2027年高考数学一轮复习(创新设计)第2节　平面向量基本定理及坐标表示

第2节平面向量基本定理及坐标表示课标要求1.掌握平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.平面向量的基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝(x4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)设a，b是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()答案(1)√(2)×(3)√解析(2)若b＝(0，0)，则x1x2.(人教A必修二P31例7改编)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝.

答案3解析因为a∥b，所以4y－2×6＝0，解得y＝3.3.(人教B必修二P170例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为.

答案(1，5)解析设D(x，y)，则AB＝得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，即4＝5−x，14.(北师大必修二P100例1改编)如图，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC的中点，AB＝a，AD＝b，则BF＝，DE＝(用a，b表示).

答案b－12aa－1解析根据题意，得BC＝AD＝CF＝－12AB＝－1所以BF＝BC＋CF＝b同理DE＝AB－12AD＝a考点一平面向量基本定理的应用例1(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝()A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n(2)(2026·咸阳模拟)在△ABC中，点D在边AB的延长线上，AB＝2BD，CB＝mCA＋nCD，m，n∈R，则mn＝.

答案(1)B(2)2解析(1)因为BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD－CA)＝－2CA＋3(2)因为点D在边AB的延长线上，AB＝2BD，所以AB＝2BD，即CB－CA＝2(CD所以CB＝又CB＝mCA＋nCD，由平面向量基本定理可得m＝13，n＝2故mn＝29感悟提升1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.训练1(1)(多选)下列命题中正确的是()A.若p＝xa＋yb，则p与a，b共面B.若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋ybC.若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面D.若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得MP＝xMA＋yMB(2)(2026·南通诊断)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则λμ＝.答案(1)AC(2)1解析(1)对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误;对于D，若M，A，B共线，P在直线AB外，则不存在实数x，y使得MP＝xMA＋yMB，故D错误;由平面向量基本定理知A，C正确.(2)由题图可设CG＝xCE(0<x<1)，则CG＝x(CB＋BE)＝＝x2CD＋x因为CG＝λCD＋μCB，CD所以λ＝x2，μ＝x，所以λ考点二平面向量的坐标运算例2(1)已知向量a＝(0，2)，b＝−1，3，c＝(－2，5)，且c＝xa＋2b，则A.－12 B.C.－2 D.2(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝.答案(1)A(2)4解析(1)因为c＝xa＋2b，所以(－2，5)＝x(0，2)＋2(－1，3)＝(－2，2x＋6)，所以5＝2x＋6，解得x＝－12(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝AO＝(－1，1)，b＝OB＝(6，2)，c＝BC＝(－1，－3)，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则−所以λμ＝感悟提升平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，可求对应向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.训练2(1)已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若DE＝(3，4)，B(－2，－3)，则点C的坐标为()A.(4，5) B.(1，1)C.(－5，－7) D.(－8，－11)(2)(2026·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若AC＝λAM＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为.

答案(1)A(2)5解析(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以BC＝2DE＝(6，8)，设C(x，y)，又B(－2，－3)，所以(x＋2，y＋3)＝(6，8)，即x(2)在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令AB＝2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，AC＝(2，2)，AM＝(2，1)，BD＝(－2，2)，λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC＝λAM＋μBD，所以2解得λ＝43，μ＝13，则λ＋μ＝考点三平面向量共线的坐标表示角度1利用向量共线求参数例3(2026·肇庆模拟)已知向量a＝(－2，3)，b＝(m－1，3m)，a∥(a＋2b)，则m＝()A.13 B.C.－13 D.－答案A解析因a＝(－2，3)，b＝(m－1，3m)，故a＋2b＝(－2，3)＋2(m－1，3m)＝(2m－4，6m＋3)，又a∥(a＋2b)，故－2×(6m＋3)＝3×(2m－4)，得m＝13角度2利用向量共线求向量或点的坐标例4已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为.

答案(3，3)解析法一OA＝(4，0)，OB＝(4，4)，OC＝(2，6)，由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，λ∈R，则AP＝OP－OA＝(4λ－4又AC＝OC－OA＝(－由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝解得λ＝34所以OP＝34OB＝所以点P的坐标为(3，3).法二设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4，4)，且OP与OB所以x4＝y4，即又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP与AC所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).感悟提升1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0;(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.训练3(1)(多选)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A.(2，1) B.(2，2)C.(3，1) D.(3，2)(2)向量PA＝(k，12)，PB＝(4，5)，PC＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值可能为.

答案(1)BC(2)－2或11解析(1)由题意，P1由于P1P2＝(3，－3)，设P(x，则P1P＝(x－1，y－则当P1P(x－1，y－3)＝13(3，－3)∴x＝2，y＝2，即P(2，2);P1P＝23P1P2时，(x－1，y∴x＝3，y＝1，即P(3，1).(2)由已知可得BA＝PA－PB＝(k，12)－(4，5)＝(k－CA＝PA－PC＝(k，12)－＝(k－10，12－k).因为A，B，C三点共线，所以BA∥CA，所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，整理得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或11.一、单选题1.(2026·金华模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－4)，且a∥b，则实数x的值为()A.－2 B.2C.－8 D.8答案A解析由a∥b可得1x＝2−4，2.(2026·福州调研)在平面直角坐标系xOy内，已知点A(－1，1)，AB＝(1，－2)，则OB＝()A.(2，－3) B.(0，－1)C.(－2，3) D.(0，1)答案B解析因为点A(－1，1)，AB＝(1，－2)，所以OA＝(－1，1)，OB＝OA＋AB＝(－1，1)＋(1，－2)＝(0，3.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝()A.(－23，－12) B.(23，12)C.(7，0) D.(－7，0)答案A解析由题意可得3a－2b＋c＝3(5，2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0，0)，所以23所以c＝(－23，－12).4.(2026·沈阳模拟)已知向量AB＝(5，1)，BC＝(m，9)，CD＝(8，5).若A，C，D三点共线，则m＝()A.54 B.－C.11 D.－5答案C解析因为向量AB＝5，1，BCCD＝(8，5)，所以AC＝AB＋BC＝(m＋因为A，C，D三点共线，则AC∥CD，所以5(m＋5)＝8×10，解得m＝11.5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，M，N分别为CD，AD的中点，则|BM－2BN|＝()A.25 B.22C.3 D.10答案D解析如图，以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则B(0，0)，M(2，1)，N12∴BM＝(2，1)，BN＝∴BM－2BN＝(2，1)－212，2＝(1，∴|BM－2BN|＝126.在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，OC＝14OA，OD＝12OBA.127，2C.(3，－2) D.(－2，3)答案A解析因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，所以点C0，54，同理点设M的坐标为(x，y)，则AM＝(x，y－5)，而AD＝因为A，M，D三点共线，所以AM与AD所以－72x－2(y－5)＝0即7x＋4y＝20.而CM＝CB＝因为C，M，B三点共线，所以CM与CB所以74x－4y−5即7x－16y＝－20.由7所以点M的坐标为1277.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是()A.3.8 B.4C.4.2 D.4.4答案D解析法一设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2，所以BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ又BA＝BC＋CA＝2e1＋所以λ所以AP＝所以AP＝45AM＝法二设AP＝λAM，λ∈R，因为M是BC的中点，AN＝2NC，则AM＝12(AB＋AP＝λAM＝12λAB又B，P，N三点共线，所以12λ＋34λ＝解得λ＝45，所以AP＝45AM二、多选题8.在下列各组向量中，可以作为基底的是()A.a＝(－3，2)，b＝(6，－4)B.a＝(2，3)，b＝(3，2)C.a＝(1，－2)，b＝(7，14)D.a＝(－2，3)，b＝(4，6)答案BCD解析对于A，由向量a＝(－3，2)，b＝(6，－4)，可得(－3)×(－4)－2×6＝0，所以a∥b，所以A错误;对于B，由向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，可得2×2－3×3≠0，所以a与b不平行，所以B正确;对于C，由向量a＝(1，－2)，b＝(7，14)，可得1×14－7×(－2)≠0，所以a与b不平行，所以C正确;对于D，由向量a＝(－2，3)，b＝(4，6)，可得－2×6－3×4≠0，所以a与b不平行，所以D正确.9.设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则下列命题正确的是()A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋cB.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μcC.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μcD.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc答案AB解析∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确;当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确;取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误;因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误.故选AB.三、填空题10.在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为.

答案(2，4)解析∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，∴DC＝2AB，设点D的坐标为(x，y)，则DC＝(4－x，2－y)，又AB＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即4−x＝∴点D的坐标为(2，4).11.(2026·银川模拟)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，AB⊥AD，E是CD的中点，若AC＝λBD＋μAE，则λ＋μ＝.

答案1解析AC＝λBD＋μAE＝λ−12DC＝12μ−12λDC＋而AC＝所以1解得μ＝32，λ＝12.已知点A(－1，1)，B(3，2)，D(0，5)，若BC＝3AD，AC与BD交于点M，则点M的坐标为.

答案3解析结合题意，设C(x，y)，M(x1，y1)，易得BC＝(x－3，y－2)，AD＝(1，4)，由BC＝3AD，可得(x－3，y－2)＝3(1，4)，解得x＝6，y＝因为BC＝3AD，所以△DMA∽△BMC，所以|AM所以AM＝即(x1＋1，y1－1)＝14(7，13)＝7解得x即点M的坐标为34四、解答题13.已知A(