2026年江苏省北师大版高二数学选修第3章函数性质综合练习题

2026年江苏省北师大版高二数学选修第3章函数性质综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：首先对函数f(x)求导，f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，解得x=0或x=2。分别计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，故M=18，m=-10，M+m=8。正确答案为A。2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,2]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段讨论g(x)的表达式：当x∈(-∞,-2]时，g(x)=-2x-1；当x∈[-2,1]时，g(x)=3；当x∈(1,2]时，g(x)=2x+1。显然在[-2,1]上g(x)恒为3，在(1,2]上g(x)单调递增，故最小值为3。正确答案为C。3.若函数h(x)=x²+2ax+1在x=1处的切线斜率为-4，则实数a的值为（）A.-3B.-1C.1D.3解析：h′(x)=2x+2a，由题意h′(1)=2+2a=-4，解得a=-3。正确答案为A。4.函数k(x)=ln(x²-2x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,3]D.(-∞,1)∪(1,3]解析：由x²-2x+3>0，判别式Δ=(-2)²-4×3=-8<0，故定义域为(-∞,+∞)。正确答案为无正确选项，需修改题目。5.函数φ(x)=2cos²x-sin(2x)-1的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：φ(x)=1+cos(2x)-sin(2x)-1=sin(2x)-cos(2x)=√2sin(2x-π/4)，周期为π。正确答案为B。6.函数ψ(x)=x³-3x+1的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：ψ′(x)=3x²-3，令ψ′(x)=0，得x=±1，ψ′′(x)=6x，ψ′′(-1)=-6<0，ψ′′(1)=6>0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。正确答案为C。7.函数γ(x)=e^x-x²在区间(0,1)上的零点个数是（）A.0B.1C.2D.无法确定解析：γ(0)=1，γ(1)=e-1>0，且γ(x)在(0,1)上单调递增，故无零点。正确答案为A。8.函数μ(x)=xlnx-x在区间(0,1)上的值域为（）A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,1)D.(-∞,0)解析：μ′(x)=lnx，令μ′(x)=0，得x=1，μ(1)=-1，且μ(x)在(0,1)上单调递减，故值域为(-1,0)。正确答案为A。9.函数ζ(x)=|x-1|+|x-2|的图像关于直线x=c对称，则c的值为（）A.1.5B.1.75C.2D.2.25解析：函数图像为两段斜率为1的射线，拐点为(1.5,0.5)，故对称轴为x=1.5。正确答案为A。10.若函数τ(x)=x³+px+q在x=1处的切线与直线y=3x-2平行，则p+q的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：τ′(x)=3x²+p，τ′(1)=3+p=3，得p=0，τ(1)=1+p+q=1，得q=0，故p+q=0。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=√(4-x²)在区间[-2,2]上的最大值为______。参考答案：2解析：f(x)为半圆的上半部分，最大值为2。2.函数g(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期为______。参考答案：π解析：周期为2π/2=π。3.函数h(x)=x³-3x+1的极大值点为______。参考答案：-1解析：h′(x)=3x²-3，h′(-1)=0，h′′(-1)=-6<0。4.函数φ(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上的值域为______。参考答案：(-1,1)解析：φ′(x)=1/(x+1)-1，φ′(x)=0得x=0，φ(0)=0，且φ(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减。5.函数ψ(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,1)上的表达式为______。参考答案：-2x-1解析：x∈(-∞,-2]时，g(x)=-2x-1；x∈[-2,1]时，g(x)=3；x∈(1,2]时，g(x)=2x+1。6.函数μ(x)=e^x-x²在x=1处的函数值为______。参考答案：e-1解析：μ(1)=e-1。7.函数ζ(x)=x³-3x+2的极小值点为______。参考答案：1解析：ζ′(x)=3x²-3，ζ′(1)=0，ζ′′(1)=6>0。8.函数τ(x)=sin(x+π/4)在区间(-π/2,π/2)上的最大值为______。参考答案：√2/2解析：x+π/4∈(0,3π/4)，sin(x+π/4)最大值为√2/2。9.函数γ(x)=xlnx-x在x=1处的函数值为______。参考答案：-1解析：γ(1)=e-1-1=e-2。10.函数k(x)=x²-2x+3的值域为______。参考答案：[2,+∞)解析：顶点为(1,2)，开口向上。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在区间[-1,1]上的最大值和最小值分别为3和-3。解析：f(1)=1，f(-1)=-1，题干错误。2.函数g(x)=sin(x+π/2)在区间(0,π)上单调递减。解析：g(x)=cosx，在(0,π/2)上递减，在(π/2,π)上递增，题干错误。3.函数h(x)=ln(x²+1)在区间(-∞,0)上单调递减。解析：h′(x)=2x/(x²+1)，在(-∞,0)上h′(x)<0，题干正确。4.函数φ(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值为0。解析：φ(1)=0，为最小值，题干正确。5.函数ψ(x)=x³-3x+1在区间(-1,1)上存在唯一零点。解析：ψ(-1)=-1，ψ(1)=e-2<0，ψ(0)=1，连续函数必存在零点，题干正确。6.函数μ(x)=e^x-x²在x=0处的函数值为0。解析：μ(0)=1-0=1≠0，题干错误。7.函数ζ(x)=x²-2x+3的图像关于直线x=1对称。解析：顶点为(1,2)，题干正确。8.函数τ(x)=sin(2x)在区间(0,π)上的最小值为-1。解析：x∈(0,π)时，2x∈(0,2π)，sin(2x)取值[-1,1]，题干错误。9.函数γ(x)=lnx在区间(0,1)上单调递增。解析：γ′(x)=1/x>0，题干正确。10.函数k(x)=cos(x+π/3)在区间(0,2π)上的零点个数为4。解析：k(x)=0即sin(x+π/3)=0，x+π/3=kπ，x=kπ-π/3，在(0,2π)内k=1,2,3，零点为2π/3,5π/3,8π/3，题干错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2，f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，最大值为2，最小值为-4。2.判断函数g(x)=x³-3x+1在区间(-∞,+∞)上是否存在单调区间。解：g′(x)=3x²-3，令g′(x)=0，得x=±1，g′(x)>0得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)，g(x)单调递增；g′(x)<0得x∈(-1,1)，g(x)单调递减。3.求函数φ(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上的最大值。解：φ′(x)=1/(x+1)-1，令φ′(x)=0，得x=0，φ′(x)>0得x∈(-1,0)，φ(x)单调递增；φ′(x)<0得x∈(0,1)，φ(x)单调递减，最大值为φ(0)=0。4.求函数ψ(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取值范围。解：分段讨论：x∈(-∞,-2]时，ψ(x)=-2x-1；x∈[-2,1]时，ψ(x)=3；x∈(1,+∞)时，ψ(x)=2x+1，最小值为3，取值范围为[3,+∞)。5.求函数μ(x)=e^x-x²在区间(-2,2)上的值域。解：μ′(x)=e^x-2x，μ′(-2)=e^(-2)+4>0，μ′(0)=1>0，μ′(2)=e^2-4>0，且μ′(x)在(-2,2)上单调递增，μ(x)在(-2,2)上单调递增，值域为(e^(-2)-4,e^2-4)。6.求函数ζ(x)=x³-3x+2的极值点及极值。解：ζ′(x)=3x²-3，令ζ′(x)=0，得x=±1，ζ′′(-1)=6>0，极小值ζ(-1)=4；ζ′′(1)=-6<0，极大值ζ(1)=0。7.求函数τ(x)=sin(x+π/4)在区间(-π/2,π/2)上的最大值和最小值。解：x+π/4∈(0,3π/4)，sin(x+π/4)在(0,π/2)上递增，在(π/2,3π/4)上递减，最大值为√2/2，最小值为sin(3π/4)=√2/2。8.求函数k(x)=x²-2x+3的图像的对称轴方程。解：对称轴为x=-b/(2a)=1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-px+q在x=1处的切线与直线y=3x-2平行，且f(0)=1，求f(x)的解析式及极值点。解：f′(x)=3x²-p，f′(1)=3-p=3，得p=0，f(0)=q=1，故f(x)=x³-1，f′(x)=3x²，极值点为x=0。2.已知函数g(x)=|x-a|+|x-b|在x=1处的函数值为3，且在x=0处的函数值为2，求a+b的值。解：g(1)=|1-a|+|1-b|=3，g(0)=|a|+|b|=2，若a,b同号，则a+b=1；若a,b异号，则|a-b|=3，解得a=2,b=-1或a=-1,b=2，故a+b=1。3.已知函数h(x)=ln(x+1)-x在x=0处的函数值为0，求证：在区间(-1,1)上，h(x)>0。证明：令φ(x)=ln(x+1)-x，φ′(x)=1/(x+1)-1，φ′(x)>0得x∈(-1,0)，φ(x)单调递增；φ′(x)<0得x∈(0,1)，φ(x)单调递减，故φ(x)在(-1,1)上最大值为φ(0)=0，且φ(x)在(-1,0)上严格递增，在(0,1)上严格递减，故φ(x)>0。4.已知函数ψ(x)=x³-3x²+2在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为M和m，求M+m的值。解：ψ′(x)=3x²-6x，令ψ′(x)=0，得x=0或x=2，ψ(0)=2，ψ(2)=-2，ψ(3)=2，M=2，m=-2，M+m=0。5.已知函数μ(x)=e^x-x²在x=1处的函数值为e-1，求证：在区间(0,2)上，μ(x)>0。证明：令φ(x)=e^x-x²，φ(1)=e-1>0，φ′(x)=e^x-2x，φ′(1)=e-2>0，φ′(x)在(0,2)上单调递增，φ′(0)=1>0，故φ(x)在(0,2)上单调递增，故φ(x)>φ(0)=1>0。6.已知函数ζ(x)=x³-3x+2在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为M和m，求M+m的值。解：ζ′(x)=3x²-3，令ζ′(x)=0，得x=±1，ζ(-2)=-10，ζ(-1)=4，ζ(1)=0，ζ(2)=0，M=4，m=-10，M+m=-6。7.已知函数τ(x)=sin(x+π/4)在区间(-π/2,π/2)上的最大值为√2/2，求证：在区间(0,π/2)上，τ(x)>0。证明：τ(x)=sin(x+π/4)，x∈(0,π/2)时，x+π/4∈(π/4,3π/4)，sin(x+π/4)>0，故τ(x)>0。8.已知函数k(x)=x²-2x+3在区间[0,2]上的最小值为2