2027年高考数学一轮复习(创新设计)第2节　单调性与最大(小)值(一)

第2节单调性与最大(小)值(一)课标要求1.借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D,都有f(x)≤M;(2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M(1)∀x∈D,都有f(x)≥M;(2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1.函数单调性的常用结论(1)若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则y＝f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减).(2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x),y＝1f(2.函数最值的结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数y＝f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.()(2)函数y＝f(x)在[1,＋∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,＋∞).()(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞,0)∪(0,＋∞(4)对于函数f(x),x∈I,若对任意x1,x2∈I,且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0,则函数f(x)在区间I上是增函数.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误,应对任意的x1<x2,都有f(x1)<f(x2)成立才可以.(2)错误,反例:f(x)＝x在[1,＋∞)上为增函数,但f(x)＝x的单调递增区间是(－∞,＋∞).(3)错误,此单调区间不能用“∪”连接,故单调递减区间为(－∞,0)和(0,＋∞).2.(人教A必修一P86T7改编)函数f(x)＝x2－1的单调递增区间是.

答案[0,＋∞)解析函数f(x)＝x2－1是开口向上的二次函数,对称轴为x＝0,因此单调递增区间为[0,＋∞).3.(人教B必修一P140T2(1)改编)函数f(x)＝4x2(x∈[－2,－1]),则f(x)的最小值为,最大值为答案14解析由于f(x)＝4x2在[－2,－1]故f(x)的最大值为f(－1)＝4,最小值为f(－2)＝1.4.(苏教必修一P122T4改编)函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数,且f(a＋1)<f(2a),则实数a的取值范围是.

答案[－1,1)解析由条件知−2≤a＋1≤2,考点一确定函数的单调性(区间)角度1判断函数的单调性例1(1)下列函数在R上为增函数的是()A.y＝x2 B.y＝xC.y＝－x D.y＝1(2)(多选)下列说法中,正确的是()A.函数y＝e－x－1x2在(－B.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1]C.函数f(x)＝2−x2＋2xD.函数y＝2x＋2cosx在(0,＋∞)上是增函数答案(1)B(2)ABD解析(1)y＝x2在(－∞,0]上单调递减,在(0,＋∞)上单调递增,故A错误;y＝x在R上为增函数,故B正确;y＝－x在[0,＋∞)上单调递减,故C错误;y＝1x在(－∞,0)上单调递减,在(0,＋∞)上单调递减,故D错误(2)在(－∞,0)上函数y＝e－x与y＝－1x2所以y＝e－x－1x2在(－∞,0)上单调递减,故A作出函数y＝2|x＋1|的图象,如图所示,由图象可知,函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1],故B正确;由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞,1],故C错误;因为y'＝2－2sinx≥0,所以y＝2x＋2cosx在(0,＋∞)上单调递增,故D正确.角度2利用定义证明函数的单调性例2已知函数f(x)＝x4−x2,x∈(－2,2),判断函数f(x解函数f(x)＝x4−x2在区间(－2,2)上单调递增任取－2<x1<x2<2,f(x1)－f(x2)＝x＝4(＝(4＋x由于4＋x1x2>0,x1－x2<0,4－x12>0,4－x所以f(x1)－f(x2)<0,f(x1)<f(x2),所以f(x)在(－2,2)上单调递增.感悟提升1.求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法.3.函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.易错警示函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.训练1(1)下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是()A.f(x)＝x|x|B.f(x)＝2x－C.f(x)＝－x2＋2xD.f(x)＝13x3－x2＋2(2)函数y＝x2＋2x−24答案(1)B(2)(－∞,－6]解析(1)对任意x1,x2∈(0,＋∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减.f(x)＝x|x|＝x作出f(x)的图象(图略)可知,f(x)为R上的增函数,故A错误;y＝2x与y＝－x在(0,＋∞)上单调递减所以f(x)＝2x－x在(0,＋∞)上单调递减故B正确;f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(0,＋∞)上不单调,故C错误;f(x)＝13x3－x2＋2x则f'(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0,所以f(x)在R上单调递增,故D错误.(2)由题意,要使函数y＝x2＋2x−24有意义,需满足x2＋2x－24≥0,解得x≤－6或又由t＝x2＋2x－24在(－∞,－6]上单调递减,在[4,＋∞)上单调递增,结合复合函数的单调性的判定方法,可得函数y＝x2＋2x−24的单调递减区间是((3)试讨论函数f(x)＝axx−1(a≠0)在(－1解法一设－1<x1<x2<1,f(x)＝ax−1＋1x−1＝则f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1＝a(由于－1<x1<x2<1,所以x2－x1>0,x1－1<0,x2－1<0,故当a>0时,f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(－1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(－1,1)上单调递增.法二f'(x)＝(＝a(x−1)−ax当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(－1,1)上单调递减;当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(－1,1)上单调递增.考点二已知单调性求参数的取值范围例3(2026·唐山调研)已知a>0,且a≠1,函数f(x)＝3a−x,x<2,A.(1,＋∞) B.1C.23,1答案D解析因为函数f(x)在R上单调,由函数解析式可得函数f(x)在R上单调递增不满足题意,故f(x)在R上单调递减,所以0<a<1,感悟提升利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.训练2(2026·南通模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x,x<0,ln(x＋aA.(0,＋∞) B.[0,＋∞)C.(0,1] D.[1,＋∞)答案D解析当x<0时,f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1,其在(－1,0)上单调递增,若f(x)在(－1,＋∞)上单调递增,∴a>0,lna复合函数的单调性1.复合函数单调性判定原则:同增异减.2.设复合函数y＝f[g(x)],A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间,B是u＝g(x)的值域.(1)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数,y＝f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数;(2)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数,而y＝f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数.一、求复合函数的单调区间例1已知函数f(x)＝x2－2x－3,g(x)＝f(5－x2),试求g(x)的单调区间.解令u(x)＝5－x2,则u(x)在(－∞,0]上单调递增,在[0,＋∞)上单调递减,且u(0)＝5.f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞,1]上单调递减,在[1,＋∞)上单调递增.即u(x)的单调性是以“0”为界来划分的,f(x)的单调性是以“1”为界来划分的,由此可确定g(x)的单调性.令5－x2＝1,则x＝±2.x(－∞,－2][－2,0][0,2][2,＋∞)u(x)＝5－x2增增减减u(－∞,1][1,5][1,5](－∞,1]f(u)减增增减f(5－x2)减增减增所以函数g(x)的单调递减区间是(－∞,－2],[0,2],单调递增区间是[－2,0],[2,＋∞).二、由复合函数的单调性求参数例2设f(x)＝x2＋1,g(x)＝f(f(x)),F(x)＝g(x)－λf(x).问是否存在实数λ,使F(x)在区间−∞,−22上单调递减且在区间−22解假设存在满足条件的实数λ,则由f(x)＝x2＋1,g(x)＝f(f(x)),得g(x)＝(x2＋1)2＋1.∴F(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)x2＋2－λ.令t＝x2,则t＝x2在(－∞,0)上单调递减,且当x∈−∞,−22时当x∈−22,0时,0<故若F(x)在−∞,−22上单调递减则函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ在12,＋∞上单调递增,∴函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ的图象的对称轴t＝λ−22为直线t＝即λ−22＝1故存在满足条件的实数λ＝3,使F(x)在区间−∞,训练(1)已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是()A.y＝－f(x)在R上是减函数B.y＝1f(xC.y＝[f(x)]2在R上是增函数D.y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数(2)已知函数f(x)是R上的减函数,若f(ax2－2x)在(1,＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.

答案(1)A(2)(－∞,0]解析(1)A中,∵函数f(x)在R上是增函数,∴y＝－f(x)在R上是减函数,故A正确.B中,函数f(x)在R上是增函数,但y＝1f(x)在R上不一定是减函数,如f(x)＝x在R上是增函数,但y＝1f(C中,函数f(x)在R上是增函数,但y＝[f(x)]2在R上不一定是增函数,如f(x)＝x在R上是增函数,但y＝[f(x)]2＝x2在R上不是增函数,故排除C.D中,函数f(x)在R上是增函数,但y＝af(x)(a为实数)在R上不一定是增函数,例如f(x)＝x在R上是增函数,但f(x)＝－2x在R上不是增函数,故排除D.(2)由题意知函数y＝ax2－2x在(1,＋∞)上单调递减,故a<0,1a≤1,或一、单选题1.下列函数在(0,＋∞)上单调递增的是()A.f(x)＝3－x B.f(x)＝0.5xC.f(x)＝x|x| D.f(x)＝x＋1答案C解析对于A,f(x)＝3－x在(0,＋∞)上单调递减,故A错误;对于B,f(x)＝0.5x在(0,＋∞)上单调递减,故B错误;对于C,f(x)＝x|x|＝x2,x>0,则f(x)在(0,＋∞)上单调递增,故C正确;对于D,f(x)＝x＋1x,由于f13＝103,f12＝可知f(x)在(0,＋∞)上不是单调递增函数,故D错误.2.函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为()A.−B.1C.[1,＋∞)D.−∞,12∪[1答案B解析g(x)＝x|x－1|＋1＝x画出函数图象,如图可知,函数的单调递减区间为123.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2,6)上不单调,则a的取值范围是()A.(2,6)B.(－∞,2]∪[6,＋∞)C.(4,12)D.(－∞,4]∪[12,＋∞)答案C解析f(x)＝－x−a2由题意得2<a2<6,解得4<a<12.故选4.设a∈R,则“a≥1”是“函数f(x)＝ax−1x−1在(1,＋∞A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析由题意可得,f(x)＝ax−1x−1＝a＋a−1x−1在(1则a－1>0,解得a>1.因为a≥1不能推出a>1,a>1⇒a≥1,所以“a≥1”是“函数f(x)＝ax−1x−1在(1,＋∞)上单调递减5.已知函数y＝f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有f(x1)−fA.y＝f(x)＋x是增函数B.y＝f(x)＋x是减函数C.y＝f(x)是增函数D.y＝f(x)是减函数答案A解析不妨令x1<x2,∴x1－x2<0,∵f(x1)−f(x2)x1−x2>－－(x1－x2),得f(x1)＋x1<f(x2)＋x2,令g(x)＝f(x)＋x,∴g(x1)<g(x2),又x1<x2,∴g(x)＝f(x)＋x是增函数.6.(2026·苏州质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝3f(|x|)＋x2－2x,则f(x)的单调递增区间为()A.(－∞,－10]和[0,1] B.(－∞,－5]和[0,1]C.[－10,0]和[1,＋∞) D.[－5,0]和[1,＋∞)答案B解析当x≥0时,f(x)＝3f(x)＋x2－2x,则f(x)＝－12x2＋x∴f(x)在[0,1]上单调递增;当x<0时,－x>0,∴f(－x)＝－12x2－x∴f(x)＝3f(－x)＋x2－2x＝－32x2－3x＋x2－2x＝－12x2－5∴f(x)在(－∞,－5]上单调递增.综上所述,f(x)的单调递增区间为(－∞,－5]和[0,1].故选B.7.(2026·天水调研)已知函数f(x)＝x2−2x,x≥0,−A.(－∞,－2]∪[1,＋∞)B.[－2,1]C.(－∞,－1]∪[2,＋∞)D.[－1,2]答案A解析画出分段函数f(x)＝x2−2如图所示,所以要使函数f(x)在(m,m＋1)上单调递增,则m≥1或m＋1≤－1,解得m≥1或m≤－2,所以实数m的取值范围为(－∞,－2]∪[1,＋∞).故选A.二、多选题8.(2026·湖州段考)下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),且x1≠x2,都有f(x1A.f(x)＝21－xB.f(x)＝－2C.f(x)＝xD.f(x)＝lnx＋ex答案BCD解析函数f(x)满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),且x1≠x2,都有f(x则函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增.函数f(x)＝21－x在(0,＋∞)上单调递减,故A不符合题意;函数f(x)＝－2x在(0,＋∞)上单调递增故B符合题意;函数f(x)＝x2＋4x＋4的定义域为R,且函数y＝x2＋4x＋4在(0,＋∞)上单调递增,所以f(x)＝x2＋4x＋4在(0,＋函数y＝lnx与y＝ex在(0,＋∞)上单调递增,所以f(x)＝lnx＋ex在(0,＋∞)上单调递增,故D符合题意.9.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)>0,g(x)>0,f(x)是减函数,g(x)是增函数,则下列说法正确的有()A.g(x)＋f(x)是增函数B.f(x)－g(x)是减函数C.f(x)g(x)是增函数D.f(答案BD解析对于A,若g(x)＝2x,f(x)＝12则g(1)＋f(1)＝52,g(－1)＋f(－1)＝5故g(x)＋f(x)不一定为增函数,A错误;而f(x)g(x)＝1不是增函数,C错误;对于B,因为g(x)是增函数,所以－g(x)为减函数.又f(x)是减函数,所以f(x)－g(x)＝f(x)＋(－g(x))为减函数,B正确;对于D,因为g(x)是增函数,且g(x)>0,所以1g(x)>0又f(x)>0,且f(x)为减函数,所以f(x)g(x)＝f(x)三、填空题10.设函数f(x)＝1,x>0,0,x＝0,−1,x<0,g(x)＝x2答案(－∞,0),(1,＋∞)解析由题意知g(x)＝x该函数图象如图所示,由图象知,函数g(x)的单调递增区间(－∞,0),(1,＋∞).11.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程,满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数.

答案f(x)＝－x(答案不唯一)解析设f(x)＝－x,在R上单调递减.f(x＋y)＝－x－y,f(x)＝－x,f(y)＝－y,满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).所以函数f(x)＝－x是在R上单调递减的加性函数.12.(2024·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝−x2−2ax−a,x<0,答案[－1,0]解析因为函数f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)＝－x2－2ax－a,所以f(x)