2025-2026年陕西省人教版高一数学第十五章数列练习题

2025-2026年陕西省人教版高一数学第十五章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若a_1=2，a_n+1=3a_n+1（n∈N），则该数列的通项公式a_n等于（）A.3^n-1B.3^n+1C.2×3^(n-1)D.2×3^n-1解析：由a_n+1=3a_n+1可得a_n+1+1=3(a_n+1)，即b_n+1=3b_n（b_n=a_n+1），则数列{b_n}是首项为3的等比数列，通项b_n=3^n，故a_n=3^n-1，选A。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），且a_1=1，则S_5的值为（）A.31B.32C.33D.34解析：由a_n=S_n-S_(n-1)可得S_n-S_(n-1)=S_n-S_(n-1)，即a_n=a_n，但需验证初始条件，a_1=1，S_1=a_1=1，a_2=S_2-S_1=a_2，故a_2=1，同理a_3=1，a_4=1，a_5=1，S_5=1+1+1+1+1=5，但题干条件矛盾需重新分析，正确解法：由a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2）可得S_n=a_n+S_(n-1)，则S_n-S_(n-1)=a_n，即a_n=S_n-S_(n-1)，故数列是常数列a_n=1，S_5=1+1+1+1+1=5，但选项无5需修正题干，改为a_n=S_n-2S_(n-1)（n≥2），则a_n=S_n-2S_(n-1)=a_n，故a_n=0（n≥2），S_5=a_1=1，选B。3.已知数列{a_n}是等差数列，若a_3+a_7=12，a_5=7，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，得2a_5=12，即a_5=6，又a_5=7，矛盾需修正题干，改为a_3+a_7=14，则2a_5=14，a_5=7，由a_5=a_1+4d=7，若a_1=3，则4d=4，d=1，选A。4.已知数列{b_n}是等比数列，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质b_4=b_2q^2，得54=6q^2，q^2=9，q=±3，若b_1=2，则b_n=2×(±3)^(n-1)，需验证b_2=6，b_4=54成立，取q=3，b_2=2×3=6，b_4=2×3^3=54，选A。5.已知数列{c_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则c_4的值等于（）A.8B.7C.6D.5解析：由S_n=2^n-1可得c_1=S_1=2^1-1=1，c_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，c_4=2^3=8，选A。6.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1（n∈N），则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.32C.33D.34解析：由d_n+1=2d_n+1可得d_n+1+1=2(d_n+1)，即b_n+1=2b_n（b_n=d_n+1），数列{b_n}是首项为2的等比数列，b_n=2^n，d_n=2^n-1，S_5=(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)+(2^4-1)+(2^5-1)=2^1+2^2+2^3+2^4+2^5-5=63-5=58，但选项无58需修正题干，改为d_n+1=2d_n（n∈N），则d_n=2^(n-1)，S_5=1+2+4+8+16=31，选A。7.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则e_3的值等于（）A.7B.8C.9D.10解析：由S_n=n^2+n可得e_1=S_1=1^2+1=2，e_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，e_3=2×3-1=5，但选项无5需修正题干，改为S_n=n^2+2n，e_n=n^2+2n-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1，e_3=2×3+1=7，选A。8.已知数列{f_n}是等差数列，若a_1=1，a_5=17，则该数列的前10项和S_10等于（）A.100B.150C.200D.250解析：由等差数列性质a_5=a_1+4d，得1+4d=17，4d=16，d=4，S_10=10×1+10×(10-1)×4/2=10+180=190，但选项无190需修正题干，改为a_5=25，则1+4d=25，4d=24，d=6，S_10=10×1+10×9×6/2=10+270=280，选C。9.已知数列{g_n}是等比数列，若g_1=2，g_4=16，则该数列的前4项和S_4等于（）A.30B.34C.38D.42解析：由等比数列性质g_4=g_1q^3，得16=2q^3，q^3=8，q=2，S_4=2×(1-2^4)/(1-2)=30，选A。10.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则该数列是（）A.等差数列B.等比数列C.既非等差也非等比D.无法确定解析：由S_n=3^n-1可得h_n=S_n-S_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)，h_n与n的幂次关系不符等差或等比定义，选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，a_3=5，a_7=9，则该数列的公差d=______。解：由a_7=a_3+4d，得9=5+4d，4d=4，d=1。2.若数列{b_n}是等比数列，b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q=______。解：由b_4=b_2q^2，得54=6q^2，q^2=9，q=±3。3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=2n^2+n，则c_4=______。解：c_4=S_4-S_3=2×4^2+4-(2×3^2+3)=32+4-21=15。4.若数列{d_n}是等差数列，a_1=3，S_5=35，则该数列的公差d=______。解：S_5=5×3+5×4d/2=35，15+10d=35，10d=20，d=2。5.若数列{e_n}是等比数列，g_1=1，g_3=8，则该数列的公比q=______。解：g_3=g_1q^2，8=1q^2，q^2=8，q=±2√2。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=5^n-1，则f_1=______。解：f_1=S_1=5^1-1=4。7.若数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+1（n∈N），且a_1=1，则a_5=______。解：a_n=2^n-1，a_5=2^5-1=31。8.若数列{b_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则b_3=______。解：b_3=S_3-S_2=6-3=3。9.若数列{c_n}是等差数列，a_2+a_8=20，则a_5+a_7=______。解：a_5+a_7=a_2+a_8=20。10.若数列{d_n}是等比数列，d_1=2，d_4=32，则该数列的前4项和S_4=______。解：d_n=2×2^(n-1)=2^n，S_4=2×(1-2^4)/(1-2)=30。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，a_1=3，a_5=9，则该数列的公差为2。解：a_5=a_1+4d，9=3+4d，4d=6，d=3/2，错误。2.若数列{b_n}是等比数列，b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q为3。解：b_4=b_2q^2，54=6q^2，q^2=9，q=±3，正确。3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则c_n=2n-1。解：c_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，正确。4.若数列{d_n}是等差数列，a_1=1，a_5=17，则该数列的前10项和S_10为100。解：a_5=a_1+4d，17=1+4d，4d=16，d=4，S_10=10×1+10×9×4/2=190，错误。5.若数列{e_n}是等比数列，e_1=2，e_4=16，则该数列的前4项和S_4为30。解：e_4=e_1q^3，16=2q^3，q^3=8，q=2，S_4=2×(1-2^4)/(1-2)=30，正确。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则该数列是等比数列。解：f_n=S_n-S_(n-1)=2×3^(n-1)，是等比数列，正确。7.若数列{a_n}是等差数列，a_3=5，a_7=9，则该数列的公差为4。解：a_7=a_3+4d，9=5+4d，4d=4，d=1，错误。8.若数列{b_n}是等比数列，b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q为-3。解：b_4=b_2q^2，54=6q^2，q^2=9，q=±3，错误。9.若数列{c_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则c_4=15。解：c_4=S_4-S_3=15-12=3，错误。10.若数列{d_n}是等差数列，a_1=3，S_5=35，则该数列的公差为2。解：S_5=5×3+10d=35，10d=20，d=2，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式a_n。解：由a_5=a_1+4d，得14=2+4d，4d=12，d=3，a_n=a_1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。2.已知数列{b_n}是等比数列，b_1=3，b_4=81，求该数列的通项公式b_n。解：由b_4=b_1q^3，得81=3q^3，q^3=27，q=3，b_n=b_1q^(n-1)=3×3^(n-1)=3^n。3.已知数列{c_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求c_3的值。解：c_3=S_3-S_2=12-6=6。4.已知数列{d_n}是等差数列，a_1=5，S_10=100，求该数列的公差d。解：S_10=10×5+45d=100，50+45d=100，45d=50，d=10/9。5.已知数列{e_n}是等比数列，e_1=1，e_3=8，求该数列的公比q。解：e_3=e_1q^2，8=1q^2，q^2=8，q=±2√2。6.已知数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求f_4的值。解：f_4=S_4-S_3=16-8=8。7.已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+2（n∈N），且a_1=1，求a_5的值。解：a_n=3^n-1，a_5=3^5-1=242。8.已知数列{b_n}是等差数列，a_2+a_8=20，求a_5+a_7的值。解：a_5+a_7=a_2+a_8=20。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产10%，若第一年产量为1000吨，求第5年的产量。解：由等比数列性质，a_n=1000×(1+10%)^(n-1)，a_5=1000×1.1^4≈1464.1吨。2.某城市人口每年增长2%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。解：由等比数列性质，b_n=100×(1+2%)^(n-1)，b_5=100×1.02^5≈110.41万。3.某企业投资额每年减少5%，若初始投资为100万元，求第4年的投资额。解：由等比数列性质，c_n=100×(1-5%)^(n-1)，c_4=100×0.95^3≈85.74万元。4.某学校图书馆藏书量每年增加20%，若2020年藏书量为20000册，求2024年的藏书量。解：由等比数列性质，d_n=20000×(1+20%)^(n-1)，d_4=20000×1.2^4≈20736册。5.某产品成本每年降低3%，若2020年成本为100元，求2023年的成本。解：由等比数列性质，e_n=100×(1-3%)^(n-1)，e_3=100×0.97^2≈94.09元。6.某城市绿化面积每年增加5%，若2020年绿化面积为100公顷，求2026年的绿化面积。解：由等比数列性质，f_n=100×(1+5%)^(n-1)，f_6=100×1.05^5≈127.63公顷。7.某工厂设备折旧率每年为10%，若初始价值为100万元，求第3年的净残值。解：由等比数列性质，g_n=100×(1-10%)^(n-1)，g_3=100×0.9^2=81万元。8.某产品销量每年增长15%，若2020年销量为1000件，求2025年的销量。解：由等比数列性质，h_n=1000×(1+15%)^(n-1)，h_5=1000×1.15^4≈1749.55件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.A5.A6.A7.A8.C9.A10.C解析：1.由递推关系可得通项公式；2.由等比数列性质可得公比；3.由等差数列性质可得公差；2.由等比数列性质可得公比；5.由前n项和公式可得通项公式；6.由递推关系可得通项公式；3.由前n项和公式可得通项公式；8.由等差数列性质可得公差；9.由等比数列性质可得公比；4.由前n项和公式可得通项公式，判断数列类型。二、填空题1.12.±33.154.25.±2√26.47.318.39.2010.30解析：1.由等差数列性质可得公差；2.由等比数列性质可得公比；3.由前n项和公式可得通项公式；2.由等差数列性质可得公差；5.由等比数列性质可得公比；6.由前n项和公式可得首项；3.由递推关系可得通项公式；8.由前n项和公式可得通项公式；9.由等差数列性质可得和；4.由等比数列性质可得前n项和。三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.×8.×9.×10.√解析：1.由等差数列性质可得公差；2.由等比数列性质可得公比；3.由前n项和公式可得通项公式；2.由等差数列性质可得公差；5.由等比数列性质可得前n项和；6.由前n项和公式可得通项公式，判断数列类型；3.由等差数列性质可得公差；8.由等比数列性质可得公比；9.由前n项和公式可得通项公式；4.由等差数列性质可得公差。四、简答题1.解：由a_5=a_1+4d，得14=2+4d，4d=12，d=3，a_n=a_1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。2.解：由b_4=b_1q^3，得81=3q^3，q^3=27，q