浙江省宁波市鄞州某中学2025-2026学年八年级上学期数学期中加试试题（含答案）

浙江省宁波市鄱州第二实验中学2025-2026学年八年级上学期数学期中加试试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.若Q>b,则下列式子一定正确的是（）

A.a2>b2B.2a<2b

C.-a+1<—b+1D.ga-4<gb-4

2.如图，在△ABC中，AB=AC,/A=40。.以点B为网心，BC为半径画弧，与AB交于点D,连结CD,则

ZACD的度数为（）

A.12°B.15°C.18°D.20°

3.如图，在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,且AD=8,BC=12,点E为AC中点，则DE的

C.6D.6.5

4.若关于x的不等式组的解集为x<3,则m的取值范围是（）

A.m>2B.m>2C.m<2D.m<2

5.如图，在△ABC中，ZABC=60°,ZC=45°,以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、

BC于点M和N,再分别以M、N为圆心，大于:MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结BP交AC于

点D.若AB=2,则CD的长为（）

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A.乎B.V2C.坐D.V3

6.如图，正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等，点E,F分别在边AB,BC上，FG过点D,

连结DH,z\DGH的面积为1.若记AE长为x,CF长为y,当x,y的值发生变化时，下列代数式的值

不变的是（）

A.x+yB.xyC.x2+y2D.5

7.如图，在△ABC中,ZACB=120°,AC=BC=4,动点D在线段AB上，以CD为边在右侧作等腰

△CDE,使/DCE=120。,DC=EC,点F为BC边上动点，连结EF,则△CEF周长的最小值为（）

C

C.4+V3D.2+2百

8.如图，在等边△ABC中，BD是△ABC的角平分线，BD=3,点E为BD上一点，将BE绕点B时

针旋转6（）。得BF.当F,E,C三点恰好在同一直线时;连结CF与

DF,则DF的长为（）

A

C.3D.m

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9.已知等腰三角形有一个角为40。，则这个等腰三角形的顶角度数为

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10.如图，已知Z.BAC=90\BC=遮,48=1,AD=CD=1,,则NBAD=

11.若关于x的不等式组『“二Q的整数解有且只有一个，则a的取值范围是

5—2Q<0------------------

12.如图，在AABP中，ZB=45°,ZAPB=120°,延长BP至点C,连接AC.若PC=2PB,则NC的度数

为.

13.若定义max{a,b}是a与b中的较大者,例如：max{1,3)=3,max{5,5)=5,若有y=max{x+3,-

x+8},那么y的最小值是.

14.如图，△ABC中，AB=AC,AD_LBC于点D,DE平分/ADC,交AC与点E,EF_LAB于点

F,且交AD于点G,若AG=2,BCW2,则AF二.

三、解答题（本大题共4小题，共50分）

15.（1）解方程：%2—4%4-2=0；

（4x+1>2（x-1）①

（2）解不等式组：x_3c

~2~x3—20

16.若一个不等式组A有解且解集为a<x<b（a<b）,则称孚为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等

式组B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组B对于不等式组A中点包含.

（1）已知关于x的不等式组A：-3]?,以及不等式组B：-l<x<5,

①A的解集中点值为.

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②不等式组B对于不等式组A（填"是'或"不是”）中点包含.

⑵已知关于x的不等式组（C；{3+/工和不等式组口.若不等式组D对十

不等式组C中点包含，求m的取值范围.

⑶关于x的不等式组E：{x<短（f<m和不等式组F：匕:二.；；/若不等式组F对于不等式

组E中点包含，且所有符合要求的整数m之积为120,求n的取值范围.

17.如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC,CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于

点F,设NBCD=a。

（1）用含a的代数式表示NA：

（2）若CE=CF,求NEBC的度数；

（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB=AC=2V5,求△ABC的面积。

18.如图，已知RSABC中，NBAO90。，D为BC边上一点，ZADC-ZDAC=90°,E为三角形外一

备用图

（1）若NBAD=70。，求/ADB的度数.

（2）求证：zxABF咨ADBE.

C

（3）当△ADE为直角三角形时，求1价为值.

b^ABC

（4）若BE=1,DE=2b，直接写出^ADE的面积.

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：A、令a=o,6=-1,则Q2Vb2,故A错误；

B、若a>b,则等式两边同时乘2得2a>2b,故B错误；

C、若。>匕，则等式两边同时乘-1,再加1,得一Q+lV-b+l,故C正确；

D、若a>b,则等式两边同时乘g,再减4,得瓢一4>前一4,故D错误；

故答案为：C.

【分析】根据“不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的

性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边乘（或除

以）同一个负数，不等号的方向改变逐项进行判断，即可得到答案.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：VAB=AC,

/.ZB=ZACB=1(1800-ZA)=1(180n-40°)=70%

乙

•・•以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D,

・・・AD=BC,

AZBDC=ZBCD=i（180°-ZB）=1（180°-70°）=55°,

・•・ZACD=ZACB-ZBCD=700-55°=l5°.

故答案为：B.

【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出NB,NACB的度数；利用作图可证AD=BC,

再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出NBCD的度数;然后根据NACD=NACB-NBCD,

代入计算求出NACD的度数.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：TAB=AC,AD平分NBAC

AAD_BC,CD=BD=1BC=6

乙

：.AC=y/AD2+CD2=x/62+82=10

•・・E为AC的中点

.\DE=1AC=5

故答案为：A.

【分析】由等腰三角形“三线合CD=1BC,AD±BC,由勾股定理得AC的长，由直角三角形的性质得

DE的长.

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4.【答案】B

【解析】【解答】解：由得的解集为x<3,故m+lN3,得mN2.

故答案为：B.

【分析】求解不等式组中的不等式，根据解集可得m的取值范用.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：过点A作AEJ_BC于点E,DF1BC于点F

•・,在4ABE中，ZABC=60°

・•・ZBAE=90o-ZABE=90°-60o=30°

ABE=iAB=l

乙

AAE=7/152-BE2=V22-l2=V3

ZC=45°

ACE=AE=V3

.•.BC=BE+CE=1+V3

,/由作图痕迹知BD平分/ABC

・•・ZCBD=1ZABC=3O°

设DF=x,则CF=x,BD=2x,BF=V3x

BC=X+X/3X=1+-/3,得x=1

CD=JD/72+《有2=.JYTI=V2

故答案为：B.

【分析】由作图痕迹知BD平分NABC,作AE_LBC于点E,可得BE=1,CE=V5,作DFJ_BC于点F,设

DF=x,则BO1+冉，由此可得x=l,可得CD的长.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：连接DE、EC,设S△诋=S,BE=m,

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H

D

S痴FGH'S^CDE=2Sil:ABCD，S^BCD=^EFGH

••SA。6H=S“DE

1111

ACDE

,S=SADEF+SACDF-^LEFC=LDEF+之xCOxCF-xC“xBE=S^DEF+3(%+m)y—2ym=

,1

Sc&DEF+2町，

SRDEH=S^DEF+S^DGH=S\[)EF+1

.1i

••/y=1

/.xy=2

故答案为：B.

【分析】连接DE、EC由正方形与矩形面积相等可得S"£H=S^DE，根据面积割补可得xy=2,即xy为定

值.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：取点C关于AB的对称点CI在AC上取点G,使CG二CF,连接DG,

C

AZDCG=ZFCE

XVCD=CE,CG=CF

・•・△DCG^AECF(SAS)

当C；D、G共线，且C，G_LAC时：aCDG的周长取最小值，即aCEF周长取最小值,

VCD=CD

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ACG+DG+CD=CG+GC=2+2百

故答案为：D.

【分析】取点C关于AB的对称点C,连接CD,取CG=CE,可得△DCG@Z\ECF,当C\D、G共线，且

CGJ_AC时，周长取最小值.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：连接AF,如图所示,

•・,△ABC为等边三角形，BD平分/ABC

ABDIAC,AD=CD,ZABD=1ZABC=3O°

设AB=2m,贝I」AD=m,则有(2m)2=+(0)2,得m二g

VBE=BF,ZEBF=60°

•••△BEF为等边三角形

.\ZABD=ZABF=30°

・•・ZCBF=90°

AEFlAB

ACF1AB

.\ZBCE=ZACF=30°

.*.△CAF^ACBF(SAS)

・•・ZCAF=90°

设CF=2x,则AF=x,(2x)2=/+(2V3)2,解得x=2,

DF=〃/?2+心=心+c=q

故答案为：B.

【分析】连接AF,由等边三角形的性质知BD_LAC,由勾股定理可得AD的长，同时aBEF为等边三角

形，NFAO90。，由勾股定理得AF的长，由此可得DF的长.

9.【答案】40。或100。

【解析】【解答】解：若4()。为顶角，符合题意；

若40。为底角，则顶角为180°-40°-40°=100°；

故这个等腰三角形的顶角为40。或100。.

第8页

故答案为：40。或100。.

【分析】分类讨论40。为顶角和底允，即可得结果.

10.【答案】45°

(解析］【解答】解：由ZBAC=90°,故AC=7FC2-AB2=J(V3)2-l2=6

而AD=CD=I,故心+。。2=.2,

故△ACD为等腰直角三角形

得NCAD=45°

故/BADn/BAC-/CAD=9(T-45°=45°.

故答案为：45°.

【分析】由勾股定理得AC的长，由此知AACD为等腰直角三角形，得NCAD的度数，即可得NBAD的度

数.

11.【答案】0<Q

【解析】【解答】解：由eW：目得一齐“故avO,且整数解为0,

故｛1<一%0,解得ovaJ

I0<2a<l2

故答案为：0VQ4最

【分析】求解不等式组得-V2Q,根据整数解只有一个，即知其整数解为0,即可得关于a的不等式

组，即得a的取值范围.

12.【答案】75°

【解析】【解答】解：过点C作CD_LAP于点D,连接BD,

VZABP=120°

ZCPD=60°

:.ZDCP=30°

APC=2PD

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VPC=2PB

.\PD=PD

.\ZPBD=ZPDB=30°

VZABP=45°

.\ZABD=15°

ZBAD=ZBDP-ZABD=30°-15°=15°

AZABD=ZBAD

.\BD=AD

AAD=CD

・•・ZACD=45°

・•・ZACB=ZACD+ZBCD=45°+30°=75°

故答案为：75°.

【分析】过点C作CD_LAP于点D,连接BD,知PC=2PD,由此得PB二PD,由外角的性质知

NABD=NBAD,得AOAD,即可得NACB的度数.

13.【答案】号

”,x2

-x+8,x<|

同时，当x>|时，y随x的增大而增大，当x<割寸，y随x的增大而减小，

当x二狎，y取最小值，ymin二学

故答案为：呈.

(x+3,x>5(-

【分析】根据新定义对函数进行化简，即y={2根据函数的增减性知当x=3时取最小值.

14.【答案】|

【解析】【解答】解：VAB=AC,AD±BC

・・・NBAD=NCAD,BD=CD=1BC=6

VZC+ZCAD=90°,ZAGF+ZBAD=90°

.*.ZAGF=ZC

VZDGE=ZAGF

AZC=ZDGE

〈DE平分NADC

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/.ZEDG=ZEDC

・•・△DCE^ADGE(AAS)

DG=DC=6

AD=AG+DG=2+6=8

AC=JA/)2+=^62+82=10

连接BG,S^ABG=$XAGX80=2X48X?G,即：x2x6=；x10x

6

-2222

5AF=V/1(；-FG=I2-(f)=I

故答案为：|.

【分析】由等腰三角形的性质知NBAD=NCAD,由此得NC=NAGF得NC=/DGE,可证

△DCE^ADGE,得DG=DO6,可得AB=AC=10,连接BG,由等面积法得S△加G=乂X80=gx

ABxFG,由此得FG的长，由勾股定理得AF的长.

15.【答案】(1)解：a=l,b=-4,c=2,

—b+Jb2-4ac4±J(-4)2—4x1x2

"=一^一=——2----------=2七五

xi=2-72»X2=2+V2

(2)解：由①得4x+l>2x-2

4x-2x>-2-l

2x>-3

K>-1

由②得

3

一2<"1

【解析】【分析】(1)确定一元二次方程的系数，利用求根公式即可得方程的根；

(2)分别求解不等式，即可得不等式组的解集.

16•【答案】(1)5；是

⑵解：解不等式组Ch7/2//：：%得即m-3<x<m+5,中点值为叱竽±§=抽+1

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解不等式组Dg二%;，，得｛仁*即56，

不等式组D对不等式组C中点包含，得解得-5Vm<5

(3)解：不等式组E的解集为2n<x<2m,中点值为m+n,

不等式组F的解集为"四<x<n+6

不等式组F对于不等式组E中点包含，得塔即<山+几〈几+6,得n<m<6,

符合要求的整数m之积为120,而120=1x2x3x4x5

故m的取值可为1,2,3,4,5或2,3,4,5,

得0<n<2

【解析】【解答】解：⑴求解不等式管二:jj，，得｛：*，即4Vx<6,中点值为竽=5;

对不等式组B,-1VXW5,故不等式组B对于不等式组A中点包含；

【分析】(1)①求解不等式组A的解集即可得其中点值；⑦由A的中点值在B的解集中即可知是中点包

含；

(2)分别求解不等式组C、D,并求出C的中点值，由此可得即可得01的范围；

(3)分别求出E、F的解集和E的中点值，由此可得n<m<6,所有m的整数之积为120,由此可得m的取值为

1,2,3,4,5或2,3,4,5,即可得n的范围.

17.【答案】(1)解：:CD为AB边上的高线，ZBCD=a,

・•・ZABC=90°-a,

VAB=AC,

AZACB=ZABC=90°-a,

・•・ZA=180°-(ZACB+ZABC)=180°-(90°-a+90°-a)=2a；

(2)解：:CD为AB边上的高线，NA=2a,

・•・ZACD=90°-2a,

VCE=CF,

•••乙CFE=Z-CEF=12(1800-Z.ACD)=12(180°-90°+2a)=45°+a,

,/ZCFE是^BCF的一个外角，

/.ZCFE=ZEBC+ZBCD=ZEBC+a,

.\ZEBC+a=45°+a,

AZEBC=45°；

(3)过点A作AN1BC于点N,AN交BE于点M,连接CM,如图所示：

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LEAM=乙BCD

AE=CF，

乙MEA=乙BFC

TAB二AC,ZA=2a,

AZEAM=a,

.\ZEAM=ZBCD=a,

VCE=CF,

・•・ZCEF=ZCFE,

ZCEF+ZMEA=180°,

ZCFE+ZBFC=180°,

.\ZMEA=ZBFC,

•・,若E为AC中点，AB=AC=2遮，

.\AE=CE=CF=V5

在小AEM和^CFB中，

/.EAM=乙BCD

AE=CF>

(4ME;4=乙BFC

.*.△AEM^ACFB(SAS),

・••设ME=BF二x,

VAB=AC,AN±BC,

・・・AN是BC的垂直平分线，

AMC=MB,

VZEBC=45°,

AZMCB=ZEBC=45°,

即^BCM是等腰直角三角形，

•••NBMO90。，

即CM1EF,

VCE=CF,

Z.ME=MF=BF=x,

.\MC=MB=BF+MF=2x,在R@CME中，ME=x,CM=2x,CE=V5x,

由勾股定理得：CE=y/CM2+ME2=4Sx,

•••y/5x=V5,

x=1,

MC=MB=2x=2,

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在Rt>MBC中,由勾股定理得：

BC=yjMB24-MC2=2V2,

BN=CN=12BC=72,

22

在RtAACN中,由勾股定理得：AN=yJAC2-CN2=J(2V5)-(V2)=3V2

11

:.S^ABC=5BC•AN=5x2V2x3A/2=6.

【解析】【分析】(1)先求出.乙18。=90。一。,进而得乙4。8=乙48。=90。一。,，再根据三角形的内角和定理

即可得出答案；

⑵先求出/ACD=90O-2a,根据CE=CF得NCFE=NCEF=45。+。，再根据三角形外角性质得

ZCFE=ZEBC+a,由此可得出NEBC的度数；

(3)过点A作AN±BC于点N,AN交BE于点M,连接CM,证明△AEM和^CFB全等得设ME=BF

=x,结合(2)的结论证明aBCM是等腰直用三角形得NBMC=90。，进而得ME二MF二BF二x,则MC

=MB=2x,在RtZkCME中，由勾股定理得x=1,贝UMC=MB=2,BC=2或,进而得AN=3四,由此可得

出^ABC的面积.

18.【答案】⑴解:VZBAC=90°.ZBAD=70°

•••ZCAD=90°-ZBAD=90°-70°=20°

VZADC-ZDAC=90°

，ZADC=ZDAC+90°=20°+90°=l10°

VZADB=180°-ZADC

.,.ZADB=180o-ll00=70o

(2)证明：VZBAC=90°

/.ZBAD+ZCAD=90°

.\CAD=90°-ZBAD

VZADC-ZDAC=90°

・•・ZADC=90°+ZDAC=90°+90°-ZBAD=180°-ZBAD

/.ZADC=180°-ZBDA

AZBAD=ZBDA

ABD=BA

又「BE=BF,ZABC=ZEBC

・•・△ABF^ADEB(SAS)

(3)解:设NABD=2a,则EBD=2a,，・•由⑵知△ABFg^DEB

ABA=BD,ZBAF=ZBDE

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/.ZAED=ZABF=2a

，ZBAD=ZBDA=90°-a

VBE=BF

.\ZBEF=ZBFE=90°-a

/.ZAFD=90°-a

・•・ZFAD=1800-ZAFD-ZADF-180°-2(900-a)=2a

AZDAE=ZDEA

当△ADE