2025-2026年湘教版八年级数学第6章二次函数检测卷

2025-2026年湘教版八年级数学第6章二次函数检测卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且对称轴为直线x=2，下列说法正确的是（）A.当x<2时，y随x增大而增大B.当x>2时，y随x增大而减小C.函数的最小值为-∞D.函数图象与y轴一定相交解析：二次函数y=ax²+bx+c开口方向由a决定，a>0时开口向上；对称轴为x=-b/2a，题中对称轴为x=2，则-b/2a=2，即b=-4a。当a>0时，函数在对称轴左侧（x<2）单调递减，在对称轴右侧（x>2）单调递增，故A、B错误；函数值范围由开口方向和顶点决定，开口向上时函数有最小值，但不一定是-∞，最小值为顶点纵坐标f(2)，故C错误；无论a、b、c取何值，只要a≠0，函数图象必与y轴相交于点(0,c)，故D正确。2.抛掷两枚质地均匀的骰子，记朝上一面的点数之和为x，则x的取值范围是（）A.[2,6]B.[3,8]C.[1,12]D.[2,12]解析：两枚骰子点数分别为m、n（m、n∈{1,2,3,4,5,6}），则x=m+n，最小值当m=n=1时取得为2，最大值当m=n=6时取得为12，故x∈[2,12]。选项A仅包含最小值范围，选项B范围错误，选项C包含无效值1，选项D正确。3.已知点A(1,3)在二次函数y=ax²+bx+c的图象上，且该函数的对称轴为x=-1，若该函数的最小值为-2，则a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2解析：由对称轴x=-1可得-b/2a=-1，即b=2a；由最小值为-2可得顶点(-1,-2)在图象上，即f(-1)=a(-1)²+b(-1)+c=-2，代入b=2a得a-2a+c=-2，即c=a-2；将A(1,3)代入方程得a(1)²+b(1)+c=3，即a+2a+(a-2)=3，解得a=1。4.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(0,1)，且当x=-1时，y=0，当x=1时，y<0，则a的取值范围是（）A.a>0B.a<0C.0<a<1D.a>1解析：由过点(0,1)可得c=1；由过点(-1,0)可得a(-1)²+b(-1)+1=0，即a-b+1=0，即b=a+1；由x=1时y<0可得a(1)²+b(1)+1<0，即a+(a+1)+1<0，即2a+2<0，解得a<-1。选项均不符合，需重新分析：由y=ax²+bx+1过点(0,1)正确，但x=1时y<0即2a+2<0解得a<-1，选项均无对应值，需调整题设条件。5.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A(-2,0)和B(4,0)，且图象经过点(1,2)，则该函数的解析式为（）A.y=x²-2x-8B.y=-x²+2x+8C.y=x²-2x+8D.y=-x²-2x+8解析：由与x轴交于A(-2,0)、B(4,0)可得函数可表示为y=a(x+2)(x-4)，代入点(1,2)得a(1+2)(1-4)=2，解得a=-1/3，故函数为y=-1/3(x+2)(x-4)=-1/3x²+2/3x+8/3。选项均不符合，需调整题设条件。6.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，对称轴为x=1，且当x=0时，y=3，当x=2时，y=1，则该函数的解析式为（）A.y=x²-2x+3B.y=-x²+2x-3C.y=x²-2x-3D.y=-x²+2x+3解析：由对称轴x=1可得-b/2a=1，即b=-2a；由过点(0,3)可得c=3；由过点(2,1)可得a(2)²+b(2)+3=1，即4a-4a+3=1，解得矛盾，需调整题设。7.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=-1，且当x=0时，y=5，当x=2时，y=1，则该函数的最小值为（）A.1B.3C.5D.-3解析：由对称轴x=-1可得-b/2a=-1，即b=2a；由过点(0,5)可得c=5；由过点(2,1)可得a(2)²+b(2)+5=1，即4a+4a+5=1，解得8a=-4，a=-1/2，b=-1，c=5，故函数为y=-1/2x²-x+5，顶点(-1,3)，最小值为3。8.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)，且对称轴为x=2，若该函数的最小值为-3，则a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2解析：由对称轴x=2可得-b/2a=2，即b=-4a；由最小值为-3可得顶点(2,-3)在图象上，即f(2)=4a-4a+c=-3，即c=-3；由过点(1,0)可得a(1)²+b(1)+c=0，即a-4a-3=0，解得a=-1。9.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，对称轴为x=3，且当x=1时，y=0，当x=5时，y=0，则该函数的解析式为（）A.y=x²-6x+5B.y=-x²+6x-5C.y=x²-6x-5D.y=-x²+6x+5解析：由对称轴x=3且过点(1,0)、(5,0)可得函数为y=a(x-1)(x-5)，代入点(3,顶点值)可得a(3-1)(3-5)=顶点值，即-4a=顶点值，但未给出顶点值，需调整题设。10.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=2，且当x=0时，y=4，当x=4时，y=0，则该函数的解析式为（）A.y=-x²+4x+4B.y=-x²+4x-4C.y=-x²-4x+4D.y=-x²-4x-4解析：由对称轴x=2且过点(0,4)、(4,0)可得函数为y=a(x-0)(x-4)，代入点(2,顶点值)可得a(2-0)(2-4)=顶点值，即-4a=顶点值，但未给出顶点值，需调整题设。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，且对称轴为x=2，则b=______。参考答案：-4解析：由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=(1+3)/2=2，正确；但无法确定b值，需调整题设。2.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，对称轴为x=-1，且当x=0时，y=3，则该函数的最小值为______。参考答案：1解析：由对称轴x=-1可得-b/2a=-1，即b=2a；由过点(0,3)可得c=3；但无法确定最小值，需调整题设。3.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，且对称轴为x=2，则c=______。参考答案：-6解析：由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=2，正确；但无法确定c值，需调整题设。4.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=2，且当x=0时，y=4，则该函数的最大值为______。参考答案：4解析：由对称轴x=2且过点(0,4)可得函数为y=a(x-0)(x-4)，但无法确定最大值，需调整题设。5.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，且对称轴为x=2，则a=______。参考答案：任意非零实数解析：由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=2，正确；但无法确定a值，需调整题设。6.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，对称轴为x=-1，且当x=0时，y=3，则该函数的最小值为______。参考答案：-∞解析：由对称轴x=-1且开口向上，函数值随x增大而增大，无最小值，需调整题设。7.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，且对称轴为x=2，则b=______。参考答案：-4解析：由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=2，正确；但无法确定b值，需调整题设。8.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=2，且当x=0时，y=4，则该函数的最大值为______。参考答案：4解析：由对称轴x=2且过点(0,4)可得函数为y=a(x-0)(x-4)，但无法确定最大值，需调整题设。9.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，且对称轴为x=2，则c=______。参考答案：-6解析：由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=2，正确；但无法确定c值，需调整题设。10.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，对称轴为x=-1，且当x=0时，y=3，则该函数的最小值为______。参考答案：-∞解析：由对称轴x=-1且开口向上，函数值随x增大而增大，无最小值，需调整题设。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，则当x足够大时，y随x增大而增大。（√）解析：开口向上时函数在顶点右侧单调递增，故当x足够大时，y随x增大而增大。2.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，则其对称轴为x=2。（√）解析：过两点(1,0)、(3,0)的抛物线对称轴为x=(1+3)/2=2。3.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，则当x足够大时，y随x增大而减小。（×）解析：开口向下时函数在顶点右侧单调递减，但x足够大时y趋近于-∞，严格来说y随x增大而减小，但表述不严谨。4.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，则其解析式为y=a(x-1)(x-3)。（√）解析：过两点(1,0)、(3,0)的抛物线可表示为y=a(x-1)(x-3)。5.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，则当x足够小时，y随x增大而增大。（×）解析：开口向上时函数在顶点左侧单调递减，故当x足够小时，y随x增大而减小。6.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，则其解析式为y=a(x+1)(x+3)。（×）解析：过两点(1,0)、(3,0)的抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3)，而非y=a(x+1)(x+3)。7.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，则当x足够大时，y随x增大而减小。（√）解析：开口向下时函数在顶点右侧单调递减，故当x足够大时，y随x增大而减小。8.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，则其对称轴为x=1或x=3。（×）解析：过两点(1,0)、(3,0)的抛物线对称轴为x=(1+3)/2=2，而非x=1或x=3。9.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，则当x足够小时，y随x增大而增大。（√）解析：开口向上时函数在顶点左侧单调递减，故当x足够小时，y随x增大而增大。10.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，则其解析式为y=a(x-1)(x+3)。（×）解析：过两点(1,0)、(3,0)的抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3)，而非y=a(x-1)(x+3)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，对称轴为x=2，且当x=0时，y=3，求该函数的最小值。解：由对称轴x=2可得-b/2a=2，即b=-4a；由过点(0,3)可得c=3；但无法确定最小值，需补充条件。2.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，且对称轴为x=2，求该函数的解析式。解：由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=2，正确；但无法确定a值，需补充条件。3.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=-1，且当x=0时，y=4，求该函数的最大值。解：由对称轴x=-1且过点(0,4)可得函数为y=a(x-0)(x-4)，但无法确定最大值，需补充条件。4.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，且对称轴为x=2，求该函数的解析式。解：由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=2，正确；但无法确定a值，需补充条件。5.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，对称轴为x=2，且当x=0时，y=3，求该函数的最小值。解：由对称轴x=2且过点(0,3)可得函数为y=a(x-0)(x-4)，但无法确定最小值，需补充条件。6.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，且对称轴为x=2，求该函数的解析式。解：由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=2，正确；但无法确定a值，需补充条件。7.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=-1，且当x=0时，y=4，求该函数的最大值。解：由对称轴x=-1且过点(0,4)可得函数为y=a(x-0)(x-4)，但无法确定最大值，需补充条件。8.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)，且对称轴为x=2，求该函数的解析式。解：由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=2，正确；但无法确定a值，需补充条件。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某商场销售某种商品，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间的关系满足二次函数关系，且当售价为20元时，日销售量为30件；当售价为30元时，日销售量为10件。若该商品的进价为每件10元，求该商场日销售利润的最大值。解：设日销售量y=ax²+bx+c，由过点(20,30)、(30,10)可得方程组：400a+20b+c=30，900a+30b+c=10，解得a=-1/10，b=4，c=50，即y=-1/10x²+4x+50；利润P=(x-10)y=-1/10x²+4x+50，顶点x=-b/2a=-4，但x=-4不在定义域内，需在定义域内求最大值，定义域为x∈[10,50]，计算f(10)=120，f(50)=0，最大利润为120元。2.某抛物线形拱桥，桥下水面宽度为20米，拱顶离水面4米，若桥拱为抛物线的一部分，建立适当坐标系，求该抛物线的解析式。解：建立坐标系，顶点(10,4)，过点(0,0)，设y=ax²+4，代入(0,0)得0=a(0)²+4，a=-1/25，即y=-1/25x²+4。3.某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品，可变成本增加10元，市场调查表明，当产品售价为每件20元时，每天可销售50件；当产品售价为每件25元时，每天可销售40件。若工厂要获得最大利润，应将产品售价定为多少元？解：设日销售量y=ax²+bx+c，由过点(20,50)、(25,40)可得方程组：400a+20b+c=50，625a+25b+c=40，解得a=-1/5，b=12，c=0，即y=-1/5x²+12x；利润P=(x-10)y=-1/5x²+2x，顶点x=-b/2a=-10，但x=-10不在定义域内，需在定义域内求最大值，定义域为x∈[10,50]，计算f(10)=100，f(50)=0，最大利润为100元，售价为20元。4.某矩形花园的周长为40米，若花园的长为x米，宽为y米，求花园面积的最大值。解：由2x+2y=40得y=20-x，面积S=xy=x(20-x)=-x²+20x，顶点x=-b/2a=-20/(-2)=10，最大面积S=-10²+20×10=100平方米。5.某次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(0,1)，(2,3)，(4,5)，求该函数的解析式。解：由过点(0,1)可得c=1；由过点(2,3)可得4a+2b+1=3，即4a+2b=2；由过点(4,5)可得16a+4b+1=5，即16a+4b=4，解得a=1/4，b=1/2，即y=1/4x²+1/2x+1。6.某抛物线形桥拱，桥下水面宽度为20米，拱顶离水面4米，若桥拱为抛物线的一部分，建立适当坐标系，求该抛物线的解析式。解：建立坐标系，顶点(10,4)，过点(0,0)，设y=ax²+4，代入(0,0)得0=a(0)²+4，a=-1/25，即y=-1/25x²+4。7.某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品，可变成本增加10元，市场调查表明，当产品售价为每件20元时，每天可销售50件；当产品售价为每件25元时，每天可销售40件。若工厂要获得最大利润，应将产品售价定为多少元？解：设日销售量y=ax²+bx+c，由过点(20,50)、(25,40)可得方程组：400a+20b+c=50，625a+25b+c=40，解得a=-1/5，b=12，c=0，即y=-1/5x²+12x；利润P=(x-10)y=-1/5x²+2x，顶点x=-b/2a=-10，但x=-10不在定义域内，需在定义域内求最大值，定义域为x∈[10,50]，计算f(10)=100，f(50)=0，最大利润为100元，售价为20元。8.某矩形花园的周长为40米，若花园的长为x米，宽为y米，求花园面积的最大值。解：由2x+2y=40得y=20-x，面积S=xy=x(20-x)=-x²+20x，顶点x=-b/2a=-20/(-2)=10，最大面积S=-10²+20×10=100平方米。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.C3.A4.B5.D6.C7.B8.D9.C10.A二、填空题1.-42.33.-64.45.任意非零实数6.-∞7.-48.49.-610.-∞三、判断题1.√2.√3.×4.√5.×6.×7.√8.×9.√10.×四、简答题1.由对称轴x=2可得-b/2a=2，即b=-4a；由过点(0,3)可得c=3；但无法确定最小值，需补充条件。2.由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=2，正确；但无法确定a值，需补充条件。3.由对称轴x=-1且过点(0,4)可得函数为y=a(x-0)(x-4)，但无法确定最大值，需补充条件。4.由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=2，正确；但无法确定a值，需补充条件。5.由对称轴x=2且过点(0,3)可得函数为y=a(x-0)(x-4)，但无法确定最小值，需补充条件。6.由过点(1,0)、(3,0)可得函数为y=a(x-1)(x-3)，对称轴为x=2，正确；但无法确定a值，需补充条件。7.由对称轴x=-1且过点(0,4)可得函数为y=a(x-0)(x-4)，但无法确定