2025-2026年辽宁省人教版高二数学第四章不等式练习题

2025-2026年辽宁省人教版高二数学第四章不等式练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax-1>0}，若A∪B={x|x>2}，则实数a的取值范围是（）A.{a|a>1}B.{a|a<1}C.{a|a=1}D.{a|a≠1}解析：由x^2-3x+2>0得(x-1)(x-2)>0，解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)，即A=(-∞,1)∪(2,+∞)。当a>0时，B=(1/a,+∞)，若A∪B={x|x>2}，则需1/a≥1且B⊆(2,+∞)，解得a>1；当a<0时，B=(-∞,1/a)，若A∪B={x|x>2}，则需1/a≤2且B⊆(2,+∞)，无解；当a=0时，B=∅，A∪B=A≠{x|x>2}。综上，a>1，故选A。2.不等式|3x-2|+|2x+1|<5的解集为（）A.{x|-1<x<2}B.{x|0<x<3}C.{x|-2<x<1}D.{x|-3<x<2}解析：根据绝对值不等式性质，|a|+|b|<c⇔-c<b≤a<c，由|3x-2|+|2x+1|<5得-5<2x+1≤3x-2<5，解得-3<x≤-1且-3<x<3，取交集得-3<x≤-1，故选D。3.若关于x的不等式(m-1)x^2-2x+m>0在R上恒成立，则实数m的取值范围是（）A.{m|m>1}B.{m|m<1}C.{m|0<m<1}D.{m|m≥1}解析：分m-1=0和m-1≠0讨论：①m-1=0即m=1时，不等式为-2x+1>0，解集为(-∞,1/2)，不恒成立；②m-1≠0时，需Δ=(-2)^2-4(m-1)m<0且m-1>0，解得m>1。综上，m>1，故选A。4.不等式3^x+3^(1-x)>4的解集为（）A.{x|x>1}B.{x|x<1}C.{x|x>0}D.{x|x<0}解析：令t=3^x，则原不等式变为t+t^(1/2)>4，由t>0得t^(1/2)>2，即t>4，即3^x>4，解得x>log_3(4)，故选A。5.不等式组{sqrt(3x-2)<x-1,x^2-4x+3≥0}的解集为（）A.{x|1<x≤3}B.{x|2<x≤3}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x≤4}解析：由sqrt(3x-2)<x-1得3x-2<(x-1)^2⇒x^2-5x+3>0⇒x∈(-∞,1)∪(3,+∞)，由x^2-4x+3≥0得x∈(-∞,1]∪[3,+∞)，取交集得x∈(3,+∞)，再与sqrt(3x-2)<x-1的解集(3,+∞)重合，故选D。6.不等式1≤|x-1|+|x+2|≤3的解集为（）A.{x|-3≤x≤-1或1≤x≤2}B.{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}C.{x|-3≤x≤-2或1≤x≤3}D.{x|-3≤x≤-1或2≤x≤3}解析：根据绝对值三角不等式，|x-1|+|x+2|≥|(-1)-2|=3，当且仅当-2≤x≤1时取等号；|x-1|+|x+2|≤3⇔-3≤x-1≤3且-3≤x+2≤3⇔-2≤x≤2，取交集得-2≤x≤1，故选B。7.若f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为2，则实数a的取值范围是（）A.{a|a<0}B.{a|a>2}C.{a|a<0或a>2}D.{a|0<a<2}解析：f(x)的最小值为|a-1|，由|a-1|=2得a=3或a=-1，当a=3时，f(x)=|x-3|+|x-1|≥|(-1)-3|=4；当a=-1时，f(x)=|x+1|+|x-1|≥|(-1)-1|=2，故a=-1时满足条件，即a∈(-∞,0)∪(2,+∞)，故选C。8.不等式x^2-2|x|+1<0的解集为（）A.{x|-1<x<1}B.{x|x<-1或x>1}C.{x|-1<x<0或0<x<1}D.{x|x=0}解析：令t=|x|，则原不等式变为t^2-2t+1<0⇒(t-1)^2<0，无解，即|x|≠1，解得-1<x<1且x≠0，故选C。9.不等式组{log_2(x-1)>1,|x-2|<a}的解集为空集时，实数a的取值范围是（）A.{a|a<1}B.{a|a>1}C.{a|a=1}D.{a|0<a<1}解析：由log_2(x-1)>1得x-1>2⇒x>3，由|x-2|<a得2-a<x<2+a，若解集为空集，则需3≤2+a且3>2-a⇒a≥1且a>1，故a>1，故选B。10.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，若关于x的不等式f(x)+f(2-x)<k恒成立，则实数k的取值范围是（）A.{k|k>5}B.{k|k<5}C.{k|k=5}D.{k|k>3}解析：f(2-x)=|x-2|+|x+2|，f(x)+f(2-x)=|x-1|+|x+2|+|x-2|+|x+2|=|x-1|+3|x+2|≥|(-1)-2|+3×0=3，当且仅当-2≤x≤-1时取等号，若f(x)+f(2-x)<k恒成立，则需k>3，故选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.不等式|2x-1|>x+1的解集为_________。参考答案：(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：由2x-1>x+1得x>2，由2x-1<-x-1得x<0，故解集为(-∞,0)∪(2,+∞)，即(-∞,-1)∪(1,+∞)。2.不等式组{2x-1>0,1-x≤0}的解集为_________。参考答案：[1,+∞)解析：由2x-1>0得x>1/2，由1-x≤0得x≥1，取交集得x∈[1,+∞)。3.不等式3^x+3^(1-x)>6的解集为_________。参考答案：(0,+∞)解析：令t=3^x，则原不等式变为t+t^(1/2)>6，由t>0得t^(1/2)>2，即t>4，即3^x>4，解得x>log_3(4)，故解集为(0,+∞)。4.不等式|3x-2|+|2x+1|>5的解集为_________。参考答案：(-∞,-3)∪(2,+∞)解析：由|3x-2|+|2x+1|>5得5<x≤-1或-3<x<3，取并集得(-∞,-3)∪(2,+∞)。5.不等式组{sqrt(x+1)<x,x^2-3x+2>0}的解集为_________。参考答案：[2,+∞)解析：由sqrt(x+1)<x得x+1<x^2⇒x^2-x-1>0⇒x∈(-∞,-sqrt(2)-1)∪(sqrt(2)+1,+∞)，由x^2-3x+2>0得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)，取交集得x∈(sqrt(2)+1,+∞)，即[2,+∞)。6.不等式1≤|x-1|+|x+2|≤4的解集为_________。参考答案：[-3,-1]∪[1,2]解析：由|x-1|+|x+2|≥3得-2≤x≤1；由|x-1|+|x+2|≤4得-3≤x≤2，取交集得[-3,-1]∪[1,2]。7.不等式x^2-|x|+1>0的解集为_________。参考答案：R解析：令t=|x|，则原不等式变为t^2-t+1>0，由Δ=(-1)^2-4×1×1=-3<0，故对任意t≥0恒成立，即对任意x∈R恒成立。8.不等式组{log_3(x-1)<0,|x-2|<3}的解集为_________。参考答案：(1,5)解析：由log_3(x-1)<0得1<x<2，由|x-2|<3得-1<x<5，取交集得(1,2)∩(-1,5)=(1,2)，即(1,5)。9.不等式|x^2-4x+3|>x的解集为_________。参考答案：(-∞,1)∪(3,4)∪(4,+∞)解析：由|x^2-4x+3|>x得x^2-4x+3>x或x^2-4x+3<-x，即x^2-5x+3>0或x^2-3x+3<0，解得x∈(-∞,1)∪(3,4)∪(4,+∞)。10.若关于x的不等式|a-x|+|x-1|<2在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________。参考答案：(-1,3)解析：|a-x|+|x-1|的最小值为|a-1|，若|a-x|+|x-1|<2恒成立，则需|a-1|<2⇒-1<a<3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则|a|>|b|。参考答案：×解析：反例：令a=1，b=-2，则a>b但|a|=1<|-2|=2。2.不等式|2x-1|<|x+3|的解集为(-1,2)。参考答案：√解析：由|2x-1|<|x+3|得(2x-1)^2<(x+3)^2⇒3x(x-4)<0⇒x∈(-1,4)，故解集为(-1,2)。3.若a>b，则a^2>b^2。参考答案：×解析：反例：令a=1，b=-2，则a>b但a^2=1<4=b^2。4.不等式组{sqrt(x-1)<x,x^2-4x+3>0}的解集为(3,+∞)。参考答案：√解析：由sqrt(x-1)<x得x∈(sqrt(2)+1,+∞)，由x^2-4x+3>0得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)，取交集得(3,+∞)。5.若f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为1，则a=1。参考答案：×解析：f(x)的最小值为|a-1|，由|a-1|=1得a=0或a=2。6.不等式3^x+3^(1-x)<4的解集为(0,1)。参考答案：√解析：令t=3^x，则原不等式变为t+t^(1/2)<4，由t>0得t^(1/2)<2，即t<4，即3^x<4，解得x∈(0,log_3(4))，故解集为(0,1)。7.不等式组{log_2(x+1)>1,|x-1|<2}的解集为(3,3)。参考答案：×解析：由log_2(x+1)>1得x>3，由|x-1|<2得-1<x<3，取交集为空集。8.若a>b，则1/a<1/b。参考答案：×解析：反例：令a=1，b=-2，则a>b但1/a=1>1/(-2)=-1/2。9.不等式|x^2-4x+3|<x的解集为(1,3)。参考答案：×解析：由|x^2-4x+3|<x得-1<x<3且x∈(1,3)，取交集为(1,3)。10.若关于x的不等式|a-x|+|x-1|>k在R上恒成立，则k的取值范围是(-∞,2)。参考答案：√解析：|a-x|+|x-1|的最小值为|a-1|，若|a-x|+|x-1|>k恒成立，则需|a-1|>k⇒k<2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知集合A={x|x^2-px+q>0}，B={x|x^2-3x+2≤0}，若A∩B={1}，A∪B={x|x>1}，求p、q的值。解：由x^2-3x+2≤0得B=[1,2]，由A∩B={1}得x=1是x^2-px+q=0的根，由A∪B={x|x>1}得x^2-px+q>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞)，故x=2也是x^2-px+q=0的根，解得p=3，q=2。2.解不等式|3x-2|+|2x+1|>4。解：分x<-1/2、-1/2≤x≤2/3、x>2/3讨论：①x<-1/2时，-3x+3>4⇒x<-1/3；②-1/2≤x≤2/3时，x+1>4⇒无解；③x>2/3时，5x-1>4⇒x>1，故解集为(-∞,-1/3)∪(1,+∞)。3.若关于x的不等式|a-x|+|x-1|<2在R上恒成立，求实数a的取值范围。解：|a-x|+|x-1|的最小值为|a-1|，若|a-x|+|x-1|<2恒成立，则需|a-1|<2⇒-1<a<3。4.解不等式组{sqrt(x+1)<x,x^2-4x+3>0}。解：由sqrt(x+1)<x得x∈(sqrt(2)+1,+∞)，由x^2-4x+3>0得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)，取交集得x∈(sqrt(2)+1,+∞)，即[2,+∞)。5.若f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为3，求实数a的值。解：f(x)的最小值为|a-1|，由|a-1|=3得a=4或a=-2。6.解不等式3^x+3^(1-x)>6。解：令t=3^x，则原不等式变为t+t^(1/2)>6，由t>0得t^(1/2)>2，即t>4，即3^x>4，解得x>log_3(4)，故解集为(0,+∞)。7.若不等式组{log_2(x-1)<1,|x-2|<3}的解集为A，求A的补集。解：由log_2(x-1)<1得1<x<3，由|x-2|<3得-1<x<5，A=(1,3)∩(-1,5)=(1,3)，补集为(-∞,1]∪[3,+∞)。8.解不等式|x^2-4x+3|>x。解：由|x^2-4x+3|>x得x^2-4x+3>x或x^2-4x+3<-x，即x^2-5x+3>0或x^2-3x+3<0，解得x∈(-∞,1)∪(3,4)∪(4,+∞)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品成本为20元，售价为x元，若要使利润超过5万元，求x的取值范围。解：设生产量为y件，则利润P=(x-20)y-10，由P>5得(x-20)y>15⇒y>15/(x-20)，又y>0⇒x>20，当x=30时，y=1>15/10，当x=40时，y=0.75<15/20，故x∈(30,40)。2.解不等式组{sqrt(2x-1)<x,x^2-3x+2>0}。解：由sqrt(2x-1)<x得x∈(sqrt(2)+1,+∞)，由x^2-3x+2>0得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)，取交集得x∈(sqrt(2)+1,+∞)，即[2,+∞)。3.若关于x的不等式|a-x|+|x-1|<2在R上恒成立，求实数a的取值范围。解：|a-x|+|x-1|的最小值为|a-1|，若|a-x|+|x-1|<2恒成立，则需|a-1|<2⇒-1<a<3。4.解不等式组{log_3(x+1)>0,|x-2|<1}。解：由log_3(x+1)>0得x>2，由|x-2|<1得1<x<3，取交集得(2,3)。5.若f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为2，求实数a的值。解：f(x)的最小值为|a-1|，由|a-1|=2得a=3或a=-1。6.解不等式3^x+3^(1-x)<4。解：令t=3^x，则原不等式变为t+t^(1/2)<4，由t>0得t^(1/2)<2，即t<4，即3^x<4，解得x∈(0,log_3(4))，故解集为(0,1)。7.若不等式组{sqrt(x-1)<x,x^2-4x+3>0}的解集为A，求A的补集。解：由sqrt(x-1)<x得x∈(sqrt(2)+1,+∞)，由x^2-4x+3>0得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)，A=(sqrt(2)+1,+∞)，补集为(-∞,sqrt(2)+1]。8.解不等式|x^2-4x+3|<x。解：由|x^2-4x+3|<x得-1<x<3且x∈(1,3)，取交集为(1,3)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.A4.A5.D6.B7.C8.C9.B10.D二、填空题1.(-∞,-1)∪(1,+∞)12.[1,+∞)13.(0,+∞)14.(-∞,-3)∪(2,+∞)2.[2,+∞)16.[-3,-1]∪[1,2]17.R18.(1,5)19.(-∞,1)∪(3,4)∪(4,+∞)3.(-1,3)三、判断题1.×22.√23.×24.√25.×26.√27.×28.×29.×30.√四、简答题1.解：由x^2-3x+2≤0得B=[1,2]，由A∩B={1}得x=1是x^2-px+q=0的根，由A∪B={x|x>1}得x^2-px+q>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞)，故x=2也是x^2-px+q=0的根，解得p=3，q=2。2.解：分x<-1/2、-1/2≤x≤2/3、x>2/3讨论：①x<-1/2时，-3x+3>4⇒x<-1/3；②-1/2≤x≤2/3时，x+1>4⇒无解；③x>2/3时，5x-1>4⇒x>1，故解集为(-∞,-1/3)∪(1,+∞)。3.解：|a-x|+|x-1|的最小值为|a-1|，若|a-x|+|x-1|<2恒成立，则需|a-1|<2⇒-1<a<3。4.解：由sqrt(x+1)<x得x∈(sqrt(2)+1,+∞)，由x^2-4x+3>0得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)，取交集得x∈(sqrt(2)+1,+∞)，即[2,+∞)。5.解：f(x)的最小值为|a-1|，由|a-1|=3得a=4或a=-2。6.解：令t=3^x，则原不等式变为t+t^(1/2)>6，由t>0得t^(1/2)>2，即t>4，即3^x>4，解得x>log_3(4)