2025-2026年广东省苏教版高二数学第6章数列综合练习题

2025-2026年广东省苏教版高二数学第6章数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：根据递推关系b_n=b_{n-1}+n，依次计算b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。选项A正确。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列的第4项c_4等于（）A.14B.15C.16D.17解析：由数列通项公式c_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时c_n=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，验证n=1时S_1=2-3=-1，c_1=S_1=-1，符合公式。故c_4=4×4-5=11。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立方程6q^3=54，解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列的第5项e_5等于（）A.10B.11C.12D.13解析：由数列通项公式e_n=T_n-T_{n-1}，当n≥2时e_n=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=2n，验证n=1时T_1=1，e_1=1，符合公式。故e_5=2×5=10。选项A正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n=f_{n-1}+n（n≥2），则该数列的前6项和S_6等于（）A.56B.57C.58D.59解析：根据递推关系依次计算f_2=2+2=4，f_3=4+3=7，f_4=7+4=11，f_5=11+5=16，f_6=16+6=22，S_6=2+4+7+11+16+22=62。选项D正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则该数列的前10项和S_10等于（）A.90B.100C.110D.120解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9，S_10=10×(a_1+a_{10})/2=5×(a_3+a_7)=5×18=90。选项A正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则该数列的第3项h_3等于（）A.18B.27C.36D.45解析：由数列通项公式h_n=U_n-U_{n-1}，当n≥2时h_n=3^n-1-[3^{n-1}-1]=2×3^{n-1}，验证n=1时U_1=2，h_1=2，符合公式。故h_3=2×3^2=18。选项A正确。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_4=81，则该数列的前4项积等于（）A.81B.243C.729D.6561解析：由等比数列通项公式i_n=1q^{n-1}，代入i_4=1q^3=81，解得q=3，故前4项积i_1i_2i_3i_4=1×3×9×27=729。选项C正确。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n=2j_{n-1}+1（n≥2），则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.32C.33D.34解析：根据递推关系依次计算j_2=2×1+1=3，j_3=2×3+1=7，j_4=2×7+1=15，j_5=2×15+1=31，S_5=1+3+7+15+31=57。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=5n^2-3n，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由数列通项公式a_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时a_n=10n-8，验证n=1时S_1=2，a_1=2，符合公式。故a_n=10n-8。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_5=162，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_2=b_1q=6，b_5=b_1q^4=162，联立方程6q^4=162，解得q=3。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的第4项c_4=_________。解：由数列通项公式c_n=T_n-T_{n-1}，当n≥2时c_n=2n，验证n=1时T_1=2，c_1=2，符合公式。故c_4=2×4=8。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=2，d=3，则该数列的前10项和S_10=_________。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=2，d=3，得S_10=10/2[4+27]=155。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n=e_{n-1}+2（n≥2），则该数列的前6项和S_6=_________。解：根据递推关系依次计算e_2=3，e_3=5，e_4=7，e_5=9，e_6=11，S_6=1+3+5+7+9+11=36。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=2，f_3=8，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，代入f_3=2q^2=8，解得q=2。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-1，则该数列的第3项g_3=_________。解：由数列通项公式g_n=U_n-U_{n-1}，当n≥2时g_n=2^{n-1}，验证n=1时U_1=1，g_1=1，符合公式。故g_3=2^2=4。8.在等差数列{h_n}中，若a_4+a_7=20，则该数列的前8项和S_8=_________。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_5=20，得a_5=10，S_8=8×(a_1+a_8)/2=4×(a_4+a_7)=4×20=80。9.已知数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+n（n≥2），则该数列的前5项积P_5=_________。解：根据递推关系依次计算i_2=2，i_3=6，i_4=12，i_5=20，P_5=1×2×6×12×20=2880。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=3，j_4=81，则该数列的前4项和T_4=_________。解：由等比数列通项公式j_n=3q^{n-1}，代入j_4=3q^3=81，解得q=3，T_4=3+9+27+81=120。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。解：由数列通项公式a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，当n≥2时a_n与n成一次函数关系，故该数列是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_5=162，则该数列的公比q=3。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_2=b_1q=6，b_5=b_1q^4=162，联立方程6q^4=162，解得q=3。正确。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列是等差数列。解：由数列通项公式c_n=T_n-T_{n-1}=2n，当n≥2时c_n与n成一次函数关系，故该数列是等差数列。正确。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=2，d=3，则该数列的前10项和S_10=155。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=2，d=3，得S_10=10/2[4+27]=155。正确。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n=e_{n-1}+2（n≥2），则该数列是等差数列。解：由数列通项公式e_n=1+(n-1)×2=2n-1，当n≥2时e_n与n成一次函数关系，故该数列是等差数列。正确。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=2，f_3=8，则该数列的公比q=2。解：由等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，代入f_3=2q^2=8，解得q=2。正确。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-1，则该数列是等比数列。解：由数列通项公式g_n=U_n-U_{n-1}=2^{n-1}，当n≥2时g_n与2的指数关系，故该数列是等比数列。正确。8.在等差数列{h_n}中，若a_4+a_7=20，则该数列的前8项和S_8=80。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_5=20，得a_5=10，S_8=8×(a_1+a_8)/2=4×(a_4+a_7)=4×20=80。正确。9.已知数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+n（n≥2），则该数列的前5项积P_5=2880。解：根据递推关系依次计算i_2=2，i_3=6，i_4=12，i_5=20，P_5=1×2×6×12×20=2880。正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=3，j_4=81，则该数列的前4项和T_4=120。解：由等比数列通项公式j_n=3q^{n-1}，代入j_4=3q^3=81，解得q=3，T_4=3+9+27+81=120。正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项a_1=5，公差d=-2，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=5，d=-2，得S_10=10/2[10+(-16)]=10。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n=2b_{n-1}+1（n≥2），求该数列的通项公式b_n。解：由递推关系b_n-1=2(b_{n-1}-1)，令c_n=b_n-1，则c_n=2c_{n-1}，故c_n=2^{n-1}，b_n=2^{n}+1。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，联立方程6q^3=54，解得q=3。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的第3项d_3。解：由数列通项公式d_n=T_n-T_{n-1}，当n≥2时d_n=2n，验证n=1时T_1=2，d_1=2，符合公式。故d_3=2×3=6。5.在等差数列{e_n}中，若e_3+e_6=20，求该数列的公差d。解：由等差数列性质e_3+e_6=2e_4=20，得e_4=10，又e_4=e_1+3d，故10=e_1+3d，解得d=10-e_1。6.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_{n-1}+n（n≥2），求该数列的前5项和S_5。解：根据递推关系依次计算f_2=2，f_3=5，f_4=9，f_5=14，S_5=1+2+5+9+14=31。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=3，g_4=81，求该数列的前4项积P_4。解：由等比数列通项公式g_n=3q^{n-1}，代入g_4=3q^3=81，解得q=3，P_4=3×9×27×81=19683。8.若数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，求该数列的第2项h_2。解：由数列通项公式h_n=U_n-U_{n-1}=2×3^{n-1}，验证n=1时U_1=2，h_1=2，符合公式。故h_2=2×3=6。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第1年增加10台，以后每年比上一年多增加5台，求第5年增加的设备数量。解：由等差数列{a_n}，首项a_1=10，公差d=5，第5年增加的设备数量a_5=10+(5×4)=30台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2023年的人口数量。解：由等比数列{b_n}，首项b_1=100，公比q=1.1，2023年人口数量b_4=100×1.1^3≈133.1万。3.某学生准备参加数学竞赛，计划每天比前一天多学习1小时，已知第1天学习2小时，求第7天学习的时间。解：由等差数列{c_n}，首项c_1=2，公差d=1，第7天学习时间c_7=2+(7-1)×1=8小时。4.某投资项目的年收益率为20%，已知初始投资为1万元，求第3年的收益金额。解：由等比数列{d_n}，首项d_1=1，公比q=1.2，第3年收益金额d_3=1×1.2^2=1.44万元。5.某工厂计划每月比上月降低生产成本，已知第1个月降低成本500元，以后每月比上个月多降低100元，求第6个月降低的成本。解：由等差数列{e_n}，首项e_1=500，公差d=100，第6个月降低成本e_6=500+(6-1)×100=1100元。6.某城市绿化面积每年增加10%，已知2020年绿化面积为200公顷，求2024年的绿化面积。解：由等比数列{f_n}，首项f_1=200，公比q=1.1，2024年绿化面积f_5=200×1.1^4≈248.83公顷。7.某学生准备参加物理竞赛，计划每天比前一天多做题5道，已知第1天做题10道，求第8天做题的数量。解：由等差数列{g_n}，首项g_1=10，公差d=5，第8天做题数量g_8=10+(8-1)×5=45道。8.某投资项目年收益率为15%，已知初始投资为2万元，求第4年的收益金额。解：由等比数列{h_n}，首项h_1=2，公比q=1.15，第4年收益金额h_4=2×1.15^3≈3.037万元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.A6.A7.A8.A9.C10.A二、填空题1.10n-812.313.2n14.15515.3616.217.418.8019.288020.120三、判断题1.√22.√23.√24.√25.√26.√27.√28.√29.√30.√四、简答题1.S_10=10/2[10+(-16)]=102.b_n=2^{n}+13.q=34.d_3=2×3=65.d=10-e_16.S_5=1+2+5+9+14=317.P_4=196838.h_2=2×3=6五、应用题1.a_5=30台2.2023年人口数量b_4≈133.1万3.c_7=8小时4.d_3=1.44万元5.e_6=1100元6.2024年绿化面积f_5≈248.83公顷7.g_8=45道8.h_4≈3.037万元【解析】9.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得9=3+4d，解得d=3/2，故