2026年江苏省苏教版高二数学选修四第一章同步练习题

2026年江苏省苏教版高二数学选修四第一章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在苏教版高二数学选修四第一章中，若函数f(x)=sin(x+π/3)的图像经过点(π/6,a)，则a的值为（）A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/2解析：由f(π/6)=sin(π/6+π/3)=sin(π/2)=1，得a=1，故选A。2.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a与b的夹角θ满足cosθ=（）A.-7/25B.7/25C.-24/25D.24/25解析：cosθ=(a•b)/(|a||b|)=(1×3+2×(-4))/(√5×√25)=-7/25，故选A。3.在苏教版高二数学选修四第一章中，若复数z=1+i满足|z-2|=1，则z的模长为（）A.√2B.√3C.2D.3解析：设z=x+yi，则|z-2|=√(x-2)²+y²=1，结合z=1+i得x=1，y=1，|z|=√2，故选A。4.已知函数g(x)=log₃(x²-2x+3)，其定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.RD.(-1,3)解析：x²-2x+3>0恒成立，故定义域为R，选C。5.在苏教版高二数学选修四第一章中，若等差数列{aₙ}的前n项和为Sn，且a₃=5，a₅=9，则S₈的值为（）A.64B.72C.80D.88解析：由a₅=a₃+2d得d=2，a₁=1，S₈=8a₁+28d=64，故选A。6.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆心到直线3x-4y-5=0的距离为（）A.1B.√2C.2D.3解析：距离=|3×1-4×(-2)-5|/√(3²+(-4)²)=1，故选A。7.在苏教版高二数学选修四第一章中，若三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则其内切圆半径为（）A.1B.2C.3D.4解析：r=S/s=(3×4)/2÷(3+4+5)/2=1，故选A。8.已知函数h(x)=x³-3x+1，则h(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为（）A.8,-8B.8,-4C.4,-4D.4,-8解析：h'(-1)=0,h'(-1)=6，h(-2)=-8,h(-1)=4,h(1)=-1,h(2)=8，最大值8，最小值-8，故选A。9.在苏教版高二数学选修四第一章中，若直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0垂直，则a的值为（）A.-2B.1C.-2或1D.2解析：k₁k₂=-1得a(a+1)=-2，解得a=-2，故选A。10.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)的最小值为（）A.0B.1C.2D.3解析：分段函数f(x)在x=-1时取最小值2，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若向量u=(2,k)与v=(3,-4)垂直，则k的值为________。解：u•v=0⇒6-4k=0⇒k=3/2。2.已知圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标为________。解：配方得(x-2)²+(y+3)²=16，圆心(2,-3)。3.在苏教版高二数学选修四第一章中，若函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π，且f(0)=1，则φ的可能取值为________。解：T=2π/ω=π⇒ω=2，f(0)=sinφ=1⇒φ=2kπ+π/2(k∈Z)。4.已知等比数列{bₙ}的前n项和为Sn，且b₂=6，b₄=54，则S₅的值为________。解：q²=b₄/b₂=9⇒q=3，b₁=2，S₅=2(3⁵-1)/2=242。5.若复数z=2-3i的共轭复数为z̄，则|z-z̄|的值为________。解：z̄=2+3i，|z-z̄|=|-6i|=6。6.已知直线l₁:3x-4y+5=0与直线l₂:ax+5y-7=0平行，则a的值为________。解：3/4=a/5⇒a=15/4。7.在苏教版高二数学选修四第一章中，若三角形ABC的三个内角分别为A,B,C，且sinA=3/5，cosB=-12/13，则cosC的值为________。解：cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=3/5×(-12/13)-4/5×(-12/13)=12/65。8.已知函数g(x)=x²-2x+3，则g(x)在区间[1,3]上的最小值为________。解：g(x)在x=1处取最小值2。9.若向量a=(1,2)，b=(k,1)，且|a+b|=√5，则k的值为________。解：a+b=(1+k,3)，|a+b|=√(1+k)²+9=√5⇒k=0。10.已知直线l:y=kx+b与圆C:x²+y²-2x+4y-4=0相切，则k²+b²的值为________。解：圆心(1,-2)，半径√(1+4+4)=3，相切⇒|k×1-(-2)+b|/√(k²+1)=3⇒k²+b²=9。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=sin(x+π/6)的图像向右平移π/3个单位，则新函数的解析式为f(x)=sin(x-π/6)。（×）解：平移后为sin[(x-π/3)+π/6]=sin(x-π/6)，但相位变化，正确应为cosx。2.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a与b的夹角为钝角。（√）解：a•b=11>0，故为锐角。3.在苏教版高二数学选修四第一章中，若复数z=a+bi(a,b∈R)满足|z|=|z̄|，则z必为纯虚数。（×）解：z=0时也成立，故错误。4.已知圆C₁:x²+y²=1与圆C₂:(x-2)²+(y-3)²=4相切，则两圆外切。（√）解：圆心距√(2²+3²)=√13=半径和，外切。5.若等差数列{aₙ}的前n项和为Sn，且S₁=3，S₂=6，则该数列的公差为3。（√）解：a₁=3，a₂=3，d=a₂-a₁=3。6.已知函数g(x)=logₐ(x²-3x+2)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(0,1)。（√）解：x²-3x+2>0⇒x∈(1,2)，若单调递增需a<1。7.在苏教版高二数学选修四第一章中，若三角形ABC的三边长分别为5,12,13，则该三角形为直角三角形。（√）解：5²+12²=13²成立。8.已知直线l₁:x+2y-1=0与直线l₂:2x-y+3=0垂直，则两直线相交。（√）解：k₁k₂=-1且斜率存在，必相交。9.若复数z=1+i满足|z-1|=|z+1|，则z必为实数。（√）解：表示z在实轴上，故z=1-i或1+i，实部为1。10.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上有且仅有两个零点。（×）解：f'(-1)=0,f'(-1)=6，f(-2)=-8,f(-1)=4,f(1)=-1,f(2)=8，零点为(-√3,0)和(√3,0)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知向量a=(2,3)，b=(x,1)，且|a+b|=5，求x的值。解：a+b=(2+x,4)，|a+b|=√(x+2)²+16=5⇒x=±1。2.在苏教版高二数学选修四第一章中，若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且周期为π，求φ的可能取值。解：对称轴x=π/4⇒ω(π/4)+φ=kπ+π/2⇒φ=kπ+π/4-π/4ω(k∈Z)。3.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sn，且S₁=5，S₃=15，求该数列的通项公式。解：a₁=5，a₂+a₃=10⇒d=5，aₙ=5+5(n-1)=5n。4.若复数z=1+i，求z²的实部与虚部。解：z²=2i，实部0，虚部2。5.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆C在y轴上的截距。解：令x=0得y²+4y-3=0⇒y=-2±√7。6.在苏教版高二数学选修四第一章中，若函数f(x)=log₃(x²-ax+1)在(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围。解：x²-ax+1>0恒成立，对称轴x=a/2>1⇒a>2。7.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a与b的夹角θ的余弦值。解：cosθ=(a•b)/(|a||b|)=(-14)/(√5×5)=-14/25。8.若直线l₁:3x-4y+5=0与直线l₂:ax+5y-7=0平行，求a的值。解：3/4=a/5⇒a=15/4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=sin(x+π/3)+cos(x-π/6)，求f(x)的最小正周期。解：f(x)=√3sinx+sinx=2sin(x+π/6)，周期T=2π/1=2π。2.在苏教版高二数学选修四第一章中，若等差数列{aₙ}的前n项和为Sn，且a₃=5，S₅=25，求该数列的通项公式。解：a₁+a₂=10，a₁+4d=5，a₁+8d=25⇒a₁=1,d=1⇒aₙ=n。3.已知圆C₁:x²+y²=1与圆C₂:(x-2)²+(y-3)²=4相切，求两圆切点的坐标。解：圆心距√(2²+3²)=√13=半径和，切点在两圆连心线上，设切点(x,y)，解方程组得(3/5,4/5)。4.若复数z=a+bi(a,b∈R)满足|z-1|=|z+1|且z²=3i，求z的值。解：z必为纯虚数，设z=bi，b²=3i⇒b=√3/2，z=√3/2i。5.在苏教版高二数学选修四第一章中，若函数f(x)=logₐ(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围。解：x²-2x+3>0恒成立，对称轴x=1，若单调递增需a<1。6.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a与b的夹角θ的正弦值。解：sinθ=|a×b|/(|a||b|)=|1×(-4)-2×3|/(√5×5)=10/25=2/5。7.若直线l₁:3x-4y+5=0与直线l₂:ax+5y-7=0垂直，求a的值。解：3a-20=0⇒a=20/3。8.在苏教版高二数学选修四第一章中，若三角形ABC的三边长分别为5,12,13，求三角形ABC的面积。解：S=1/2×5×12=30。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.C5.A6.A7.A8.A9.A10.C二、填空题1.3/22.(2,-3)3.2kπ+π/2(k∈Z)4.2425.66.15/47.12/658.29.010.9三、判断题