2025-2026年陕西省湘教版高二数学第十一章不等式证明应用练习题

2025-2026年陕西省湘教版高二数学第十一章不等式证明应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知实数a，b满足a+b=2，则ab的最大值为（）A.1B.2C.3D.4解析：由基本不等式（均值不等式）可得：ab≤(a+b)²/4=1，当且仅当a=b=1时取等号，故最大值为1。2.不等式|3x-2|<5的解集为（）A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-3,3)D.(-1,1)解析：由绝对值不等式性质可得-5<3x-2<5，解得-3<3x<7，即-1<x<7/3，故解集为(-1,7/3)。3.若a>1，b>1，且ab=2，则a+b的最小值为（）A.2√2B.3C.4D.5解析：由均值不等式可得a+b≥2√ab=2√2，当且仅当a=b=√2时取等号，故最小值为2√2。4.不等式x²-3x+2>0的解集为（）A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.[1,2]D.(-∞,1]∪[2,+∞)解析：因式分解得(x-1)(x-2)>0，解得x<1或x>2，故解集为(-∞,1)∪(2,+∞)。5.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[-1,3]上的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=1∈[-1,3]，故最小值为f(1)=2。6.不等式3x+2y≤6在平面直角坐标系中表示的平面区域是（）A.第一象限B.三角形区域C.无界区域D.线段解析：化为标准式x≤-2/3y+2，表示直线3x+2y=6下方（含边界）的半平面，为无界区域。7.若a²+b²=2，则a+b的最大值为（）A.√2B.2C.2√2D.4解析：由柯西不等式可得(a+b)²≤2(a²+b²)=4，即-2≤a+b≤2，故最大值为2。8.不等式log₂(x²-x-2)>0的解集为（）A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-1,2)解析：由对数函数性质可得x²-x-2>1，解得x<-1或x>2，故解集为(-∞,-1)∪(2,+∞)。9.已知x>0，y>0，且x+y=1，则x²+y²的最小值为（）A.1/2B.1C.2D.4解析：由柯西不等式可得(x²+y²)≥(x+y)²/2=1/2，当且仅当x=y=1/2时取等号，故最小值为1/2。10.不等式|sinx|+|cosx|≤√2的解集为（）A.[kπ-π/4,kπ+π/4],k∈ZB.[kπ,kπ+π/2],k∈ZC.[kπ-π/2,kπ+π/2],k∈ZD.[kπ-π/4,kπ+3π/4],k∈Z解析：由三角函数性质可得|sinx|+|cosx|≤√2等价于tanx∈[-1,1]，解得x∈[kπ-π/4,kπ+π/4],k∈Z。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>0，b>0，且a+b=1，则ab+1的最小值为________。参考答案：2解析：ab≤(a+b)²/4=1/4，故ab+1≤5/4，当且仅当a=b=1/2时取等号，最小值为2。2.不等式|x-1|>|x+1|的解集为________。参考答案：(-∞,-1)解析：平方化简得x²-2x-1<0，解得x∈(-√2+1,√2-1)，结合绝对值性质可得解集为(-∞,-1)。3.若x>1，则x-1/x+1的取值范围是________。参考答案：(0,1)解析：令t=x-1/x+1，则x=1/(1-t)，代入x>1可得0<t<1，故取值范围为(0,1)。4.不等式x³-3x+2>0的解集为________。参考答案：(1,+∞)解析：因式分解得(x-1)(x²+x-2)>0，解得x∈(1,+∞)。5.若a>1，b>1，且a²+b²=4，则ab的最大值为________。参考答案：2解析：由柯西不等式可得(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²，即8≥4ab，故ab≤2，当且仅当a=b=√2时取等号。6.不等式2³x-1>8的解集为________。参考答案：(2,+∞)解析：化简得3x-1>3，解得x>2。7.若x>0，y>0，且x+y=2，则1/x+1/y的最小值为________。参考答案：3解析：由调和均值不等式可得1/x+1/y≥4/(x+y)=2。8.不等式log₃(x²-2x+1)<0的解集为________。参考答案：(0,2)解析：由对数函数性质可得x²-2x+1<1，解得x∈(0,2)。9.若a>0，b>0，且a+b=2，则√a+√b的最小值为________。参考答案：2√2解析：由均值不等式可得(√a+√b)²≤2(a+b)=4，故√a+√b≤2，当且仅当a=b=1时取等号。10.不等式|2x-1|+|x+2|≥3的解集为________。参考答案：(-∞,-2]∪[1/2,+∞)解析：分段讨论可得x∈(-∞,-2]∪[1/2,+∞)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a²>b²。（×）解析：反例a=1，b=-2时成立，但若a=1，b=0时不成立。2.不等式|3x-4|≤5的解集为[-1/3,3]。（×）解析：解得x∈[1/3,3]，故原命题错误。3.若a>1，b>1，则log₅a+log₅b≥log₅(ab)。（√）解析：由对数性质log₅a+log₅b=log₅(ab)成立。4.不等式x²-4x+3>0的解集为(-∞,1)∪(3,+∞)。（√）解析：因式分解得(x-1)(x-3)>0，解集正确。5.若x>0，y>0，且x+y=1，则x³+y³≥1/2。（√）解析：由幂函数性质可得x³+y³≥(x+y)³/4=1/8，故原命题正确。6.不等式|sinx|>|cosx|的解集为(π/4+kπ,5π/4+kπ),k∈Z。（√）解析：tanx>1或tanx<-1，解集正确。7.若a²+b²=1，则|a|+|b|≤1。（√）解析：由三角不等式可得|a|+|b|≤√(a²+b²)+√(a²+b²)=1。8.不等式2x-1>x+1的解集为(2,+∞)。（√）解析：解得x>2，解集正确。9.若a>0，b>0，则a+b≥2√ab。（√）解析：由均值不等式成立。10.不等式x²-3x+2≤0的解集为[1,2]。（√）解析：因式分解得(x-1)(x-2)≤0，解集正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x²-4x+5在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：f(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=2∈[-1,3]，最小值为f(2)=1，最大值为f(-1)=10。2.证明：若a>0，b>0，且a+b=1，则a²+b²≥3/2。证明：由(a+b)²=1可得2ab≤1/2，故a²+b²=(a+b)²-2ab≥1-1/2=1/2，又a²+b²≥2ab≤1/2，综上a²+b²≥3/2。3.解不等式|x-1|+|x+2|>3。解：分段讨论：x<-2时，-x+1-x-2>3，解得x<-3；-2≤x≤1时，-x+1+x+2>3，无解；x>1时，x-1+x+2>3，解得x>1，故解集为(-∞,-3)∪(1,+∞)。4.求不等式x²-5x+6>0的解集。解：因式分解得(x-2)(x-3)>0，解集为(-∞,2)∪(3,+∞)。5.证明：若a>1，b>1，则log₅a+log₅b>log₅(a+b)。证明：令a=5x，b=5y，x>0，y>0，则log₅a+log₅b=x+y>x+y-1>log₅(a+b)。6.解不等式|2x-3|<|x+1|。解：平方化简得x²-8x+8<0，解得x∈(4-2√2,4+2√2)。7.求函数f(x)=x³-3x+2在区间[-2,2]上的最值。解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-16，f(-1)=0，f(1)=-2，f(2)=0，最小值为-16，最大值为0。8.证明：若a>0，b>0，且a+b=1，则a³+b³≥1/4。证明：由a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=a²-ab+b²=(a+b)²-3ab=1-3ab≥1/4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产A、B两种产品，每件利润分别为a元和b元，生产每件产品需消耗原材料xkg和ykg，且总原材料不超过200kg。若a+b=100，求利润最大时A、B两种产品的生产数量。解：设生产A产品m件，B产品n件，利润P=am+bn，约束条件为mx+ny≤200，m+n=100，由柯西不等式可得P≤(a+b)(m+n)/2=5000，当且仅当a/m=b/n时取等号，即m=n=50。2.解不等式|3x-2|+|2x+1|>4。解：分段讨论：x<-1/2时，-3x+2-2x-1>4，解得x<-7/5；-1/2≤x≤2/3时，-3x+2+2x+1>4，无解；x>2/3时，3x-2+2x+1>4，解得x>5/5，故解集为(-∞,-7/5)∪(1,+∞)。3.求不等式x²-6x+9>0的解集。解：因式分解得(x-3)²>0，解集为(-∞,3)∪(3,+∞)。4.解不等式|2x-1|<|x+3|。解：平方化简得x²-8x+10<0，解得x∈(4-√6,4+√6)。5.求函数f(x)=x³-6x²+9x在区间[-1,3]上的最值。解：f'(x)=3x²-12x+9，令f'(x)=0得x=1或x=3，f(-1)=-13，f(1)=5，f(3)=0，最小值为-13，最大值为5。6.证明：若a>0，b>0，且a+b=1，则a²+b²≥1/2。证明：由(a+b)²=1可得2ab≤1/2，故a²+b²=(a+b)²-2ab≥1-1/2=1/2。7.解不等式|4x-3|>|2x+1|。解：平方化简得12x²-20x+8>0，解得x∈(-∞,2/3)∪(4/3,+∞)。8.求不等式x²-7x+10>0的解集。解：因式分解得(x-2)(x-5)>0，解集为(-∞,2)∪(5,+∞)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.A5.B6.C7.B8.A9.A10.A解析：1.均值不等式；2.绝对值不等式；3.均值不等式；4.一元二次不等式；5.二次函数最值；6.线性规划；7.均值不等式；8.对数不等式；9.均值不等式；10.三角函数性质。二、填空题1.22.(-∞,-1)3.(0,1)4.(1,+∞)5.26.(2,+∞)7.38.(0,2)9.2√210.(-∞,-2]∪[1/2,+∞)解析：1.均值不等式；2.绝对值不等式；3.倒代换；4.一元二次不等式；5.柯西不等式；6.指数不等式；7.调和均值不等式；8.对数不等式；9.均值不等式；10.绝对值不等式。三、判断题1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√解析：1.反例a=