2026年广东省北师大版高一数学第三章函数的图像与性质练习题

2026年广东省北师大版高一数学第三章函数的图像与性质练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)的图像经过点(1,2)，且其对称轴为x=2，则f(0)+f(4)的值为（）A.4B.6C.8D.10解析：由对称轴x=2可知，f(0)=f(4)，又f(1)=2，根据对称性，f(3)=2，故f(0)+f(4)=2+2=4，选A。2.函数y=|x-1|+|x+3|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数y=|x-1|+|x+3|在x=-3时取最小值，此时y=|-3-1|+|-3+3|=4，选D。3.若函数f(x)=x²+mx+1在x=1时取得最小值，则m的值为（）A.-2B.-1C.0D.2解析：f(x)为二次函数，对称轴x=-m/2，由题意x=1为对称轴，故-m/2=1，解得m=-2，选A。4.函数y=3sin(2x+π/3)的图像关于y轴对称的充要条件是（）A.π/3B.π/6C.π/2D.2π/3解析：函数关于y轴对称需满足2x+π/3=kπ+π/2，解得x=kπ/2+π/12，当k=0时x=π/12，对应选项B，选B。5.函数f(x)=√(x²-2x+1)在区间[-1,3]上的最大值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)=√((x-1)²)，在x=3时取得最大值√4=2，选B。6.若函数y=kx+b与y=x²的图像恰有一个公共点，则k的取值范围是（）A.k>0B.k=0C.k<0D.k∈(-∞,0)∪(0,+∞)解析：联立方程kx+b=x²，得x²-kx-b=0，判别式Δ=k²+4b=0，解得k²=-4b，由于b≠0，故k≠0，选D。7.函数y=1/(x-1)的图像关于点(2,0)对称的函数是（）A.y=-1/(x-1)B.y=1/(x+1)C.y=-1/(x+1)D.y=-1/(x-3)解析：将y=1/(x-1)图像平移-3个单位向右，再关于x轴翻转，得y=-1/(x-3)，选D。8.函数f(x)=logₐ|x|（a>0且a≠1）在(0,+∞)上单调递减，则a的取值范围是（）A.0<a<1B.a>1C.0<a<1或a>1D.a∈(0,1)解析：logₐx在(0,+∞)上单调递减需a∈(0,1)，选A。9.函数y=2cos²x-1的图像与y=sin(x+π/4)的交点个数为（）A.2B.4C.6D.8解析：y=2cos²x-1=sin(2x)，周期T=π，每个周期内交点数为4，区间[0,2π]内交点数为8，选D。10.若函数f(x)=x³-3x+m在x=1时取得极值，则m的值为（）A.-1B.1C.2D.3解析：f'(x)=3x²-3，由f'(1)=0得3-3=0，f(1)=-1+m为极值，需f''(1)=6>0，故m=3，选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=3cos(2x-π/4)的最小正周期为________。参考答案：π解析：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。2.函数f(x)=|x+1|在区间[-2,2]上的值域为________。参考答案：[0,3]解析：分段函数f(x)在x=-1时取最小值0，在x=2时取最大值3。3.若函数y=ax²+bx+c的图像经过点(1,0)，(2,3)，且对称轴为x=-1，则a+b+c的值为________。参考答案：4解析：由对称轴x=-1得-b/2a=-1，即b=2a，代入点(1,0)得a+b+c=0，代入点(2,3)得4a+2b+c=3，联立解得a=1,b=2,c=-3，故a+b+c=0。4.函数y=2sin(x+π/6)-1的图像向右平移π/3个单位后，对应的函数解析式为________。参考答案：2sin(x-π/6)-1解析：平移变换f(x)→f(x-π/3)得2sin(x-π/6)-1。5.函数f(x)=x²-2x+3在区间[1,3]上的最小值为________。参考答案：2解析：对称轴x=1，区间内函数单调递增，最小值f(1)=2。6.若函数y=1/(x+a)与y=1/(x+b)的图像关于y轴对称，则a与b的关系为________。参考答案：a=-b解析：对称性要求分母互为相反数，即x+a=-x-b，解得a=-b。7.函数f(x)=log₂(x²-2x+1)的定义域为________。参考答案：(-∞,0)∪(2,+∞)解析：x²-2x+1>0，解得x∈(-∞,0)∪(2,+∞)。8.函数y=tan(π/4-x)的图像关于________对称。参考答案：x=π/4解析：tan函数图像的对称轴为kπ+π/2，此处k=0，对称轴x=π/4。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为________。参考答案：3解析：图像为V形，顶点(1,0)，(2,0)，(1,3)，面积=1/2×3×3=4.5。10.若函数f(x)=x²+px+q在x=1时取得极大值，则f(0)+f(2)的值为________。参考答案：p+2q+4解析：f'(1)=2+1+p=0，得p=-3，f(0)+f(2)=q+4+4+2p+q=2q-6+8=2q+2，又f(1)=-1+p+q为极大值，需f''(1)=2>0，故q=1，代入得2q+2=4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=cos(2x+π/3)的图像与y=sin(2x-π/6)的图像完全重合。参考答案：正确解析：sin(2x-π/6)=cos(π/2-(2x-π/6))=cos(2x+π/3)，图像重合。2.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其反函数f⁻¹(x)在区间(a,b)上单调递减。参考答案：正确解析：单调性相反，反函数保持单调性。3.函数y=2sin²x+1的图像与y=cos(2x)的图像关于原点对称。参考答案：错误解析：y=2sin²x+1=1-cos(2x)，与y=cos(2x)关于x轴对称。4.函数f(x)=x³-3x在x=0时取得极值。参考答案：错误解析：f'(0)=0但f''(0)=0，非极值点。5.函数y=|sinx|是周期函数，且最小正周期为π。参考答案：正确解析：|sinx|周期为π，非2π。6.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上且不过原点，则Δ=b²-4ac>0。参考答案：错误解析：开口向上需a>0，不过原点需c≠0，Δ>0不确定。7.函数y=1/(x²-1)在区间(-1,1)上存在最大值和最小值。参考答案：错误解析：在x=0处无定义，且在(-1,1)上无界。8.函数y=2cos(x+π/4)的图像向左平移π/2个单位后，对应的函数解析式为y=2cos(x-π/4)。参考答案：正确解析：平移变换f(x)→f(x+π/2)得2cos(x-π/4)。9.函数f(x)=logₐ|x|（a>1）在(0,+∞)上单调递增。参考答案：正确解析：对数函数在底数a>1时单调递增。10.函数y=3sin(2x)+1的图像的振幅为3。参考答案：正确解析：振幅为|A|=3。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x²-4x+3在区间[0,4]上的最大值和最小值。参考答案：最大值5，最小值-1解析：对称轴x=2，区间内函数在x=0处取最大值5，在x=2处取最小值-1。2.函数y=2cos²x-3sinx+1的最小正周期是多少？参考答案：2π解析：cos²x周期为π，sinx周期为2π，共同周期为2π。3.若函数f(x)=x³-px+q在x=1时取得极值，求p与q的关系。参考答案：p=3，q≠0解析：f'(1)=3-1+p=0，得p=3，需f''(1)=6>0，故q≠0。4.函数y=|x-1|+|x+2|的图像有哪些对称性？参考答案：关于x=-1.5对称解析：图像为V形，对称轴为两支交点x=-1.5。5.函数f(x)=log₂(x²-2x+1)在区间(0,2)上的单调性如何？参考答案：单调递减解析：x²-2x+1在(0,2)上单调递减，对数函数在底数>1时单调递增，复合函数单调性相反。6.函数y=3sin(π/3-x)的图像有哪些变换关系？参考答案：y=sinx图像向右平移π/3个单位，再关于x轴翻转，再伸缩3倍解析：sin(π/3-x)=sin(x-π/3)，平移π/3，翻转，伸缩。7.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在区间[-1,1]上的交点个数是多少？参考答案：1个解析：联立方程x²-2x+3=x³-3x，化简得x³-x²-x+3=0，在[-1,1]上仅x=1为解。8.函数y=2cos²x-1的图像与y=1/(x-1)的图像是否有交点？参考答案：无交点解析：y=2cos²x-1=cos(2x)，周期函数与有理分式函数无交点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x²+mx+1在x=1时取得极值，求f(0)+f(2)的值。解：f'(x)=2x+m，由f'(1)=0得m=-2，f(0)+f(2)=1-2+1+4-4+1=1，答案为1。2.函数y=|x-1|+|x+3|的最小值是多少？最小值取得时x的取值范围是什么？解：分段函数y=|x-1|+|x+3|在x∈[-3,1]时取得最小值4，最小值取得时x∈[-1,1]。3.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域是什么？解：x²-2x+1>0，解得x∈(-∞,0)∪(2,+∞)，定义域为(-∞,0)∪(2,+∞)。4.函数y=2sin(π/4-x)的图像关于哪个点对称？解：y=sin(π/4-x)=-sin(x-π/4)，对称轴为x=π/4+kπ/2，最小对称中心为(π/4,0)。5.函数f(x)=x³-3x+m在x=1时取得极大值，求m的值。解：f'(x)=3x²-3，由f'(1)=0得m=1，f''(1)=6>0，故m=1。6.函数y=3cos²x-1的图像向右平移π/3个单位后，对应的函数解析式是什么？解：y=3cos²(x-π/3)-1=3cos(2x-2π/3)-1。7.函数f(x)=|x+1|+|x-2|在区间[-3,3]上的值域是什么？解：分段函数在x=-1时取最小值1，在x=2时取最大值5，值域为[1,5]。8.函数y=2cos(x+π/6)的图像关于哪个直线对称？解：对称轴为x=kπ-π/6，最小对称轴为x=-π/6。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.B5.B6.D7.D8.A9.D10.D解析：1.对称性，0和4对称于2，f(0)=f(4)=2；2.绝对值函数在x=-1时取最小值2；3.二次函数对称轴x=-m/2=1，m=-2；4.2x+π/3=kπ+π/2，x=kπ/2+π/12；5.√(x-1)²=|x-1|，在x=3时取最大值2。二、填空题1.π12.[0,3]13.414.2sin(x-π/6)-115.216.a=-b17.(-∞,0)∪(2,+∞)18.x=π/419.4.520.2q+2解析：11.周期公式T=2π/|ω|；12.分段函数在x=-1时取最小值0，x=2时取最大值3；13.对称轴x=-1，代入点(1,0)和(2,3)解方程组；14.平移变换f(x)→f(x-π/3)；19.图像为V形，面积=1/2×3×3。三、判断题1.√22.√23.×24.×25.√26.×27.×28.√29.√30.√解析：23.对称轴为x=π/4，非原点；24.f''(1)=0，非极值；27.在x=0处无定义。四、简答题1.最大值5（x=0），最小值-1（x=