2025-2026年山东省人教版高一数学第5章数列应用练习题

2025-2026年山东省人教版高一数学第5章数列应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.某工厂计划每年比上一年增产10%，若2020年产量为1万吨，则2023年的产量约为（）A.1.3万吨B.1.33万吨C.1.341万吨D.1.35万吨解析：构成等比数列，首项a_1=1万吨，公比q=1.1，2023年为第4项，a_4=a_1q^3=1×1.1^3≈1.331。选项B最接近。3.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则a_4的值为（）A.13B.14C.15D.16解析：a_4=S_4-S_3=(2×4^2-3×4)-(2×3^2-3×3)=32-12-18+9=11。选项均错误，需重新计算S_4=32-12=20，S_3=18-9=9，a_4=20-9=11。4.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前5项和为（）A.31B.32C.33D.34解析：递推式变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，构成首项为2，公比为2的等比数列，a_n+1=2^n，a_n=2^n-1。前5项和为(2^1-1)+(2^2-1)+...+(2^5-1)=2^1+2^2+...+2^5-5=32-5=27。选项均错误，需修正递推式为a_n+1=2a_n+1，则a_n=2^n-1，前5项和为(2^1-1)+(2^2-1)+...+(2^5-1)=32-5=27。5.某城市人口每年自然增长率为1.5%，若2020年人口为100万，则经过3年后人口约为（）A.106.5万B.107.3万C.108.1万D.109万解析：构成等比数列，首项a_1=100万，公比q=1.015，3年后人口为100×1.015^3≈106.45万。选项A最接近。6.在等比数列{b_n}中，b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由b_4=b_2q^2可得54=6q^2，解得q=3。选项A正确。7.已知数列{c_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则c_3的值为（）A.6B.7C.8D.9解析：c_n=T_n-T_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=2n-1。n=3时c_3=2×3-1=5。选项均错误，需修正公式为c_n=n。8.若数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=3d_n-2，则该数列的通项公式为（）A.3^n-1B.3^n+1C.2×3^nD.3^n-2解析：递推式变形为d_n+1-1=3(d_n-1)，构成首项为1，公比为3的等比数列，d_n-1=3^{n-1}，d_n=3^{n-1}+1。选项B正确。9.某投资者将资金分成两份，第一份存入年利率为4%的定期存款，第二份存入年利率为5%的活期存款，若两年后总收益为120元，则初始资金为（）A.2000元B.2500元C.3000元D.3500元解析：设第一份资金x元，第二份资金y元，则2×4%x+2×5%y=120，x+y为初始资金。联立方程组解得x=2000，y=500，初始资金为2500元。选项B正确。10.在等差数列{e_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4解析：a_4+a_5+a_6=(a_1+3d)+(a_1+4d)+(a_1+5d)=3a_1+12d。由12+3a_1=12，18+3a_1=18，解得a_1=4，d=2。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=162，则该数列的公比q=______。解：f_4=f_2q^2，162=6q^2，解得q=3√3。2.已知数列{g_n}的前n项和G_n=n^2+n，则g_5的值=______。解：g_5=G_5-G_4=(5^2+5)-(4^2+4)=25+5-16-4=10。3.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+1，则该数列的前4项和=______。解：h_n=2^n-1，前4项和=1+3+7+15=26。4.在等差数列{p_n}中，若a_3+a_7=12，则a_5+a_9=______。解：a_3+a_7=2a_5，a_5+a_9=2a_7，故a_5+a_9=2×(a_3+a_7)/2=12。5.若数列{q_n}的前n项和Q_n=2^n-1，则q_4=______。解：q_n=Q_n-Q_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，q_4=2^3=8。6.在等比数列{r_n}中，若r_1=2，r_3=8，则r_5=______。解：r_3=r_1q^2，8=2q^2，q=2，r_5=2×2^4=32。7.已知数列{s_n}满足s_n=n(n+1)/2，则s_6=______。解：s_6=6×7/2=21。8.若数列{t_n}的前n项和T_n=n^2，则t_3=______。解：t_3=T_3-T_2=9-4=5。9.在等差数列{u_n}中，若a_1=3，a_5=9，则a_10=______。解：d=(9-3)/4=3/2，a_10=3+9×3/2=21。10.若数列{v_n}满足v_1=1，v_n+1=3v_n，则v_5=______。解：v_n=3^{n-1}，v_5=3^4=81。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{w_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（×）解：w_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=-2n+5，不是常数，故不是等差数列。2.在等比数列{z_n}中，若z_2=6，z_4=54，则公比q=3或q=-3。（×）解：z_4=z_2q^2，54=6q^2，q=±3√3，选项表述错误。3.若数列{a_n}满足a_n+1=a_n+2，则该数列是等差数列。（√）解：a_n+1-a_n=2，公差为2，是等差数列。4.在等差数列{b_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则a_2=4。（×）解：a_1+a_2+a_3=3a_2=12，a_2=4，选项正确但表述为判断题应为"√"。5.若数列{c_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列是等差数列。（√）解：c_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1，是等差数列。6.在等比数列{d_n}中，若d_1=2，d_3=8，则d_5=32。（√）解：d_3=d_1q^2，8=2q^2，q=2，d_5=2×2^4=32。7.若数列{e_n}满足e_n+1=2e_n，则该数列是等比数列。（√）解：e_n+1/e_n=2，公比为2，是等比数列。8.在等差数列{f_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则a_4+a_5+a_6=18。（√）解：a_4+a_5+a_6=3a_5=3(a_1+4d)，a_2+a_3+a_4=3a_3=3(a_1+2d)，由等差性质可得a_4+a_5+a_6=18。9.若数列{g_n}的前n项和G_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（×）解：g_n=G_n-G_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，是等比数列。10.在等差数列{h_n}中，若a_1=3，a_5=9，则a_3=6。（√）解：a_3=(a_1+a_5)/2=(3+9)/2=6。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。故a_n=6n-5。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，求该数列的前6项和S_6。解：b_3=b_1q^2，8=2q^2，q=2，S_6=2(2^6-1)/(2-1)=126。3.若数列{c_n}满足c_n+1=2c_n+1，且c_1=1，求c_4的值。解：c_n=2^n-1，c_4=2^4-1=15。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，d=-2，求该数列的前10项和S_10。解：S_10=10×5+10×9×(-2)/2=-50。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求e_3的值。解：e_3=T_3-T_2=12-6=6。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，求该数列的公比q。解：q=√(54/6)=3√3。7.若数列{g_n}满足g_n+1=g_n+2，且g_1=3，求g_5的值。解：g_n=3+2(n-1)=2n+1，g_5=11。8.在等差数列{h_n}中，若a_3+a_7=12，求a_5的值。解：a_5=(a_3+a_7)/2=6。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂第一年产量为10万吨，计划每年比上一年增产10%，求第5年的产量。解：构成等比数列，a_1=10，q=1.1，a_5=10×1.1^4≈16.05万吨。2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_10。解：d=(14-2)/4=3，S_10=10×2+10×9×3/2=330。3.若数列{b_n}的前n项和B_n=n^2+n，求该数列的第4项b_4。解：b_4=B_4-B_3=20-12=8。4.在等比数列{c_n}中，若c_1=3，c_3=24，求该数列的前5项和S_5。解：q=√(24/3)=2，S_5=3(2^5-1)/(2-1)=93。5.某城市人口2020年为100万，每年自然增长率为1.5%，求2025年的人口。解：构成等比数列，a_1=100，q=1.015，2025年为第5项，人口≈100×1.015^5≈107.7万。6.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，d=3，求该数列的前n项和S_n达到100的最小n值。解：100=n×5+n(n-1)×3/2，解得n=7。7.若数列{e_n}的前n项和E_n=2n^2-3n，求该数列的第3项e_3。解：e_3=E_3-E_2=6-5=1。8.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，求该数列的公比q。解：q=√(54/6)=3√3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.B4.B5.A6.A7.C8.B9.B10.B二、填空题1.3√32.103.264.125.86.327.218.59.2110.81三、判断题1.×2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.a_n=6n-52.S_6=1263.c_4=154.S_10=-505.e_3=66.q=3√37.g_5=118.a_5=6五、应用题1.16.05万吨2.S_10=3303.b_4=84.S_5=935.107.7万6.n=77.