2025-2026年江苏省苏教版高三数学第四章数列练习题

2025-2026年江苏省苏教版高三数学第四章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合首项为3的条件；选项C为3n，不符合公差为3/2的条件；选项D为4n-1，不符合首项和公差条件。正确答案为A。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.2^n+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又b_n=2^n-1，故S_n=n^2-(2^n-1)。正确答案为C。3.若数列{c_n}的前n项和T_n满足T_n=4n^2-n，则该数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：由T_n=4n^2-n，可得a_1=T_1=3。当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=(4n^2-n)-[4(n-1)^2-(n-1)]=8n-7，故数列{c_n}的通项公式为a_n=8n-7（n≥1），即a_n-a_{n-1}=8（n≥2），故数列{c_n}是公差为8的等差数列。正确答案为A。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=81，则d_3的值等于（）A.9B.27C.3或-3D.9或-9解析：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=81，可得d_3=±9。正确答案为D。5.已知数列{e_n}的前n项和为n^2+n，则e_4的值等于（）A.16B.20C.24D.28解析：由T_n=n^2+n，可得a_1=T_1=2。当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故数列{e_n}的通项公式为a_n=2n（n≥1），即e_4=2×4=8。正确答案为A。6.若数列{f_n}的前n项和S_n满足S_n=2^n-1，则该数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：由S_n=2^n-1，可得a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-[2^{n-1}-1]=2^{n-1}，故数列{f_n}的通项公式为a_n=2^{n-1}（n≥1），即a_n/a_{n-1}=2（n≥2），故数列{f_n}是公比为2的等比数列。正确答案为B。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，可得a_5=9。又a_5+a_9=2a_7=2(a_3+4d)=2(a_3+a_7)=36，故a_5+a_9=24。正确答案为C。8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=3h_n（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.3^n-1B.3^n/2C.(3^n-1)/2D.3^n解析：由递推关系h_n+1=3h_n，可得数列{h_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即h_n=3^{n-1}。前n项和S_n=1+3+9+…+3^{n-1}=(3^n-1)/2。正确答案为C。9.若数列{p_n}的前n项和T_n满足T_n=2n^2-3n，则该数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：由T_n=2n^2-3n，可得a_1=T_1=-1。当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，故数列{p_n}的通项公式为a_n=4n-5（n≥1），即a_n-a_{n-1}=4（n≥2），故数列{p_n}是公差为4的等差数列。正确答案为A。10.在等比数列{q_n}中，若q_2•q_6=64，则q_4的值等于（）A.8B.16C.4或-4D.8或-8解析：由等比数列性质q_2•q_6=q_4^2=64，可得q_4=±8。正确答案为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则该数列的前10项和S_{10}等于________。解：S_{10}=10×2+(10×9/2)×3=330。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的通项公式b_n等于________。解：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。3.若数列{c_n}的前n项和T_n满足T_n=3n^2+n，则该数列的通项公式c_n等于________（n≥2）。解：当n≥2时，c_n=T_n-T_{n-1}=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，故c_n=6n-2（n≥2）。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_5=32，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列性质d_3•d_5=d_4^2=8×32，可得d_4=16，故公比q=d_4/d_3=16/8=2。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+2n，则e_3的值等于________。解：e_3=S_3-S_2=(3^2+2×3)-(2^2+2×2)=11-8=3。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则该数列的前5项和S_5等于________。解：由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，可得数列{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即f_n+1=2^n，故f_n=2^n-1。前5项和S_5=1+3+7+15+31=57。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=5，a_5=13，则该数列的公差d等于________。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=13可得13=5+4d，解得d=2。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n满足T_n=4n^2-2n，则该数列的通项公式h_n等于________（n≥2）。解：当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=(4n^2-2n)-[4(n-1)^2-2(n-1)]=8n-6，故h_n=8n-6（n≥2）。9.若数列{p_n}满足p_1=2，p_n+1=3p_n（n∈N），则该数列的前4项和S_4等于________。解：由递推关系p_n+1=3p_n，可得数列{p_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即p_n=2×3^{n-1}。前4项和S_4=2+6+18+54=80。10.在等比数列{q_n}中，若q_2=4，q_4=16，则该数列的首项q_1等于________。解：由等比数列性质q_2•q_4=q_3^2=4×16，可得q_3=8，故公比q=q_3/q_2=8/4=2，首项q_1=q_2/q=4/2=2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。正确/错误解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故数列{a_n}是公差为2的等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_3•b_7=64，则b_5的值等于±8。正确/错误解：由等比数列性质b_3•b_7=b_5^2=64，可得b_5=±8。正确。3.若数列{c_n}的前n项和T_n满足T_n=2n^2-3n，则该数列是等比数列。正确/错误解：当n≥2时，c_n=T_n-T_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，故数列{c_n}是公差为4的等差数列。错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差为3。正确/错误解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故公差为3/2。错误。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n∈N），则该数列是等比数列。正确/错误解：由递推关系e_n+1=2e_n+1，变形为e_n+1+1=2(e_n+1)，可得数列{e_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即e_n+1=2^n，故e_n=2^n-1。错误。6.若数列{f_n}的前n项和S_n满足S_n=2n^2-3n，则该数列的通项公式f_n=4n-5（n≥2）。正确/错误解：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，故该数列的通项公式f_n=4n-5（n≥2）。正确。7.在等比数列{g_n}中，若g_2•g_6=64，则g_4的值等于8。正确/错误解：由等比数列性质g_2•g_6=g_4^2=64，可得g_4=±8。错误。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n满足T_n=n^2+n，则该数列的通项公式h_n=2n（n≥1）。正确/错误解：当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故数列{h_n}的通项公式为h_n=2n（n≥2），即h_n=2n（n≥1）。正确。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_n+1=3p_n（n∈N），则该数列是等差数列。正确/错误解：由递推关系p_n+1=3p_n，可得数列{p_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即p_n=3^{n-1}。错误。10.在等差数列{q_n}中，若q_3+q_7=20，则q_5+q_9=30。正确/错误解：由等差数列性质q_3+q_7=2q_5=20，可得q_5=10。又q_5+q_9=2q_7=2(q_3+4d)=2(q_3+q_7)=40，故q_5+q_9=40。错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和S_{10}。解：S_{10}=10×2+(10×9/2)×3=20+135=155。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），求该数列的通项公式b_n。解：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。3.已知数列{c_n}的前n项和T_n满足T_n=3n^2+n，求该数列的通项公式c_n（n≥2）。解：当n≥2时，c_n=T_n-T_{n-1}=(3n^2+n)-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，故c_n=6n-2（n≥2）。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_5=32，求该数列的公比q。解：由等比数列性质d_3•d_5=d_4^2=8×32，可得d_4=16，故公比q=d_4/d_3=16/8=2。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+2n，求e_3的值。解：e_3=S_3-S_2=(3^2+2×3)-(2^2+2×2)=11-8=3。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），求该数列的前5项和S_5。解：由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，可得数列{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即f_n+1=2^n，故f_n=2^n-1。前5项和S_5=1+3+7+15+31=57。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=5，a_5=13，求该数列的公差d。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=13可得13=5+4d，解得d=2。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n满足T_n=4n^2-2n，求该数列的通项公式h_n（n≥2）。解：当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=(4n^2-2n)-[4(n-1)^2-2(n-1)]=8n-6，故h_n=8n-6（n≥2）。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的20%，若该工厂2023年的生产能力为100万吨，求该工厂2025年的生产能力。解：由递推关系生产能力每年增加20%，可得2024年的生产能力为100×1.2=120万吨，2025年的生产能力为120×1.2=144万吨。2.已知等差数列{a_n}的首项为3，公差为2，求该数列的前n项和S_n达到100时的n值。解：S_n=3n+(n(n-1)/2)×2=n^2+2n，令n^2+2n=100，解得n=8（负值舍去）。3.若数列{b_n}的前n项和T_n满足T_n=2n^2-3n，求该数列的通项公式b_n。解：当n≥2时，b_n=T_n-T_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，故b_n=4n-5（n≥2）。4.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，求该数列的首项c_1。解：由等比数列性质c_2•c_4=c_3^2=4×16，可得c_3=8，故公比q=c_3/c_2=8/4=2，首项c_1=c_2/q=4/2=2。5.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求d_4的值。解：d_4=S_4-S_3=(4^2+4)-(3^2+3)=20-12=8。6.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=3e_n（n∈N），求该数列的前4项和S_4。解：由递推关系e_n+1=3e_n，可得数列{e_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即e_n=3^{n-1}。前4项和S_4=1+3+9+27=40。7.在等差数列{f_n}中，若f_3+f_7=20，求f_5的值。解：由等差数列性质f_3+f_7=2f_5=20，可得f_5=10。8.已知数列{g_n}的前n项和T_n满足T_n=3n^2+n，求该数列的通项公式g_n。解：当n≥2时，g_n=T_n-T_{n-1}=(3n^2+n)-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，故g_n=6n-2（n≥2）。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.A4.D5.A6.B7.C8.C9.A10.D解析：2.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式相符；选项B为2n+1，不符合首项为3的条件；选项C为3n，不符合公差为3/2的条件；选项D为4n-1，不符合首项和公差条件。3.由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又b_n=2^n-1，故S_n=n^2-(2^n-1)。4.由T_n=4n^2-n，可得a_1=T_1=3。当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=(4n^2-n)-[4(n-1)^2-(n-1)]=8n-7，故数列{c_n}的通项公式为a_n=8n-7（n≥1），即a_n-a_{n-1}=8（n≥2），故数列{c_n}是公差为8的等差数列。5.由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=81，可得d_3=±9。6.由T_n=n^2+n，可得a_1=T_1=2。当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故数列{e_n}的通项公式为a_n=2n（n≥1），即e_4=2×4=8。7.由S_n=2^n-1，可得a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-[2^{n-1}-1]=2^{n-1}，故数列{f_n}的通项公式为a_n=2^{n-1}（n≥1），即a_n/a_{n-1}=2（n≥2），故数列{f_n}是公比为2的等比数列。8.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，可得a_5=9。又a_5+a_9=2a_7=2(a_3+4d)=2(a_3+a_7)=36，故a_5+a_9=24。9.由递推关系h_n+1=3h_n，可得数列{h_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即h_n=2×3^{n-1}。前4项和S_4=2+6+18+54=80。10.由等比数列性质q_2•q_6=q_4^2=64，可得q_4=±8。11.由T_n=n^2+2n，可得a_1=T_1=5。当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1，故数列{h_n}的通项公式为a_n=2n+1（n≥2）。前5项和S_5=5+7+9+11+13=45。二、填空题1.33012.2^n-113.6n-214.215.316.5717.218.8n-619.8020.2解析：2.S_{10}=10×2+(10×9/2)×3=20+135=155。3.由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。4.当n≥2时，c_n=T_n-T_{n-1}=(3n^2+n)-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，故c_n=6n-2（n≥2）。5.由等比数列性质d_3•d_5=d_4^2=8×32，可得d_4=16，故公比q=d_4/d_3=16/8=2。6.由T_n=n^2+n，可得a_1=T_1=2。当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故数列{e_n}的通项公式为a_n=2n（n≥2），即e_3=2×3=6。7.由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，可得数列{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即f_n+1=2^n，故f_n=2^n-1。前5项和S_5=1+3+7+15+31=57。8.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=13可得13=5+4d，解得d=2。9.当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=(4n^2-2n)-[4(n-1)^2-2(n-1)]=8n-6，故h_n=8n-6（n≥2）。10.由递推关系p_n+1=3p_n，可得数列{p_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即p_n=2×3^{n-1}。前4项和S_4=2+6+18+54=80。11.由等比数列性质q_2•q_6=q_4^2=4×16，可得q_4=8，故公比q=q_4/q_2=8/4=2，首项q_1=q_2/q=4/2=2。三、判断题1.正确22.正确23.错误24.错误25.错误26.正确27.错误28.正确29.错误30.错误解析：2.当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故数列{a_n}是公差为2的等差数列。3.由等比数列性质b_3•b_7=b_5^2=64，可得b_5=±8。4.当n≥2时，c_n=T_n-T_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，故数列{c_n}是公差为4的等差数列。5.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故公差为3/2。6.由递推关系e_n+1=2e_n+1，变形为e_n+1+1=2(e_n+1)，可得数列{e_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即e_n+1=2^n，故e_n=2^n-1。7.当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，故f_n=4n-5（n≥2）。8.由等比数列性质b_3•b_7=b_5^2=64，可得b_5=±8。9.当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=(4n^2-2n)-[4(n-1)^2-2(n-1)]=8n-6，故h_n=8n-6（n≥2）。10.由递推关系p_n+1=3p_n，可得数列{p_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即p_n=3^{n-1}。11.由等差数列性质q_3+q_7=2q_5=20，可得q_5=10。又q_5+q_9=2q_7=2(q_3+4d)=2(q_3+q_7)=40，故q_5+q_9=40。四、简答题1.S_{10}=10×2+(10×9/2)×3=20+135=155。2.由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。3.当n≥2时，c_n=T