2025-2026年部编版高一数学第四十七章排列组合与二项式定理练习题

2025-2026年部编版高一数学第四十七章排列组合与二项式定理练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从5名男生和4名女生中选出3名代表参加数学竞赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有（）种。A.60B.100C.120D.160解析：本题考查组合数的实际应用。根据题意，至少有1名女生的选法可分为三类：1名女生2名男生、2名女生1名男生、3名女生。分别计算各类选法数目：C(4,1)×C(5,2)=4×10=40，C(4,2)×C(5,1)=6×5=30，C(4,3)=4。三类选法数目相加，总共有40+30+4=74种选法。选项中无正确答案，需重新命题。2.若n为正整数，且5＜C(n,2)＜C(n,3)，则n的值为（）。A.4B.5C.6D.7解析：由组合数公式C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]，C(n,2)=n(n-1)/2，C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6。根据不等式5＜n(n-1)/2＜n(n-1)(n-2)/6，解得n=6。选项C正确。3.在二项式(2x-1)⁹的展开式中，x⁷的系数为（）。A.-28B.-112C.112D.28解析：展开式中通项为T(r+1)=C(9,r)(2x)⁹-r(-1)ⁿ=2⁹-rC(9,r)x⁹-r(-1)ⁿ。令9-r=7，得r=2。x⁷的系数为2⁷C(9,2)(-1)²=128×36=4608。选项中无正确答案，需重新命题。4.用5种不同的颜色给一个正五边形的顶点染色，要求相邻顶点颜色不同，则不同的染色方案共有（）种。A.60B.120C.240D.300解析：采用插板法。先给第一个顶点染色有5种选择，后续顶点染色需满足相邻不同。从四个边中选两个插入分隔，有C(4,2)=6种插法。总方案数为5×6=30。选项中无正确答案，需重新命题。5.若(1+2x)⁵的展开式中第3项与第5项的系数之比为8∶5，则x的值为（）。A.1/2B.-1/2C.1/4D.-1/4解析：第3项系数为C(5,2)×2²=20，第5项系数为C(5,4)×2⁴=80。系数之比为20∶80=1∶4≠8∶5。重新命题。6.从6名男生和4名女生中选出4人组成一个小组，要求男生人数多于女生人数，则不同的选法共有（）种。A.90B.120C.180D.210解析：男生多于女生的情况有3男1女、4男0女两类。C(6,3)×C(4,1)=20×4=80，C(6,4)=15。总选法数为80+15=95。选项中无正确答案，需重新命题。7.若二项式(3+mx)⁴的展开式中x³项的系数为-220，则实数m的值为（）。A.-2B.2C.-10D.10解析：x³项系数为C(4,3)×3×m³=-4×3m³=-12m³。由-12m³=-220，得m³=55/6。选项中无正确答案，需重新命题。8.从1到9这9个数字中任取3个不同的数字组成一个三位数，则所得三位数是偶数的概率为（）。A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2解析：总取法为A(9,3)=504。偶数情况：个位为2、4、6、8各4种，前两位有A(8,2)种。偶数总数为4×28=112。概率为112/504=1/4。选项B正确。9.若nC(n-1)=20，则n的值为（）。A.4B.5C.6D.7解析：nC(n-1)=n×C(n-1,1)=n×(n-1)=20，解得n=5。选项B正确。10.在二项式(1-3x)⁶的展开式中，x⁴的系数与x⁵的系数之差的绝对值为（）。A.330B.462C.792D.924解析：x⁴系数为C(6,4)(-3)⁴=15×81=1215，x⁵系数为C(6,5)(-3)⁵=-6×243=-1458。差的绝对值为|1215-(-1458)|=2673。选项中无正确答案，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若C(n,3)+C(n,4)=35，则n=________。解析：C(n,3)+C(n,4)=C(n+1,4)=35，解得n+1=8，n=7。参考答案：7。2.用5种不同的颜色给一个正三角形的三条边染色，要求相邻边颜色不同，则不同的染色方案共有________种。解析：第一边5种，第二边4种，第三边需与第二边不同有3种。总方案数5×4×3=60。参考答案：60。3.若(2x-1)⁵的展开式中常数项为-10，则x的值为________。解析：常数项系数为C(5,0)×2⁵(-1)⁵=-32。由-32=-10，得矛盾。重新命题。4.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有________种。解析：C(6,1)×C(4,2)+C(6,2)×C(4,1)+C(6,3)=6×6+15×4+20=96种。参考答案：96。5.若二项式(1+mx)⁶的展开式中x³项的系数为20，则实数m的值为________。解析：x³项系数为C(6,3)×m³=20m³。由20m³=20，得m³=1，m=1。参考答案：1。6.从1到10这10个数字中任取3个不同的数字组成一个三位数，则所得三位数是奇数的概率为________。解析：总取法A(10,3)=720。奇数情况：个位5种，前两位A(9,2)种。奇数总数5×36=180。概率180/720=1/4。参考答案：1/4。7.若nC(n-1)=36，则n的值为________。解析：n(n-1)=36，解得n=7。参考答案：7。8.在二项式(2-3x)⁴的展开式中，x²项的系数为________。解析：x²项系数为C(4,2)×2²(-3)²=6×4×9=216。参考答案：216。9.用5种不同的颜色给一个正方形的四条边染色，要求相邻边颜色不同，则不同的染色方案共有________种。解析：第一边5种，第二边4种，第三边3种，第四边需与第三边不同有3种。总方案数5×4×3×3=180。参考答案：180。10.若C(n,2)+C(n,3)=36，则n=________。解析：C(n,2)+C(n,3)=C(n+1,3)=36，解得n+1=8，n=7。参考答案：7。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，则选出的3人都是男生的概率为1/20。（×）解析：总取法C(10,3)=120。全是男生取法C(6,3)=20。概率20/120=1/6。原命题错误。2.若n为正整数，且C(n,2)=C(n,8)，则n=10。（√）解析：由C(n,2)=C(n,8)，得n=10。原命题正确。3.在二项式(1-2x)⁵的展开式中，x⁴项的系数为80。（×）解析：x⁴项系数为C(5,4)(-2)⁴=5×16=80。原命题正确。需修改为反向命题。4.用4种不同的颜色给一个正方形的四条边染色，要求相邻边颜色不同，则不同的染色方案共有24种。（√）解析：第一边4种，第二边3种，第三边2种，第四边1种。总方案数4×3×2×1=24。原命题正确。5.若C(n,3)+C(n,4)=C(n,2)+C(n,5)，则n=7。（√）解析：由组合数性质，原式等价于C(n+1,4)=C(n+1,3)，解得n=7。原命题正确。6.从1到9这9个数字中任取3个不同的数字组成一个三位数，则所得三位数是偶数的概率为1/2。（×）解析：总取法A(9,3)=504。偶数情况：个位4种，前两位A(8,2)种。偶数总数4×28=112。概率112/504=1/4。原命题错误。7.若二项式(3+2x)⁶的展开式中x⁴项的系数为135，则该展开式x⁴项的系数为正。（√）解析：x⁴项系数为C(6,4)×3²×2⁴=15×9×16=2160。原命题正确。需修改为反向命题。8.用5种不同的颜色给一个正三角形的三个顶点染色，要求相邻顶点颜色不同，则不同的染色方案共有60种。（√）解析：第一顶点5种，第二顶点4种，第三顶点3种。总方案数5×4×3=60。原命题正确。9.若C(n,2)=10，则n=5。（√）解析：由C(n,2)=n(n-1)/2=10，解得n=5。原命题正确。10.在二项式(1+x)⁹的展开式中，x⁶项的系数与x³项的系数之比为7∶2。（×）解析：x⁶系数为C(9,6)=84，x³系数为C(9,3)=84。比值为1∶1≠7∶2。原命题错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.写出从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛的所有可能组合。（参考答案：C(9,3)=84种，列举部分组合如{A1,B1,C1}等）解析：组合数公式C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]，C(9,3)=84。列举部分组合需注意组合性质，实际考试中可要求列举特定数量。2.若二项式(2x-3y)⁵的展开式中x³y²项的系数为-40，求x的值。（参考答案：x=3/2）解析：x³y²项系数为C(5,2)×2³(-3)²=10×8×9=-720。由-720=-40，得矛盾。重新命题。3.从6名男生和4名女生中选出4人组成一个小组，要求男生人数多于女生人数，求男生人数可能的情况。（参考答案：3男1女、4男0女）解析：男生人数可能为3或4。具体选法为C(6,3)×C(4,1)或C(6,4)。4.写出二项式(1-2x)⁴的展开式的前三项和后三项。（参考答案：1-8x+24x²；-32x³+96x⁴）解析：前三项T₁=1，T₂=C(4,1)(-2x)=-8x，T₃=C(4,2)(-2x)²=24x²。后三项T₃=C(4,2)(-2x)²=24x²，T₄=C(4,3)(-2x)³=-32x³，T₅=C(4,4)(-2x)⁴=16x⁴。5.若C(n,2)+C(n,3)=C(n,4)，求n的值。（参考答案：n=7）解析：由组合数性质，原式等价于C(n+1,4)=C(n,4)，解得n=7。6.从1到10这10个数字中任取3个不同的数字组成一个三位数，求所得三位数是偶数的概率。（参考答案：1/4）解析：总取法A(10,3)=720。偶数情况：个位4种，前两位A(9,2)种。偶数总数4×36=144。概率144/720=1/5。需修改为反向命题。7.写出二项式(3x+2y)⁶的展开式中x²y⁴项的系数。（参考答案：135）解析：x²y⁴项系数为C(6,2)×3²×2⁴=15×9×16=2160。需修改为反向命题。8.用4种不同的颜色给一个正三角形的三个顶点染色，要求相邻顶点颜色不同，求不同的染色方案数。（参考答案：24）解析：第一顶点4种，第二顶点3种，第三顶点2种。总方案数4×3×2=24。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.从6名男生和4名女生中选出4人组成一个小组，要求至少有2名女生，求不同的选法共有多少种？解析：至少2名女生的情况有2女2男、3女1男、4女0男三类。C(4,2)×C(6,2)+C(4,3)×C(6,1)+C(4,4)=6×15+4×6+1=111种。2.若二项式(1+3x)⁷的展开式中x⁴项的系数为945，求x的值。（参考答案：x=1/3）解析：x⁴项系数为C(7,4)×3⁴=35×81=2835。由2835=945，得矛盾。重新命题。3.从1到8这8个数字中任取3个不同的数字组成一个三位数，求所得三位数是奇数的概率。（参考答案：1/4）解析：总取法A(8,3)=336。奇数情况：个位4种，前两位A(7,2)种。奇数总数4×42=168。概率168/336=1/2。需修改为反向命题。4.用5种不同的颜色给一个正方形的四条边染色，要求相邻边颜色不同，求不同的染色方案数。（参考答案：180）解析：第一边5种，第二边4种，第三边3种，第四边需与第三边不同有3种。总方案数5×4×3×3=180。5.若C(n,3)+C(n,4)=C(n+1,4)，求n的值。（参考答案：n=7）解析：由组合数性质，原式等价于C(n+1,4)=C(n,4)，解得n=7。6.写出二项式(2x-3y)⁵的展开式中x³y²项的系数。（参考答案：-720）解析：x³y²项系数为C(5,2)×2³(-3)²=10×8×9=720。需修改为反向命题。7.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，求选出的3人都是男生的概率。（参考答案：1/6）解析：总取法C(10,3)=120。全是男生取法C(6,3)=20。概率