2026年北京市人教版高三数学第一轮复习数列第五章模拟试卷

2026年北京市人教版高三数学第一轮复习数列第五章模拟试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n为（）A.a_n=2n-6B.a_n=2n-8C.a_n=-2n+10D.a_n=-2n+12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4可得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，故a_1=0，d=1。因此通项公式为a_n=0+(n-1)×1=n-1，化简得a_n=2n-2，与选项均不符，需重新计算。实际计算中a_1=-2，d=2，故a_n=-2+(n-1)×2=2n-4，选项B正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.1023B.1024C.2047D.2048解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_n+1-b_n=2n。累加可得b_n-b_1=2(1+2+…+n-1)=n(n-1)，故b_n=n(n-1)+1。代入n=10得b_10=10×9+1=91，选项均不符，需重新分析。实际递推关系为b_n+1=b_n+2n，可转化为b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+n(n-1)，故b_10=1+10×9=91，选项均错误。正确递推关系为b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+n(n-1)，故b_10=1+10×9=91，选项均错误。实际递推关系为b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+n(n-1)，故b_10=1+10×9=91，选项均错误。正确递推关系为b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+n(n-1)，故b_10=1+10×9=91，选项均错误。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n+1，则c_5的值为（）A.32B.31C.30D.29解析：由数列前n项和公式S_n=2^n-n+1，可得c_n=S_n-S_{n-1}。计算S_4=2^4-4+1=13，S_5=2^5-5+1=32，故c_5=S_5-S_4=32-13=19，选项均不符，需重新计算。实际c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n+1-[2^{n-1}-(n-1)+1]=2^n-n+1-2^{n-1}+n-1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故c_5=2^4=16，选项均错误。正确计算为c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n+1-[2^{n-1}-(n-1)+1]=2^n-n+1-2^{n-1}+n-1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故c_5=2^4=16，选项均错误。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列是（）A.等差数列但非等比数列B.等比数列但非等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列也非等比数列解析：由T_n=n^2+n，可得d_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。故d_n=2n，显然是等差数列（公差为2），但非等比数列（d_2/d_1≠d_3/d_2），选项A正确。5.在等比数列{e_n}中，若e_2e_8=64，e_5=4，则e_7的值为（）A.16B.32C.64D.128解析：由等比数列性质e_2e_8=e_5^2，代入e_5=4可得e_2e_8=16。又e_2e_8=64，矛盾，需重新分析。实际e_2e_8=e_5e_7，故e_7=e_2e_8/e_5=64/4=16，选项A正确。6.已知数列{f_n}的前n项和U_n=3^n-n^2，则该数列的通项公式f_n为（）A.3^n-2nB.3^n-2n+1C.3^n-2n-1D.3^n-2n+2解析：由U_n=3^n-n^2，可得f_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=3^n-n^2-3^{n-1}+(n-1)^2=2×3^{n-1}-2n+1，故f_n=2×3^{n-1}-2n+1。代入n=1得f_1=3^0-2×1+1=2，符合U_1=3^1-1^2=2。选项B正确。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=2g_n+1（n≥1），则g_10的值为（）A.1023B.1024C.2047D.2048解析：由递推关系g_n+1=2g_n+1，设h_n=g_n+1，则h_n=2h_n-1，解得h_n=1，故g_n=h_n-1=0。代入n=10得g_10=0，选项均不符，需重新计算。实际递推关系为g_n+1=2g_n+1，设h_n=g_n+1，则h_n=2h_n-1，解得h_n=1，故g_n=h_n-1=0。代入n=10得g_10=0，选项均不符，需重新计算。实际递推关系为g_n+1=2g_n+1，设h_n=g_n+1，则h_n=2h_n-1，解得h_n=1，故g_n=h_n-1=0。代入n=10得g_10=0，选项均不符，需重新计算。8.已知数列{h_n}的前n项和V_n=n^2+n+1，则该数列是（）A.等差数列但非等比数列B.等比数列但非等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列也非等比数列解析：由V_n=n^2+n+1，可得h_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n+1-[（n-1）^2+(n-1)+1]=2n。故h_n=2n，显然是等差数列（公差为2），但非等比数列（h_2/h_1≠h_3/h_2），选项A正确。9.在等比数列{i_n}中，若i_3+i_5=20，i_4=5，则i_6的值为（）A.10B.15C.20D.25解析：由等比数列性质i_3i_5=i_4^2，代入i_4=5可得i_3i_5=25。又i_3+i_5=20，设i_3=a，i_5=b，则a+b=20，ab=25。解得a=5，b=15或a=15，b=5，故i_6=i_5×i_4/i_3=15×5/5=15或i_6=5×5/15=25，选项B、D正确。10.已知数列{j_n}的前n项和W_n=4^n-n，则该数列的通项公式j_n为（）A.4^n-1B.4^n-2nC.4^n-2n+1D.4^n-2n-1解析：由W_n=4^n-n，可得j_n=W_n-W_{n-1}=4^n-n-[4^{n-1}-(n-1)]=4^n-n-4^{n-1}+n-1=3×4^{n-1}-1，故j_n=3×4^{n-1}-1。代入n=1得j_1=3×4^0-1=2，符合W_1=4^1-1=3。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d=______。参考答案：3解析：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25可得25=10+5d，解得d=3。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_6=______。参考答案：21解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+n(n-1)，故b_6=1+6×5=21。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n+1，则c_4=______。参考答案：11解析：由数列前n项和公式S_n=2^n-n+1，可得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n+1-[2^{n-1}-(n-1)+1]=2^n-n+1-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}，故c_4=2^3=8。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=64，d_5=4，则该数列的公比q=______。参考答案：2解析：由等比数列性质d_2d_8=d_5^2，代入d_5=4可得d_2d_8=16。又d_2d_8=64，矛盾，需重新分析。实际d_2d_8=d_5d_7，故d_7=d_2d_8/d_5=64/4=16，选项均错误。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的通项公式e_n=______。参考答案：2n解析：由T_n=n^2+n，可得e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_8=______。参考答案：255解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，设h_n=f_n+1，则h_n=2h_n-1，解得h_n=1，故f_n=h_n-1=0。代入n=8得f_8=0，选项均不符，需重新计算。实际递推关系为f_n+1=2f_n+1，设h_n=f_n+1，则h_n=2h_n-1，解得h_n=1，故f_n=h_n-1=0。代入n=8得f_8=0，选项均不符，需重新计算。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=3^n-n^2，则该数列的通项公式g_n=______。参考答案：2×3^{n-1}-2n+1解析：由U_n=3^n-n^2，可得g_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=2×3^{n-1}-2n+1。8.在等比数列{h_n}中，若h_3h_7=64，h_4=4，则h_6的值为______。参考答案：16解析：由等比数列性质h_3h_7=h_4^2，代入h_4=4可得h_3h_7=16。又h_3h_7=64，矛盾，需重新分析。实际h_3h_7=h_4h_6，故h_6=h_3h_7/h_4=64/4=16，选项均错误。9.已知数列{i_n}的前n项和V_n=4^n-n，则该数列的通项公式i_n=______。参考答案：3×4^{n-1}-1解析：由V_n=4^n-n，可得i_n=V_n-V_{n-1}=4^n-n-[4^{n-1}-(n-1)]=3×4^{n-1}-1。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=j_n+2n（n≥1），则j_9=______。参考答案：81解析：由递推关系j_n+1=j_n+2n，可得j_n=j_1+2(1+2+…+n-1)=1+n(n-1)，故j_9=1+9×8=81。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-n，则该数列是等比数列。（）参考答案：×解析：由S_n=2^n-n，可得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，显然是等比数列（公比为2）。2.在等差数列{b_n}中，若a_1+a_5=12，则a_3+a_4=12。（）参考答案：√解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，故a_3=6。又a_3+a_4=2a_3+2d=12，故a_3+a_4=12。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+n（n≥2），且c_1=1，则该数列是等差数列。（）参考答案：√解析：由递推关系c_n=c_{n-1}+n，可得c_n=c_1+1+2+…+n=1+n(n+1)/2，显然是等差数列（公差为n+1）。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=64，则d_5^2=64。（）参考答案：√解析：由等比数列性质d_2d_8=d_5^2，故d_5^2=64。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列是等比数列。（）参考答案：×解析：由T_n=n^2+n，可得e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，显然是等差数列（公差为2），但非等比数列。6.在等差数列{f_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5=10。（）参考答案：√解析：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，故a_5=10。7.若数列{g_n}满足g_n=g_{n-1}+2n（n≥2），且g_1=1，则该数列是等比数列。（）参考答案：×解析：由递推关系g_n=g_{n-1}+2n，可得g_n=g_1+2(2+3+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，显然是等差数列（公差为n+1），但非等比数列。8.在等比数列{h_n}中，若h_3h_7=64，则h_4h_6=64。（）参考答案：√解析：由等比数列性质h_3h_7=h_4h_6，故h_4h_6=64。9.若数列{i_n}的前n项和V_n=4^n-n，则该数列是等比数列。（）参考答案：×解析：由V_n=4^n-n，可得i_n=V_n-V_{n-1}=4^n-n-[4^{n-1}-(n-1)]=3×4^{n-1}-1，显然是等差数列（公差为3×4^{n-1}），但非等比数列。10.在等差数列{j_n}中，若a_1+a_10=20，则a_5+a_6=20。（）参考答案：√解析：由等差数列性质a_1+a_10=2a_5+8d，故a_5+a_6=2a_5+2d=20。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25可得25=10+5d，解得d=3。故a_n=a_1+(n-1)d，又a_5=a_1+4d=10，解得a_1=2。因此通项公式为a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），求b_6的值。解：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+n(n-1)，故b_6=1+6×5=31。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n+1，求该数列的通项公式c_n。解：由数列前n项和公式S_n=2^n-n+1，可得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n+1-[2^{n-1}-(n-1)+1]=2^n-n+1-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}，故c_n=2^{n-1}。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=64，d_5=4，求该数列的公比q。解：由等比数列性质d_2d_8=d_5^2，代入d_5=4可得d_2d_8=16。又d_2d_8=64，矛盾，需重新分析。实际d_2d_8=d_5d_7，故d_7=d_2d_8/d_5=64/4=16，选项均错误。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的通项公式e_n。解：由T_n=n^2+n，可得e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），求f_8的值。解：由递推关系f_n+1=2f_n+1，设h_n=f_n+1，则h_n=2h_n-1，解得h_n=1，故f_n=h_n-1=0。代入n=8得f_8=0。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=3^n-n^2，求该数列的通项公式g_n。解：由U_n=3^n-n^2，可得g_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=2×3^{n-1}-2n+1。8.在等比数列{h_n}中，若h_3h_7=64，h_4=4，求h_6的值。解：由等比数列性质h_3h_7=h_4^2，代入h_4=4可得h_3h_7=16。又h_3h_7=64，矛盾，需重新分析。实际h_3h_7=h_4h_6，故h_6=h_3h_7/h_4=64/4=16。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量。解：由等差数列性质，产量每年增加200件，故第n年的产量a_n=1000+200(n-1)。代入n=10得a_{10}=1000+200×9=2800件。2.某城市人口增长率为每年10%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数。解：由等比数列性质，人口每年增长10%，故第n年的人口b_n=100×(1+10%)^{n-1}。代入n=5得b_5=100×1.1^4≈146.41万。3.某人存款1000元，每年利息为10%，求第5年的本息和。解：由等比数列性质，本息和每年增长10%，故第n年的本息和c_n=1000×(1+10%)^{n-1}。代入n=5得c_5=1000×1.1^4≈1610.51元。4.某工厂生产一种产品，第一年成本为100元，以后每年比前一年降低5%，求第5年的成本。解：由等比数列性质，成本每年降低5%，故第n年的成本d_n=100×(1-5%)^{n-1}。代入n=5得d_5=100×0.95^4≈81.46元。5.某人每年年初存入银行1000元，利息为10%，求第5年的本息和。解：由等比数列性质，本息和每年增长10%，故第n年的本息和e_n=1000×(1+10%)^{n-1}。代入n=5得e_5=1000×1.1^4≈1610.51元。6.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求前10年的总产量。解：由等差数列性质，产量每年增加200件，故