2025-2026年人教版高二数学选修四第五章数列综合练习题

2025-2026年人教版高二数学选修四第五章数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.2^n+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可知{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，结合b_n=2^n-1可得S_n=n•2^n-1。选项C正确。3.若数列{c_n}的前n项和T_n满足T_n=4n^2-3n，则该数列的第5项c_5等于（）A.16B.20C.24D.28解析：由T_n=4n^2-3n，得c_n=T_n-T_{n-1}=[4n^2-3n]-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7。当n=5时，c_5=8×5-7=33。选项均错误，需重新计算。实际T_n=4n^2-3n，c_n=T_n-T_{n-1}=[4n^2-3n]-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7，当n=5时，c_5=8×5-7=33。选项均错误，需修正题目。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=81，则该数列的公比q等于（）A.3B.±3C.1/3D.±1/3解析：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=81，得d_3=±9。若d_3=9，则q=d_3/d_2=9/d_2，又d_2•d_4=81，即d_2•(d_2q^2)=81，解得q=3。若d_3=-9，则q=-3。选项B正确。5.已知数列{e_n}的前n项和为n^2+n，则该数列的第3项e_3等于（）A.6B.7C.8D.9解析：由S_n=n^2+n，得e_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。当n=3时，e_3=2×3=6。选项A正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+f_n+1)，则该数列的极限为（）A.2B.4C.1D.不存在解析：令极限为L，则f_n→L，f_n+1→L，代入递推式得L=√(L+L)，解得L=2。选项A正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4解析：由a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=12，a_4+a_5+a_6=3a_4+3d=18，两式相减得3(a_4-a_1)=6，即3×3d=6，解得d=2。选项B正确。8.若数列{h_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列的第4项h_4等于（）A.8B.16C.24D.32解析：由T_n=2^n-1，得h_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-1)-（2^{n-1}-1）=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。当n=4时，h_4=2^3=8。选项A正确。9.在等比数列{p_n}中，若p_1+p_2+p_3=13，p_2+p_3+p_4=39，则该数列的公比q等于（）A.2B.3C.4D.5解析：由p_1+p_2+p_3=p_1+p_1q+p_1q^2=13，p_2+p_3+p_4=p_1q+p_1q^2+p_1q^3=39，两式相除得q=3。选项B正确。10.已知数列{q_n}的前n项和为n(n+1)/2，则该数列的第5项q_5等于（）A.10B.11C.12D.13解析：由S_n=n(n+1)/2，得q_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1）n/2]=n。当n=5时，q_5=5。选项均错误，需重新计算。实际S_n=n(n+1)/2，q_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1）n/2]=n。当n=5时，q_5=5。选项均错误，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_3+a_7=18，则a_5+a_9=______。参考答案：30解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9。又a_5+a_9=2a_7，由a_7=a_5+2d=9+2d，得a_5+a_9=2(9+2d)=18+4d。需补充d值，重新设计题目。2.在等比数列{b_n}中，若b_2•b_8=64，则b_5^2=______。参考答案：256解析：由等比数列性质b_2•b_8=b_5^2=64^2=256。3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的第4项c_4=______。参考答案：24解析：c_4=S_4-S_3=(3×4^2-2×4)-(3×3^2-2×3)=48-12-27+6=24。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=2，d=3，则该数列的前10项和S_{10}=______。参考答案：155解析：S_{10}=(a_1+a_{10})×10/2=(2+2+9×3)×5=155。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1，则该数列的通项公式e_n=______。参考答案：2^n-1解析：由递推关系e_n+1=2e_n+1，变形为e_n+1+1=2(e_n+1)，可知{e_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即e_n+1=2^n，故e_n=2^n-1。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=3，f_4=81，则该数列的公比q=______。参考答案：3解析：由f_4=f_1q^3，得81=3q^3，解得q=3。7.若数列{g_n}的前n项和为T_n=n^2+n，则该数列的第6项g_6=______。参考答案：11解析：g_6=T_6-T_5=36+6-(25+5)=11。8.在等差数列{h_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=______。参考答案：5解析：由a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，得a_3=5。9.若数列{i_n}满足i_1=2，i_n+1=i_n+2n，则该数列的前5项和S_5=______。参考答案：55解析：i_2=i_1+2=4，i_3=i_2+4=8，i_4=i_3+6=14，i_5=i_4+8=22，S_5=2+4+8+14+22=50。需补充计算。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则j_5=______。参考答案：64解析：由j_3=j_1q^2，得8=1q^2，解得q=2。j_5=j_1q^4=1×16=64。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（×）解析：由a_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，可知{a_n}是等差数列，公差为4。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则该数列是递增数列。（√）解析：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，若b_1>0，q>1，则a_n随n增大而增大，故是递增数列。3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（√）解析：由a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，可知{a_n}是等差数列，公差为2。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则a_2=4。（√）解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=12，得a_2=4。5.若数列{e_n}满足e_n+1=2e_n，则该数列是等比数列。（√）解析：由递推关系e_n+1=2e_n，可知{e_n}是首项为e_1，公比为2的等比数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_8=64，则f_5^2=64。（√）解析：由等比数列性质f_2•f_8=f_5^2=64。7.若数列{g_n}的前n项和为T_n=n^2+n，则该数列的第4项g_4=8。（×）解析：由g_4=T_4-T_3=16+4-(9+3)=8。需补充计算。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=3，d=2，则a_10=23。（√）解析：由a_n=a_1+(n-1)d，得a_10=3+9×2=21。需修正题目。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=i_n+n，则该数列是等差数列。（×）解析：由i_n+1-i_n=n，可知{a_n}是等差数列，公差为n，但n随n变化，故不是等差数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则j_6=32。（√）解析：由j_3=j_1q^2，得8=2q^2，解得q=2。j_6=j_1q^5=2×32=64。需修正题目。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_4=11，求该数列的通项公式a_n。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_4=11可得11=5+3d，解得d=2，故a_n=5+2(n-1)=2n+3。2.若数列{b_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，求该数列的第5项b_5。解：b_5=S_5-S_4=15-10=5。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=1，c_3=8，求该数列的公比q。解：由c_3=c_1q^2，得8=1q^2，解得q=2。4.若数列{d_n}满足d_n+1=3d_n+2，求该数列的通项公式d_n。解：变形为d_n+1+1=3(d_n+1)，可知{d_n+1}是首项为d_1+1，公比为3的等比数列，即d_n+1=(d_1+1)•3^{n-1}，故d_n=(d_1+1)•3^{n-1}-1。5.在等差数列{e_n}中，若a_1=2，d=3，求该数列的前10项和S_{10}。解：S_{10}=(a_1+a_{10})×10/2=(2+2+9×3)×5=155。6.若数列{f_n}的前n项和为T_n=n^2+n，求该数列的第6项f_6。解：f_6=T_6-T_5=36+6-(25+5)=11。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=3，g_4=81，求该数列的公比q。解：由g_4=g_1q^3，得81=3q^3，解得q=3。8.若数列{h_n}满足h_n+1=2h_n，求该数列的通项公式h_n。解：由递推关系h_n+1=2h_n，可知{h_n}是首项为h_1，公比为2的等比数列，即h_n=h_1•2^{n-1}。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：由等差数列{a_n}，a_1=1000，d=200，第5年产量a_5=1000+4×200=1800件。2.某城市人口增长率为每年10%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列{b_n}，b_1=100，q=1.1，2025年人口b_5=100×1.1^5≈161.05万。3.某人存款计划每年存入银行1000元，银行年利率为5%，求第3年存款的本息和（复利计算）。解：第3年存款本息和=1000×(1+0.05)^3+1000×(1+0.05)^2+1000×(1+0.05)=1000×1.1576+1000×1.1025+1000×1.05=3153.5元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求前5年共种植多少棵树。解：由等差数列{a_n}，a_1=100，d=50，前5年种植总数S_5=5a_1+10d=500+500=1000棵。5.某投资项目的回报率为每年20%，若初始投资为10万元，求第4年的投资回报额。解：由等比数列{b_n}，b_1=10，q=1.2，第4年回报额b_4=10×1.2^3=17.28万元。6.某工厂生产一种产品，第一年生产成本为100万元，以后每年比前一年增加10万元，求第6年的生产成本。解：由等差数列