2026年湘教版高三数学第一轮复习复数第十九章测试卷

2026年湘教版高三数学第一轮复习复数第十九章测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在复平面内，若复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则z对应的点Z构成的图形是（）A.以（1，0）、（-1，0）为焦点的椭圆B.以（1，0）、（-1，0）为顶点的矩形C.以（1，0）、（-1，0）为端点的线段D.以（1，0）、（-1，0）为顶点的正方形解析：由复数模的几何意义，|z-1|+|z+1|=4表示到点（1，0）、（-1，0）距离之和为4的点的轨迹。根据椭圆定义，当两定点距离小于定值时为椭圆，等于定值时为线段，大于定值时无轨迹。此处|1-（-1）|=2<4，故为椭圆。选项A正确。2.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²=4i，则z的辐角主值argz等于（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：z²=4i，则z=±2√2（cos(π/4)+isin(π/4)）。取正根时argz=π/4，取负根时argz=5π/4。题目未指定正负，通常取主值π/4。选项A正确。3.已知复数ω=1/(1-i)，则ω³+2ω²+3ω的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：ω=1/(1-i)=1/2+1/2i，ω²=（1/2+1/2i）²=1/2+i/2+1/4i²=-1/4+3i/4，ω³=ω²•ω=-1/4+3i/4•（1/2+1/2i）=-1/8+5i/8。原式=-1/8+5i/8+2（-1/4+3i/4）+3（1/2+1/2i）=1。选项B正确。4.若复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁/z₂的虚部为（）A.7/5B.-7/5C.1D.-1解析：z₁/z₂=(2+3i)/(1-2i)•(1+2i)=(2+3i)(1+2i)/5=4+7i/5，虚部为7/5。选项A正确。5.已知复数z满足|z|=1且argz=α（0<α<π），则z²+z的模长为（）A.2cosαB.2sinαC.2cos²αD.2sin²α解析：z=cosα+isinα，z²+z=cos2α+isin2α+cosα+isinα=2cos²α+2isinαcosα=2cosα(cosα+isinalpha)。模长|z²+z|=2cosα。选项A正确。6.若复数z₁，z₂满足|z₁|=1，|z₂|=2，且z₁+z₂=2，则|z₁-z₂|的值为（）A.1B.√3C.2D.√5解析：设z₁=cosα+isinα，z₂=2cosβ+2isinβ，则cosα+isinα+2cosβ+2isinβ=2。由实部cosα+2cosβ=2，虚部sinα+2sinβ=0。|z₁-z₂|=√[(cosα-2cosβ)²+(sinα-2sinβ)²]=√[1+4-4cos(α-β)]=√5。选项D正确。7.已知复数z满足z²+z+1=0，则z⁴+z³+z²+z的值为（）A.0B.1C.-1D.2解析：z²+z+1=0⇒z³=1。原式=z⁴+z³+z²+z=z³+z²+z+1=1+0+0+1=2。选项D正确。8.在复平面内，正方形ABCD的顶点A，B对应的复数分别为1+2i，3+2i，则顶点C对应的复数为（）A.4+4iB.2+4iC.4+0iD.2+0i解析：AB的中点为（2，2），斜率为0，故BC⊥AB，倾斜角为π/2。设C（x，y），则（x-3）²+(y-2)²=（x-2）²+(y-4)²⇒x=4。又BC=AB=√2，故y=0。选项C正确。9.若复数z满足|z-1|²+|z+1|²=4，则z对应的点Z构成的图形是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：设z=x+yi，|z-1|²+|z+1|²=(x-1)²+y²+(x+1)²+y²=2x²+2y²+4=4⇒x²+y²=0。故为原点。选项A错误，应为点。此处题目可能设问有误，若改为|z-1|²+|z+1|²=8则为中心在原点，半径为2的圆。10.若复数z₁，z₂满足z₁+z₂=2，z₁•z₂=1，则|z₁-z₂|的值为（）A.√3B.2C.√5D.1解析：z₁，z₂是方程x²-2x+1=0的两根，即z₁=z₂=1。|z₁-z₂|=0。选项均错误，题目可能设问有误。若改为z₁+z₂=2，z₁•z₂=-1，则|z₁-z₂|=√5。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=1+i，则z³的实部为________。参考答案：-3解析：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+3i³=1+3i-3-3i=-2。实部为-2。2.已知复数z₁=2-i，z₂=1+3i，则z₁/z₂的模长为________。参考答案：√10/5解析：|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|=√5/√10=√10/5。3.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式为________。参考答案：1+√3i解析：z=2（cos(π/3)+isin(π/3)）=1+√3i。4.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂的虚部为________。参考答案：0解析：z₁•z₂=（1+i）（1-i）=1-i²=2，虚部为0。5.若复数z满足z²=4i，则z的辐角主值argz的取值集合为________。参考答案：{π/4，5π/4}解析：z=±2√2（cos(π/4)+isin(π/4)），主值为π/4，5π/4。6.已知复数ω=1/(1-i)，则ω²的实部为________。参考答案：-1/4解析：ω²=(1/2+1/2i)²=-1/4+3i/4，实部为-1/4。7.若复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，则|z₁+z₂|的值为________。参考答案：√29解析：z₁+z₂=4+2i，|z₁+z₂|=√(4²+2²)=√20=2√5。8.若复数z满足|z|=1且argz=α（0<α<π），则z²的虚部为________。参考答案：2sinα解析：z²=cos2α+isin2α，虚部为2sinαcosα=sin2α。9.已知复数z₁，z₂满足|z₁|=1，|z₂|=2，且z₁+z₂=3，则|z₁•z₂|的值为________。参考答案：2解析：|z₁•z₂|=|z₁|•|z₂|=1×2=2。10.若复数z满足z²+z+1=0，则z⁵的值为________。参考答案：1解析：z³=1，z⁵=z²。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z₁，z₂满足z₁+z₂=0，则z₁，z₂互为相反数。正确/错误参考答案：正确解析：复数相加为0，实部虚部均相等且相反，故互为相反数。2.若复数z的模长为1，则z的平方模长也为1。正确/错误参考答案：正确解析：|z|²=|z²|，故|z|²=1⇒|z²|=1。3.若复数z₁，z₂满足z₁•z₂=0，则z₁，z₂中至少有一个为0。正确/错误参考答案：正确解析：复数乘积为0，必有一因子为0。4.若复数z₁，z₂满足|z₁|=|z₂|，则z₁，z₂对应的点在复平面上关于原点对称。正确/错误参考答案：错误解析：模长相等仅表示两点到原点距离相等，不保证对称。5.若复数z₁，z₂满足z₁/z₂为实数，则z₁，z₂互为共轭复数。正确/错误参考答案：错误解析：z₁/z₂为实数，仅表示虚部为0，不保证共轭。6.若复数z满足|z|=1，则z的平方仍满足|z|=1。正确/错误参考答案：正确解析：|z²|=|z|²=1²=1。7.若复数z₁，z₂满足z₁²=z₂²，则z₁=z₂。正确/错误参考答案：错误解析：z₁=±z₂。8.若复数z₁，z₂满足z₁+z₂=0，则z₁，z₂对应的点在复平面上关于x轴对称。正确/错误参考答案：错误解析：应关于原点对称。9.若复数z满足z²=4i，则z的模长为2。正确/错误参考答案：正确解析：z=±2√2（cos(π/4)+isin(π/4)），|z|=2√2=2。10.若复数z₁，z₂满足|z₁|=|z₂|=1，则|z₁+z₂|的值必为2。正确/错误参考答案：错误解析：|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|=2，但仅当z₁，z₂同向时取等号。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的代数形式。参考答案：11+2i解析：z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=11+2i。2.已知复数z满足|z|=2且argz=π/3，求z的三角形式。参考答案：2（cos(π/3)+isin(π/3)）解析：z=2（cos(π/3)+isin(π/3)）。3.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁/z₂的值。参考答案：i解析：z₁/z₂=(1+i)/(1-i)•(1+i)=2i。4.已知复数z满足z²=4i，求z的模长。参考答案：2√2解析：z=±2√2（cos(π/4)+isin(π/4)），|z|=2√2。5.已知复数ω=1/(1-i)，求ω的实部。参考答案：1/2解析：ω=1/2+1/2i，实部为1/2。6.已知复数z₁，z₂满足z₁+z₂=3，z₁•z₂=2，求z₁，z₂。参考答案：z₁=1+i，z₂=2-i解析：z₁，z₂是方程x²-3x+2=0的两根，即1+i，2-i。7.已知复数z满足|z|=1且argz=α（0<α<π），求z²的虚部。参考答案：2sinα解析：z²=cos2α+isin2α，虚部为2sinαcosα=sin2α。8.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁+z₂的模长。参考答案：√20解析：z₁+z₂=3+i，|z₁+z₂|=√10。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在复平面内，正方形ABCD的顶点A，B对应的复数分别为1+2i，3+2i，求顶点C对应的复数。参考答案：4+0i解析：AB的中点为（2，2），BC⊥AB，倾斜角为π/2。设C（x，y），则x=4，y=0。2.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁/z₂的模长和辐角主值。参考答案：模长√10/5，辐角主值-π/4解析：z₁/z₂=(2+3i)/(1-2i)•(1+2i)=4+7i，模长√(4²+7²)/5=√65/5≈√10/5，辐角主值atan(7/4)-π=-π/4。3.已知复数z满足|z-1|+|z+1|=4，求z对应的点Z构成的图形的面积。参考答案：12π解析：为椭圆，长轴4，短轴√(4²-2²)=2√3，面积π×4×2√3=8√3π。4.已知复数ω=1/(1-i)，求ω³的值。参考答案：-2i解析：ω=1/2+1/2i，ω²=-1/4+3i/4，ω³=ω²•ω=-3i/4-3/8=-2i。5.已知复数z₁，z₂满足z₁+z₂=2，z₁•z₂=5，求|z₁-z₂|的值。参考答案：√6解析：z₁，z₂是方程x²-2x+5=0的两根，|z₁-z₂|=√(2²-4×5)=√6。6.已知复数z满足z²+z+1=0，求z⁴+z³+z²+z的值。参考答案：0解析：z³=1，原式=z²+z+1+1=0。7.在复平面内，正方形ABCD的顶点A，B对应的复数分别为1+2i，3+2i，求顶点D对应的复数。参考答案：2+4i解析：AB的中点为（2，2），AD⊥AB，倾斜角为π/2。设D（x，y），则x=2，y=4。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.A5.A6.D7.D8.C9.A（注：原题可能设问有误，若改为|z-1|²+|z+1|²=8则为中心在原点，半径为2的圆）10.C二、填空题1.-212.√10/513.1+√3i14.015.{π/4，5π/4}16.-1/417.2√518.2sinα19.220.1三、判断题1.正确22.正确23.正确24.错误25.错误26.正确27.错误28.错误29.正确30.错误四、简答题1.11+2i；解析：z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=11+2i。2.2（cos(π/3)+isin(π/3)）；解析：z=2（cos(π/3)+isin(π/3)）。3.i；解析：