・・・NC=NQ=90。

在RIZX/18C和RtA/iBD中

BC=BD

'AB=AB"

二Rl"8cgR"8O（HL）

故选:A.

2.如图，在V4“?和ACQ/I中，AB=CDtZB=ZD=90%则△48C的理由是（）

BD

A.AASB.SASC.ASAD.HL

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三犯形的判定方法是解题的关键.

根据全等三角形的判定方法即可直接得出答案.

【详解】解：由全等三角形的判定方法可知，△/8C0△84的理由是HL,

故选：D.

3.如图，AC=BD,/ABC=NDCB=90°,则Rt"8C也Rt/C3的依据是（）

B

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

A.SASB.HLC.SSSD.AAS

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；根据HL可证

明Rt-BCgRtaOCA,据此解答即口J.

【详解】解：-AC=BDtZABC=NDCB=90°,BC=BC,

・•・Rt"8CgRLOC8（HL）,

故诜：B.

题型二、用HL需要添加的条件

4.如图，在V/AC和△力。c中，N8=NQ=90。，要根据“HL”证明R3/18CgR34）C,还应添加一个

条件是（）

C.AB=ACD.AB=AD

【答案】D

【分析】本题考查直角三角形的判定，根据HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角

形全等，由此即可得到答案.

【详解】解：VZ5=ZD=90°,AC=ACt

，要根据“HL”证明RtA/15C^RtAJDC,还应添加一个条件是AB=AD,

故选：D.

5.如图，DEJ.4c于点、E,BF上4c于点、F,且DE=BF,若利用“ML”证明,则需添加

的条件是（）

A.DC=BAB.EC=FAC.NDCE=NBAFD.乙D=4B

【答案】A

【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定,

题目中已经给出一对直角边相等，再添加斜边对应相等可得答案.

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13.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

【详解】解：在RiAOEC和RLSRl中,

CD=AB

DE=BF

：.^DEC^BFA.

所以需要添加的条件是QC=".

故选：A.

6.如图，ZC=ZD=90°,若利月HL证明需添加的条件是.（写出

一种即可）

【答案】AC=BD（或8C=/D）

【分析】本题主要考查的是直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

根据两个直角三角形全等的判定方法HL,即“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”

即可求解.

【详解】解：QZC=ZP=9（F,

：^ABC和△历1。都是直角三角形，

AB=BA,ZC=ND,

当=4Z）或8C=力。时，RtAJ5C^RtAj?/lD（IIL）.

故答案为：AC=BD（或8。=月0）.

题型三、用HL证明直角三角形全等

7.如图，己知力。=8。,/。=/。=90。，求证：RtZ\/18CgRt△胡。.

【答案】证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接根据HL即可证明Rt△力水运RtZ\44。.

【详解】解：在RtZX48C和RtaS/O中，

AC=BD

AB=BA'

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13.4全等三角形的判定HL分层练习(解析版)

8.如图所示，力。是V相。的中线，DF1AC,DE1AB,垂足分别为凡E,BE=CF.求证:

RtACDF^RtA5D£.

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定定理-HL,熟记定理内容是解题关键.

【详解】证明：・・・力。是V/4C的中线，

・\CD=BD

VDFJ.ACtDEIAB,

：.NCFD=NBED=90。

VBE=CF

R3CO/7堂RSBOE(HL)

9.己知：如图，AEtAB,BCLAB,EA=AB,D为上一点,连接E。、力C相交于产，ED=AC,

求证：RUEAD^RUABC.

【答案】见解析

【分析】此题考查的是全等三角形的判定，掌握利用HL判定两个三角形全等是解决此题的关键.

【详解】证明：VAE±ABtBCLAB,

NEAB=NABC=90。,

布Rb"。和RIA/BC中，

ED=AC

EA=AB

：.RtAEJZ)^RtA/15C.

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13.4全等三角形的判定HL分层练习(解析版)

10.己知：如图4。为△4BC的高，E为AC上一点BE交4D于F且有BF=AC,FD=CD.求证:

RtA^FP^RtAJCZ).

【答案】证明见解析

【分析】由题意可知△8F。和“C。都为直角三角形，即可直接利用证明

【详解】证明：・.1。是V"C的高，

/.AD1BCf即/XBFD和“都为直角三角形.

,▼,\BF=AC

・•・在取△“£＞和放△/co中In八八，

rD=CL)

：.ABFD*ACD(HL).

【点睛】本题考查全等三角形的判定；掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键.

11.如图，AB=AC,D、E分别是4C、力8上的点，M、N分别是CE、4。上的点，若4M工CE、

ANLBD,AM=AN,求证：Rt△[BNgRtUCN.

【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键.利用“HL”证明

全等即可.

【详解】证明：,.,4M_LCE、ANLBDf

NANB=/AMC=9。。

在Rt“BN和Rt△4CM中，

AB=AC

AN=AM

RlA/lAN/Rt△/CA/(HL)

题型四、利用HL和全等的性质证明角相等

12.已知：如图，力。是V/8C的高，E是力。上一点，AD=BD,BE=AC,求证:

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

A

（2）BEA.AC.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及垂直的证明，解题的关键是通过证明三角形全等得

到对应角相等，再利用角度关系证明垂直.

（1）先根据力。是V/4C的高，得出N4）8=/4QC=90。，再根据力。=8。，OE=OC得出

Rt"DC且RSBDE,即可证出N1=NC.

（2）如图，延长跖与4C交于点M,由（1）可知Rt“OC丝RL&%,得出Nl=/C,再根据对顶

角/1=4£W,得至lj4£M=NC,得出//屈/+/。/。=90。，从而得出乙1加石=90。，即可证出BE_LRC.

【详解】（1）证明：••FO是V.48C的高，

/.ZADC=ZBDE=90°f

在用和RMBDE中,

AC=BE

AD=BD

,Rt△力。CgRs8QK（HL）,

Z1=ZC；

（2）如图，延长仍与力C交于点M,

•/Z1=ZAEM,Z1=ZC,

/.ZAEM=ZC,

又•••ZJDC=90°,

NC+NC/O=90。，

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13.4全等三角形的判定HL分层练习(解析版)

4EW+NC4Q=90。，

NAME=18O°-(Z/1EA/+ZCAD)=90°,

BELAC.

13.如图，已知力。、"'分别是两个钝角VZBC和△川必的高，已知">=肝，AC=AE.求证:

4cB=2AEB.

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质知识点，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应

角相等.

利用"HL"判定直角三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等来证明.

【详解】证明：•・・/。、/尸分别是两个钝角V/BC和U8E的高,

.H.AD=AF,AC=AE♦

...NF=ND=90,

RU^Z)C^RtAJFE(HL),

ZACD=ZAEFf

ZACB=NAEB.

题型五、利用HL和全等的性质求角的度数

14.巳知，如图，点A、E、F、8在同一条直线上，CA.AB,081/8,AE=FB,CF=DE

(1)求证：ACAFGADBE；

(2)若乙1FC=25。,求的度数

【答案】(1)见解析

(2)65°

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理:

(1)先证月产再证也AOAK(IIL)即可;

(2)根据△。/名4。8后可得/8£。=/4/。=25。，再根据三角形内角和定理即可求解.

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

【详解】(1)证明：DBtAB,

••VC4F和&DBE是直角三角形，

AE=FB,

•.AE+EF=FB+EF,BPAF=BE,

在RtAC/lF^11Rt^DBE中，

AF=BE

CF=DE'

ACAF知DBE(HL)；

(2)解：^CAF^DBE,

二.NBED=NAFC=25°,

DBLAB,

/.D^=90°,

/.ZD=180°-Z5-ZBED=180°-90°-25°=65°.

15.如图，在V48C中，乙4cB=90。，。为力C延长线上一点，点?在8c边上，且CE=CD,AE=BD.

（1）求证：aACE^aBCD；

（2）若NC4E=25。,求/4OE的度数.

【答案】（1）证明见解析；

（2）20°

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形.全等三角形的判定是结合全等三

角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（1）山全等三角形的判定定理HL证得结论；

（2）利用①中全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的性质可以求得NBZ）E=20。.

【详解】（1）证明：・・・4C8=90。，。为4c延长线上一点，

/.ZBCD=90°.

在RtA/lCE和Rt^BCD中，

AE=BD

'CE=CD'

Rl△/CEgRtaBCQ(HL).

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习(解析版)

(2)°；RSACEWRIABCD,

：.NCAE=NCBD=25。.

*：CE=CD,/BCD=90。,

：.NEDC=/DEC=45。.

：.ZBDC=90°-NCBD=65°,

NBDE=ZBDC-NEDC=65°-45°=20°.

16.如图，在四边形力4CQ中，乙4=/8=9(T,E是”上的一点，且/£=8C,连接OE,EC,DE=EC.

(2)求NCQE的度数.

【答案】(1)见解析

(2)45°

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理.

(1)根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可.

(2)根据全等三角形的性质，对应角相等求值即可.

【详解】(1)•••4=4=90。，

/.VADE和VBEC均为直角三角形.

在RIA/IOE和Rl/EC中，

DE=EC

'AE=BC'

RtA^DE^RtA^C(HL).

(2)vRtAJDF^RtA5£C,

；.N4ED=/BCE,ZADE=/BEC,

Z.A=90。,

NAED+N4DE=90°,

NAED+NBEC=90。,

/DEC=1X(F-9(F=9(F,

在△"'(』，DE=EC,

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13.4全等三角形的判定HL分层练习(解析版)

180°-90°_

，ZCDE=ZDCE=-------=43

2

题型六、利用HL和全等的性质求线段的长度

17.如图，AC=BC,ADLCD,BE工CD,AD=CE.

(1)求证：^ACD^CBE；

(2)若4)=2,BE=6,求。E的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)4

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用HL证明三角形全等”是解本题的关键.

(1)根据HL证明三角形全等即可；

(2)根据全等三角形的性质得出。=8£=6,。£=力。=2,再由OE=CQ-CE即可求值.

【详解】(1)VADJ.CD,BELCD,

且1C=〃C,AD=CE,

在RtAJCD与RtACBE,

AC二BC

AD=CE

...RtAAC。丝RtACBE(HL).

(2)"CD知CBE,

：.CD=BE=6,CE=AD=2,

DE=CD-CE=6-2=4.

18.如图，四边形48co中，AB=AC,DD=90°,BEFC于点凡交CO于点E,连接打，E4平分NDEF.

(1)求证：AF=AD；

(2)若8尸=7,DE=3,求CE的长.

【答案】(1)见解析；

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习(解析版)

(2)4.

【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键.

(1)利用角平分线的性质定理即可证明；

(2)证明Ra"/79Rt1C0,得BF=CD=7,由CE=C。-QE即可求解.

【详解】(1)证明：・・・390°,

ADA.DE,

•；E4平分NDEF,

AAED=AAEF,

又AF1EF,

：.AF=AD；

(2)解：在Rt48尸和Rt△彳。中,

AB-AC

AF=AD'

:.RM/"gRaRCD(HL),

・\BF=CD=1,

,/DE=3,

：.CE=CD-DE=7-3=4,

19.如图，Rt△48。与&△/)即的顶点4,F,C,。在同一条直线上，4B与EF交于点、G,BC与DE

交于点〃，Z5=ZF=90°,AF=CD,AB=DE.

【答案】(1)见解析

(2)CH=2

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL和ASA证明三角形全等，是解题的

关键.

(1)先证明4c=。/，再根据HL证明

(2)先证明D"G=DQC〃，从而证明纭。C”,进而即可求解.

【详解】(1)证明：•./厂=。。，

AF+FC=CD+CF,

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13.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

即AC=DF,

在RtZX/灰?和RtADEF中

AC=DF

AB=DE'

RtA(HL)；

(2)解:vRuABC^Rt^DEF,

乙4=ND,ZBCA=ZEFD,

\180°-/®CJ=180°-EFD,

B|JZDCH=ZAFG,

在小G/和。中

4=/D

AF=DC,

4AFG=/DCH

\AJGF^AD//C(ASA),

/.GF=CH,

\'GF=2,

CH=2.

题型七、利用HL和全等的性质证明线段相等

20.如图，已知4）、4。相交于点。，AB-CD,4W_L"C于点"，DNA.BC于点、N,BN-CM.

（1）求证：色ABMWADCN；

（2）试猜想。力与。。的大小关系，井说明理山.

【答案】（1）见解析

（2）OA=OD,理由见解析

【分析】（1）根据HL可证明A/IBW丝△£）（北；

（2）根据AAS证明可得结论.

【详解】（1）证明：•・•AN=CM,

BN+MN=MN+CM,

即CN=BM,

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13.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

AMIBC,DNA.BC,

/AMB=/DNC=9M,

在RlA力和RtADCN中,

AB=CD

BM=CN

RtA/15M^RtADCV(HL)；

(2)解：OA=OD,理由如下：

*/△18必丝△OCN,

/.AM=DN,

ZOM=8NO

在“MO和△ONO中，,ZAMO=£DNO,

AM=DN

△IMO^ONO(AAS),

・・・OA=OD.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

21.如图，AD=AC,AB=AE,NDAB=NCAE.

（1）写出V4OE与△4C8全等的理由；

（2）判断线段。户与3的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析

（2）DF=CF,理由见解析

【分析】（1）山ND48=NC4石得出NO4石=NC48,再＞|•艮据S4S半lj断V力。上与△?1（；*全等即可；

（2）由“03与△4CE全等得出。4=EC,判断与△氏尸全等，最后利用全等三角

形的性质可得.

【详解】（1）全等，理由如下：

■:/DAB=/CAE,

/DAE=/CAB,

在V/。七与△4C8中

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13.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

AD=AC

<ZDAE=NG4B

AB=AE

：."DEAACB(SAS)

(2)DF=CF,理由如下:

在“D?与△力CE中

AD=AC

,ZDAB-/CAE,

AB=AE

：."DBgAACE(SAS),

・\NDBA=/CEA,

•:“DERACB,

AZ.ABC=^AED,

:.ZDBF=ZCEF,

在ADBF与△ECT7111

NDFB=NCFE

<NDBF=Z.CEF,

DB=EC

:"DBF知CEF(AAS),

DF=CF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判

定条件，此题比较典型.

题型八、利用HL和全等的性质证明线段之间的位置关系

22.如图，在V"C中，4DJ.BC于点、D,点、E在4D上,DE=DC,4E=4。，点F为8c的中点，

连接E尸并延长至点M,使EW=，连接CM.求证：

(1)4RDE且A4DC；

(2)AC1MC.

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13.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1））先根据垂直的定义可得"ZM和都是直角三角形，再利用私定理证明三角

形全等即可；

（2）根据"S证明△BFE知CFM,得到/CBE=NBCM,再利用直角三角形的两锐角互余得出力C_L"C.

【详解】（1）vADLBC,

;"BDE=NADC=9。。.

又•；DE=DC,BE=AC,

RtAZ?D£^RtAJDC；

（2）为BC中点,

：.BF=CF.

QFM=EF,NBFE=Z.CFM,

:NFE沿4CFM,

/.ZCBE=NBCM.

由（1）得NCBE=NC力D,

/.NC4D=NBCM.

•••NC4Q+N/CO=90。，

/.Z5GV/+Z/fCD=90°,

:.AC1MC,

【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三

角形全等的判定方法是解题关铤.

23.如图，4、E、F、C四点在同一直线上，花=。/，过E、尸分别作8/74。，QE_L/C,且"=CQ.

求证:

(1)AB//CD；

(2)BD平分EF.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

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13.4全等三角形的判定HL分层练习(解析版)

【分析】(1)求出/"B=NCE0=9O。，推出“尸=。/，根据HL证RtZ\/l8/FRtZ\CZ)E,可得4=NC

即可得出答案；

(2)由RtZX/B/FRtZXCQE推出=M,然后根据AAS即可证△4FGgZ\QEG即可得出结论.

【详解】(1)证明：••・OE_LAGBF1AC,

?.ZAFB=NCED=900,

AE=CFf

AE+EF=CF+EF,

即AF=CE,

在Rl^ABF和RtZ^CDE中,

[AB=CD

[AF=CE'

RZBF"RtACDE,

4=NC,

AB//CD-

(2)证明：v,

:.DE=BF,

\•在AMG和△OEG中，

ZBFG=ZDEG

■ZBGF=ZDGE,

Bb'=DE

..△"G包QEG(AAS),

EG=FG,

:.BD平分EF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

24.如图，四边形48CO中，BC=CD,AC=DEy4=4>CE=90。，4C与。E相交于点尸.

(1)求证：MBC"ECD

(2)判断线段4c与OE的位置关系，并说明理由.

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13.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

【答案】（1）见解析

（2）AC1.DE,理由见解析

【分析】（1）根据HL即可证明△"。❷△石。。.

（2）根据得至Ij/8C4=NCOE,结合=/Z）CE=90。得至lj/。/。=90。，即口J得结论.

【详解】（1）解：

AC=DE

在Rt△月8c和RtAECP中'口一〜，

AB=EC

：.AABCWAECD.

（2）解：ACIDE.理由如下：

AABC咨AECD,

：.ZBCA=4CDE,

Z5=Z£>C£=90°,

4C4+4CO=90°,

ZCD^+ZJCD=90°,

/OEC=180°-（NCD£+N4CQ）=90。,

AC1DE.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等,

熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

能力提升练

题型一、证明线段之间的数量关系

25.如图，在V/出。中力4=月C,b是8C上的一点，801",CEJ."'的延长线于点E,AD=CE.

（2）判断8。、DE、CE这三条线段之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）BD=DE+CE,理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质.

（1）根据己知条件用HL证两个直角三角形全等即可；

（2）由（1）中的结论可得8。=力E,再结合已知条件即可得出结论.

【详解】（1）证明：・・・4Q_L/1F,。£1片厂的延长线于点E,

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

/.△相。和是直角三角形,

在RdlBD和RtACJE中，

AB=AC

'AD=CE'

/.Rt“BDgRt^CAE(HL),

即△4804AAEC；

(2)解：BD=DE+CE,理由如下：

・.•AABD冬4AEC,

/.BD=AEt

VAE=AD+DEfAD=CE,

/.BD=DE+CE.

26.如图，在四边形。力。中，CE_L04于E,Zl=Z2,CA=CB.求证：Z3+Z4=180°；0A+OB=2OE.

D

【答案】详见解析

【分析】过点。向。8作垂线，构建全等三角形，继面根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.

【详解】如图，过点C作3_L05与点尸，则/尸=/。£0=90。，

vZl=Z2,0C=0C,

:AFOC京E0C,

/.CE=CFt0E=0F,

•;CA=CB,NCEA=NCFB=90。,

RhCENRtACM(HL),

/.Z4=Z.CBF,AE=BFy

Z3+ZC5F=180°,

/.N3+N4=180。，

:.OA+O8=(OE+AE)+(OF-BF)=OE+OF'=2OE,

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习(解析版)

27.如图，在Rt△45C中，D4=90°,AB=BC,4。平分DEJ.AC于点、E.

(1)求证：^ABD^AED；

(2)请你判断4?,4。与4C•之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)AB+BD=AC,理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质.

(1)先由角平分线的性质得。8=再由HL证明RtZ\/18QgRt&IEQ即可；

(2)先由RtAJ5D^Rt"ED得力3=IE,AQ=QE,再由已知得NC=45。，进而可得。E=",4。=CE,

即可得出结论.

【详解】(1)证明：・・FD平分NB/C,D4=90。，DE1AC,

：.DR=DE,

在Rt"BD>fllRtAJEZ)中,

AD=AD

DB=DE

R"BD@Rt"ED(HL):

(2)AB+BD=AC.理由如下：

由(I)可知：,

AB=AE,BD=DE,

又♦:AB=BC,D5=90°,

ZC=45°,

DE1AC,

：.ZL£C=90°,

NEDC=45°,

DE=CE,

BD=CE,

4R+RD=4E+CE,RRAB+BD=AC.

题型二、直角三角形的全等与动点问题

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1.3.4全等三角形的判定HL分层练习（解析版）

28.如图，在中