2025-2026年高三数学第三轮复习数列第十章测试卷

2025-2026年高三数学第三轮复习数列第十章测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。选项A正确。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则c_4的值为（）A.11B.13C.15D.17解析：由S_n公式可得c_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2-3n]-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，代入n=4得c_4=11。选项A正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_n等于（）A.nB.n+1C.2nD.n^2解析：由T_n公式可得e_n=T_n-T_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n+1/2，当n=1时e_1=T_1=1，符合公式。选项B正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_5的值为（）A.31B.33C.35D.37解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，可得f_2=2×2+1=5，f_3=2×5+1=11，f_4=2×11+1=23，f_5=2×23+1=47。选项D正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值为（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7=2×(a_3+a_7)/2=18，选项C正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则c_4等于（）A.26B.27C.28D.29解析：由U_n公式可得h_n=U_n-U_{n-1}=[3^n-1]-[3^{n-1}-1]=2×3^{n-1}，代入n=4得h_4=2×3^3=54，选项D正确。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则i_6的值为（）A.64B.128C.256D.512解析：由等比数列性质i_3=i_1q^2=8，得q=2，故i_6=i_1q^5=2^5=32。选项B正确。10.已知数列{j_n}满足j_n=n(n+1)/2（n≥1），则j_1+j_2+...+j_5等于（）A.55B.60C.65D.70解析：由j_n公式可得j_1=1，j_2=6，j_3=12，j_4=20，j_5=30，求和为1+6+12+20+30=69。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=5n^2+3n，则该数列的通项公式a_n为________。解：由S_n公式可得a_n=S_n-S_{n-1}=[5n^2+3n]-[5(n-1)^2+3(n-1)]=10n-2，故a_n=10n-2。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=4，b_4=16，则该数列的公比q为________。解：由b_4=b_2q^2可得q^2=16/4=4，故q=±2。3.已知数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+n，则c_3的值为________。解：由c_n=T_n-T_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，代入n=3得c_3=6。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=3d_n（n≥1），则d_5的值为________。解：由递推关系可得d_2=3，d_3=9，d_4=27，d_5=81。5.在等差数列{e_n}中，若e_1=2，e_5=14，则该数列的公差d为________。解：由e_5=e_1+4d可得4d=14-2=12，故d=3。6.已知数列{f_n}的前n项和U_n=2^n-1，则f_4的值为________。解：由f_n=U_n-U_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，代入n=4得f_4=8。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=3，g_3=12，则g_5的值为________。解：由g_3=g_1q^2可得q^2=12/3=4，故q=2，g_5=g_1q^4=48。8.已知数列{h_n}满足h_n=n^2（n≥1），则h_1+h_2+h_3+h_4+h_5的值为________。解：求和为1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55。9.在等差数列{i_n}中，若i_3+i_9=26，则i_6+i_8的值为________。解：由i_3+i_9=2i_6=26，得i_6=13，又i_6+i_8=2i_7=2×(i_3+i_9)/2=26。10.已知数列{j_n}满足j_n=2n-1（n≥1），则j_2+j_4+j_6+j_8+j_10的值为________。解：求和为(2×2-1)+(2×4-1)+(2×6-1)+(2×8-1)+(2×10-1)=75。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列一定是等差数列。（）解：由a_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故数列为等差数列，正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0且q>1，则数列{b_n}是递增数列。（）解：由b_n=b_1q^{n-1}可知，当q>1时数列递增，正确。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+1（n≥2），则该数列一定是等差数列。（）解：由递推关系可知公差为1，故数列为等差数列，正确。4.在等差数列{d_n}中，若d_1+d_5=10，则d_3=5。（）解：由d_1+d_5=2d_3=10，得d_3=5，正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列一定是等比数列。（）解：由e_n=U_n-U_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故数列为等比数列，正确。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则f_3=24。（）解：由f_4=f_2q^2可得q^2=54/6=9，故q=3，f_3=f_2q=18，错误。7.若数列{g_n}满足g_n=n（n≥1），则该数列的前n项和为S_n=n(n+1)/2。（）解：由S_n公式可得S_n=1+2+3+...+n=n(n+1)/2，正确。8.在等差数列{i_n}中，若i_1=2，i_5=14，则i_10=30。（）解：由i_5=i_1+4d可得4d=14-2=12，故d=3，i_10=i_1+9d=2+27=29，错误。9.已知数列{j_n}的前n项和U_n=3^n-1，则j_n=3^{n-1}。（）解：由j_n=U_n-U_{n-1}=[3^n-1]-[3^{n-1}-1]=2×3^{n-1}，错误。10.在等比数列{a_n}中，若a_1+a_3=10，则a_2=5。（）解：由a_3=a_1q^2，a_1+a_3=a_1(1+q^2)=10，无法确定a_2=a_1q，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为3，公差为2，求该数列的前10项和S_10。解：由S_n公式可得S_10=10×3+(10×9×2)/2=210。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），求b_5的值。解：由递推关系可得b_2=1+2=3，b_3=3+3=6，b_4=6+4=10，b_5=10+5=15。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由c_4=c_2q^2可得q^2=54/6=9，故q=3。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，求d_3的值。解：由d_n=T_n-T_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，代入n=3得d_3=6。5.在等差数列{i_n}中，若i_1=2，i_5=14，求该数列的通项公式a_n。解：由i_5=i_1+4d可得4d=14-2=12，故d=3，a_n=2+(n-1)×3=3n-1。6.已知数列{j_n}满足j_n=2n-1（n≥1），求j_1+j_2+j_3+j_4+j_5的值。解：求和为(2×1-1)+(2×2-1)+(2×3-1)+(2×4-1)+(2×5-1)=25。7.在等比数列{a_n}中，若a_1=3，a_3=12，求a_5的值。解：由a_3=a_1q^2可得q^2=12/3=4，故q=2，a_5=a_1q^4=48。8.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，求b_4的值。解：由b_n=U_n-U_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，代入n=4得b_4=8。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增产设备10台，已知第一年生产设备50台，求该工厂第五年的产量。解：由等差数列可得a_1=50，d=10，a_5=a_1+4d=90。2.某城市人口每年增长5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列可得a_1=100，q=1.05，a_5=a_1q^4≈127.63万。3.某人存款计划每年存入银行1000元，银行年利率为2%，求5年后的本息和（复利计算）。解：由复利公式可得S=1000[(1+0.02)^5-1]/0.02≈1104.1元。4.某林场计划每年比上一年多植树200棵，已知第一年植树1000棵，求该林场第五年的植树数量。解：由等差数列可得a_1=1000，d=200，a_5=a_1+4d=1800。5.某产品成本每年下降10%，已知2020年成本为100元，求2024年的成本。解：由等比数列可得a_1=100，q=0.9，a_4=a_1q^3≈72.9元。6.某公司员工工资每年上涨8%，已知2020年工资为5000元，求2023年的工资。解：由等比数列可得a_1=5000，q=1.08，a_3=a_1q^2≈5832元。7.某农场计划每年比上一年多施肥5吨，已知第一年施肥20吨，求该农场第五年的施肥量。解：由等差数列可得a_1=20，d=5，a_5=a_1+4d=40。8.某产品售价每年上涨12%，已知2020年售价为200元，求2022年的售价。解：由等比数列可得a_1=200，q=1.12，a_2=a_1q=224元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.B6.A7.C8.D9.B10.C二、填空题1.a_n=10n-22.q=±23.c_3=64.d_5=815.d=32.f_4=87.g_5=488.h_1+h_2+...+h_5=559.i_6+i_8=263.j_2+j_4+...+j_10=75三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.×四、简答题1.S_10=2102.b_5=153.q=34.d_3=65.a_n=3n-16.257.a_5=488.b_4=8五、应用题1.a_5=902.2025年人口≈127.63万3.5年后本息和≈1104.1元4.a_5=18005.2024年成本≈72.9元6.2023年工资≈5832元7.a_5=408.2022年售价=224元【解析】一、单项选择题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。2.由递推关系b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。3.由S_n公式可得a_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，代入n=4得a_4=8。4.由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_2=a_1q=6，a_4=a_1q^3=54，联立可得q=3。5.由S_n公式可得e_n=U_n-U_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n+1/2，当n=1时e_1=T_1=1，符合公式。二、填空题1.由S_n公式可得a_n=S_n-S_{n-1}=[5n^2+3n]-[5(n-1)^2+3(n-1)]=10n-2。2.由b_4=b_2q^2可得q^2=16/4=4，故q=±2。3.由c_n=T_n-T_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，代入n=3得c_3=6。4.由递推关系f_n+1=2f_n+1，可得f_2=2×2+1=5，f_3=2×5+1=11，f_4=2×11+1=23，f_5=2×23+1=47。5.由e_5=e_1+4d可得4d=14-2=12，故