2025年江苏省高二数学二轮复习第6章几何证明综合测试题库

2025年江苏省高二数学二轮复习第6章几何证明综合测试题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，BC=10，则AC的长为（）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√3解析：由三角形内角和定理得∠C=75°，设AC=x，BC=10，由正弦定理得：$$\frac{AC}{\sinB}=\frac{BC}{\sinA}$$即$$\frac{x}{\sin45°}=\frac{10}{\sin60°}$$解得x=5√2，故选A。2.已知点P在圆O上，圆O的半径为r，OP与圆O的弦AB所夹的锐角为30°，则弦AB的长为（）A.rB.√3rC.√2rD.2r解析：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=BC，∠AOC=60°，在Rt△AOC中，$$\sin30°=\frac{AC}{AO}$$，即$$\frac{AC}{r}=\frac{1}{2}$$，解得AC=0.5r，故AB=√2r，故选C。3.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，CD=6，对角线AC、BD相交于点O，且AO=BO，则四边形ABCD的面积为（）A.24B.30C.36D.40解析：由AB∥CD，AO=BO，得△ABO≌△CDO（SAS），则S△ABO=S△CDO，四边形ABCD的面积等于△ACD的面积，设AD=x，由等腰梯形面积公式得：$$S=\frac{1}{2}(AB+CD)×AD=\frac{1}{2}(4+6)×x=24$$，解得x=4，故选A。4.已知点A（1，2），点B（3，0），点C（2，-1），则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.斜三角形解析：计算AB、BC、CA的长度：$$AB=\sqrt{(3-1)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$$$$BC=\sqrt{(2-3)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{2}$$$$CA=\sqrt{(2-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{10}$$由勾股定理得AB²+BC²≠CA²，故非直角三角形；由AB≠BC≠CA，故非等边三角形；由AB≠BC，故非等腰三角形，故选D。5.在直角坐标系中，点P（x，y）满足x²+y²-4x+6y=0，则点P到原点的距离为（）A.2B.4C.√10D.5解析：将方程配方得：$$(x-2)^2+(y+3)^2=13$$圆心为（2，-3），半径为√13，点P到原点的距离为：$$\sqrt{(2-0)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{13}$$，故选C。6.在△ABC中，已知AD是角平分线，AB=6，AC=4，BD=3，则CD的长为（）A.2B.2.4C.2.8D.3.2解析：由角平分线定理得：$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$$即$$\frac{6}{4}=\frac{3}{CD}$$，解得CD=2，故选A。7.已知圆O的半径为5，弦AB的长为6，则弦AB所在直线与圆心O的距离为（）A.3B.4C.√7D.√13解析：作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=3，在Rt△AOC中，$$AO^2=AC^2+OC^2$$，即$$5^2=3^2+OC^2$$，解得OC=4，故选B。8.在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=5，AB=6，CD=4，则梯形的高为（）A.2B.2√3C.3D.3√3解析：作AE⊥CD于E，设CD=x，由等腰梯形性质得：$$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-\left(\frac{6-4}{2}\right)^2}=2\sqrt{3}$$，故选B。9.已知点A（1，2），点B（3，0），点C（2，-1），则△ABC的外接圆的圆心坐标为（）A.(2，1)B.(2，-1)C.(1，2)D.(3，0)解析：外接圆圆心为三边垂直平分线的交点，AB中点为（2，1），斜率为-1，垂直平分线方程为：$$y-1=x-2$$，即$$y=x-1$$；AC中点为（1.5，0.5），斜率为-3，垂直平分线方程为：$$y-0.5=\frac{1}{3}(x-1.5)$$，即$$y=\frac{1}{3}x$$；联立得圆心为（2，1），故选A。10.在△ABC中，已知AB=5，AC=7，BC=8，则∠BAC的余弦值为（）A.-0.6B.0.6C.0.8D.-0.8解析：由余弦定理得：$$\cos∠BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB×AC}=\frac{5^2+7^2-8^2}{2×5×7}=0.6$$，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，BC=10，则△ABC的面积为______。参考答案：25√2解析：由内角和定理得∠C=75°，设AC=x，由正弦定理得：$$\frac{x}{\sin45°}=\frac{10}{\sin60°}$$，解得x=5√2，则面积S=$$\frac{1}{2}×AB×AC×\sinB=\frac{1}{2}×5√2×10×\frac{\sqrt{2}}{2}=25√2$$。2.已知圆O的半径为5，弦AB的长为6，则弦AB所在直线与圆心O的距离为______。参考答案：4解析：作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=3，在Rt△AOC中，$$AO^2=AC^2+OC^2$$，即$$5^2=3^2+OC^2$$，解得OC=4。3.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，CD=6，对角线AC、BD相交于点O，且AO=BO，则四边形ABCD的面积为______。参考答案：24解析：由AB∥CD，AO=BO，得△ABO≌△CDO，则S△ABO=S△CDO，四边形ABCD的面积等于△ACD的面积，设AD=x，由等腰梯形面积公式得：$$S=\frac{1}{2}(AB+CD)×AD=\frac{1}{2}(4+6)×x=24$$，解得x=4。4.在△ABC中，已知AB=6，AC=4，BC=8，则∠BAC的余弦值为______。参考答案：0.6解析：由余弦定理得：$$\cos∠BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB×AC}=\frac{6^2+4^2-8^2}{2×6×4}=0.6$$。5.已知点P（x，y）满足x²+y²-4x+6y=0，则点P到原点的距离为______。参考答案：√13解析：将方程配方得：$$(x-2)^2+(y+3)^2=13$$，圆心为（2，-3），半径为√13，点P到原点的距离为：$$\sqrt{(2-0)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{13}$$。6.在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=5，AB=6，CD=4，则梯形的高为______。参考答案：2√3解析：作AE⊥CD于E，设CD=x，由等腰梯形性质得：$$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-\left(\frac{6-4}{2}\right)^2}=2\sqrt{3}$$。7.在△ABC中，已知AD是角平分线，AB=6，AC=4，BD=3，则CD的长为______。参考答案：2解析：由角平分线定理得：$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$$，即$$\frac{6}{4}=\frac{3}{CD}$$，解得CD=2。8.已知圆O的半径为5，弦AB的长为8，则弦AB所在直线与圆心O的距离为______。参考答案：3解析：作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=4，在Rt△AOC中，$$AO^2=AC^2+OC^2$$，即$$5^2=4^2+OC^2$$，解得OC=3。9.在直角坐标系中，点P（x，y）满足x²+y²-6x+2y-15=0，则点P到原点的距离为______。参考答案：5解析：将方程配方得：$$(x-3)^2+(y+1)^2=25$$，圆心为（3，-1），半径为5，点P到原点的距离为：$$\sqrt{(3-0)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{10}$$。10.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=5，CD=7，对角线AC、BD相交于点O，且AO=BO，则四边形ABCD的面积为______。参考答案：35解析：由AB∥CD，AO=BO，得△ABO≌△CDO，则S△ABO=S△CDO，四边形ABCD的面积等于△ACD的面积，设AD=x，由等腰梯形面积公式得：$$S=\frac{1}{2}(AB+CD)×AD=\frac{1}{2}(5+7)×x=35$$，解得x=5。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。（）参考答案：正确解析：等腰三角形的性质定理：等边对等角。2.已知圆O的半径为5，弦AB的长为6，则弦AB所在直线与圆心O的距离为4。（）参考答案：正确解析：作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=3，在Rt△AOC中，$$AO^2=AC^2+OC^2$$，即$$5^2=3^2+OC^2$$，解得OC=4。3.在四边形ABCD中，若AB∥CD，AB=4，CD=6，则四边形ABCD一定是等腰梯形。（）参考答案：错误解析：等腰梯形需满足AD=BC，题目未给出此条件。4.在△ABC中，若AB=AC=BC，则∠A=60°。（）参考答案：正确解析：等边三角形的性质定理：每个角都是60°。5.已知圆O的半径为5，弦AB的长为8，则弦AB所在直线与圆心O的距离为3。（）参考答案：正确解析：作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=4，在Rt△AOC中，$$AO^2=AC^2+OC^2$$，即$$5^2=4^2+OC^2$$，解得OC=3。6.在直角坐标系中，点P（x，y）满足x²+y²-6x+2y-15=0，则点P到原点的距离为5。（）参考答案：错误解析：将方程配方得：$$(x-3)^2+(y+1)^2=25$$，圆心为（3，-1），半径为5，点P到原点的距离为：$$\sqrt{(3-0)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{10}$$。7.在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，则四边形ABCD一定是等腰梯形。（）参考答案：正确解析：等腰梯形的定义：一组对边平行，另一组对边相等。8.在△ABC中，若AD是角平分线，AB=6，AC=4，BD=3，则CD=2。（）参考答案：正确解析：由角平分线定理得：$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$$，即$$\frac{6}{4}=\frac{3}{CD}$$，解得CD=2。9.已知圆O的半径为5，弦AB的长为6，则弦AB所在直线与圆心O的距离为4。（）参考答案：正确解析：作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=3，在Rt△AOC中，$$AO^2=AC^2+OC^2$$，即$$5^2=3^2+OC^2$$，解得OC=4。10.在四边形ABCD中，若AB∥CD，AB=5，CD=7，则四边形ABCD的面积为35。（）参考答案：错误解析：题目未给出AD的长度，无法计算面积。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在△ABC中，已知AB=6，AC=4，BC=8，求∠BAC的余弦值。参考答案：0.6解析：由余弦定理得：$$\cos∠BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB×AC}=\frac{6^2+4^2-8^2}{2×6×4}=0.6$$。2.已知圆O的半径为5，弦AB的长为6，求弦AB所在直线与圆心O的距离。参考答案：4解析：作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=3，在Rt△AOC中，$$AO^2=AC^2+OC^2$$，即$$5^2=3^2+OC^2$$，解得OC=4。3.在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=5，AB=6，CD=4，求梯形的高。参考答案：2√3解析：作AE⊥CD于E，设CD=x，由等腰梯形性质得：$$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-\left(\frac{6-4}{2}\right)^2}=2\sqrt{3}$$。4.在△ABC中，已知AD是角平分线，AB=6，AC=4，BD=3，求CD的长。参考答案：2解析：由角平分线定理得：$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$$，即$$\frac{6}{4}=\frac{3}{CD}$$，解得CD=2。5.已知点P（x，y）满足x²+y²-6x+2y-15=0，求点P到原点的距离。参考答案：√10解析：将方程配方得：$$(x-3)^2+(y+1)^2=25$$，圆心为（3，-1），半径为5，点P到原点的距离为：$$\sqrt{(3-0)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{10}$$。6.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，CD=6，对角线AC、BD相交于点O，且AO=BO，求四边形ABCD的面积。参考答案：24解析：由AB∥CD，AO=BO，得△ABO≌△CDO，则S△ABO=S△CDO，四边形ABCD的面积等于△ACD的面积，设AD=x，由等腰梯形面积公式得：$$S=\frac{1}{2}(AB+CD)×AD=\frac{1}{2}(4+6)×x=24$$，解得x=4。7.在直角坐标系中，点P（x，y）满足x²+y²-4x+6y=0，求点P到原点的距离。参考答案：√13解析：将方程配方得：$$(x-2)^2+(y+3)^2=13$$，圆心为（2，-3），半径为√13，点P到原点的距离为：$$\sqrt{(2-0)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{13}$$。8.在△ABC中，已知AB=5，AC=7，BC=8，求∠BAC的正弦值。参考答案：0.8解析：由余弦定理得∠BAC=37°，则$$\sin37°≈0.6$$（注：实际计算需用计算器，此处为近似值）。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在△ABC中，已知AB=6，AC=4，BC=8，求△ABC的面积。参考答案：12解析：由余弦定理得∠BAC=37°，则面积S=$$\frac{1}{2}×AB×AC×\sin∠BAC=\frac{1}{2}×6×4×0.6=12$$。2.已知圆O的半径为5，弦AB的长为6，求弦AB所在直线与圆心O的距离。参考答案：4解析：作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=3，在Rt△AOC中，$$AO^2=AC^2+OC^2$$，即$$5^2=3^2+OC^2$$，解得OC=4。3.在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=5，AB=6，CD=4，求梯形的高。参考答案：2√3解析：作AE⊥CD于E，设CD=x，由等腰梯形性质得：$$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-\left(\frac{6-4}{2}\right)^2}=2\sqrt{3}$$。4.在△ABC中，已知AD是角平分线，AB=6，AC=4，BD=3，求CD的长。参考答案：2解析：由角平分线定理得：$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$$，即$$\frac{6}{4}=\frac{3}{CD}$$，解得CD=2。5.已知点P（x，y）满足x²+y²-6x+2y-15=0，求点P到原点的距离。参考答案：√10解析：将方程配方得：$$(x-3)^2+(y+1)^2=25$$，圆心为（3，-1），半径为5，点P到原点的距离为：$$\sqrt{(3-0)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{10}$$。6.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，CD=6，对角线AC、BD相交于点O，且AO=BO，求四边形ABCD的面积。参考答案：24解析：由AB∥CD，AO=BO，得△ABO≌△CDO，则S△ABO=S△CDO，四边形ABCD的面积等于△ACD的面积，设AD=x，由等腰梯形面积公式得：$$S=\frac{1}{2}(AB+CD)×AD=\frac{1}{2}(4+6)×x=24$$，解得x=4。7.在直角坐标系中，点P（x，y）满足x²+y²-4