第一章 《特殊平行四边形》巩固卷-北师大版数学九上单元测试卷

第一章《特殊平行四边形》巩固卷-北师大版数学九上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得△AB'C'，连接B'C，则△AB'C的周长为（）A．16+210 B．18 C．18+2102．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，D为BC上一点，且AC=AD，E，F分别是CD，AB的中点，连接EF，若AC=2，则EF的长为()

A．23 B．3 C．1 3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，连接AC，BD交于点O.若AB=7，BD=4，则EF的长为（）A．5 B．2 C．3 D．24．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以点B，C为圆心、大于12BC的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接OE.若∠ABC=60°，AC=8，则OE的长为()A．4 B．43 C．235．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=6，AE=8，则CE的长为（）A．210 B．10 C．42 6．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，BD=2CD，F为AD的中点，E为OC的中点.若BC=18A．9 B．9.5 C．10 D．67．如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4，过对角线交点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，A．12 B．78 C．1 8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，点M，N分别是AD，AO的中点，连接MN，若四边形OCED的周长是16，则MN的长为()A．1 B．2 C．4 D．89．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，连接PB、PD．若图中阴影部分的面积为8，则AE•PF的值为（）A．4 B．8 C．16 D．3210．如图，在矩形ABCD中，点E为CD边的中点，点F为边BC上一点，且AE平分∠DAF.若BF=4，FC=1，则AF的长为（）A．5 B．25 C．6 D．二、填空题（每题3分，共18分）11．某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠B=∠DFC=90°，∠BAE=30°，∠CDF=45°，四边形ABCD恰好为矩形，点E，F分别在BC，AE上，则∠AFD等于度.12．正方形ABCD中，点O为对称中心，EF过点O且点E在AD上，点F在BC上，BF=3，CF=1，则EF=.13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°、BC＝6、AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝.14．如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．若AB＝3，BC＝4，则四边形EFGH的周长为．15．已知四边形ABCD为菱形，CD=5，AC=8，P为线段AC上任意一点，点E为线段AD上任意一点，连接PD，PE.则PE+P的最小值是16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠AOD=120°，过点A作AE⊥BD于点E，若BE=1，则DE=．三、解答题（共7题，共72分）17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC边的中点.AE‖BC,CE‖AD.（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B=6018．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O,DEAC,CE;BD,连接OE，交CD于点F.（1）求证：四边形DOCE是矩形；（2）若OE=2，∠ABC=120°，求菱形ABCD的面积.19．在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是线段OC上的动点。（1）如图1，若BE平分∠OBC。①求证：AB=AE。②若EC=2，求OE的长。（2）如图2，延长BE交DC于点F，连接OF。当BF=2OF时，探究CF与AB的数量关系，并说明理由。20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，O是AC的中点，连接DO并延长至点E，连接AE，且AE∥BC，连接CE.（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB=2，BC=22，求证：四边形ADCE是正方形.21．如图1，四边形ABCD是一个边长为4的正方形，点E和F分别是边AB和AD上的动点（点E与点A,B不重合，点F与点A,D不重合），且AF=BE，连接CE，BF，相交于点G．（1）请判断CE与BF的位置关系，并说明理由；（2）如图2，当点E，F运动到AB，AD的中点时，连接DG，请判断CD与DG之间的数量关系，并说明理由．22．如图1，在正方形ABCD中，点E在AB的延长线上，连结CE，过点A作AF⊥CE于点F，分别交正方形的对角线BD和边BC于点G、H.（1）求证：BE=BH.（2）如图2，连结CG，EG，已知BD=2，设BH=x，AE=y.①求y关于x的函数表达式.②当x=2−223．观察图形，并解决问题。（1）如图1，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE=AC，过点E作EF//BC交AD于点F。求证：①△ADE≌△ADC；②四边形CDEF是菱形。（2）如图2，在△ABC中，AB>AC，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延长线于点D，在AB的反向延长线上截取AE=AC，过点E作EF//BC交AD的反向延长线于点F。四边形CDEF还是菱形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由。（3）在（2）的条件下，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，直接写出此时△ABC中∠BAC与∠B的关系；如果不能，请直接回答问题，不必说明理由。答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8

∴AC=AB2+BC2=10

∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°

∴AB'=AB=6，∠BAB'=90°

∵∠ABC=90°

∴∠ABC+∠BAB'=180°

∴AB'∥BC

过点B'作B'H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形

∴B'H=AB=6，BH=AB'=6

∴HC=BC-BH=2

∴B'C=故答案为：A【分析】根据勾股定理可得AC，根据旋转性质可得AB'=AB=6，∠BAB'=90°，根据直线平行判定定理可得AB'∥BC，过点B'作B'H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形，则B'H=AB=6，BH=AB'=6，根据边之间的关系可得HC，再根据勾股定理可得B'C，再根据三角形周长即可求出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：连接AE，∵在RtΔCAB中，∠CAB=90°，∠B=30∴∠C=90°−3由勾股定理得：AB=B∵AC=AD，∠C=60∴ΔACD为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。∵E是CD的中点，∴AE⊥CD（等边三角形三线合一），即∠AEB=90在RtΔAEB中，F是斜边AB的中点，∴EF=1代入得EF=故答案为：B【分析】本题考查直角三角形性质、等边三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理的综合应用。先利用含30°角的直角三角形的边角关系求出BC长度，再由勾股定理计算AB的长；结合AC=AD与∠C=60°的条件，依据等边三角形的判定定理证明ΔACD为等边三角形，再通过等边三角形三线合一的性质得到AE垂直于CD；最后在直角三角形AEB中，应用直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理，由AB的长度求出3．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，且BO=12BD=2

在Rt△AOB中，AB=7，

∴AO=AB2−BO2=7−4=3，

∴AC=2AO=23

∵E，F分别为AB，BC【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理和三角形中位线。菱形的对角线互相垂直平分，因此可在直角三角形AOB中利用勾股定理求出AO，进而得到AC；又因为E，F是三角形ABC两边的中点，所以EF平行且等于第三边AC的一半。4．【答案】A【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=60°，AC=8，∴AB=BC,∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，由作图可知，E为BC的中点，∴OE=1∴△COE为等边三角形，∴OE=OC=4.故答案为：A.【分析】由作图可知E为BC的中点，根据菱形的性质得到和直角三角形斜边中线性质得到△COE为等边三角形，即可根据等边三角形的性质解答即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=6，∵AB=6，AE=8，∴BE=A∵BE=BC，∴BC=10，∴AD=10，∴DE=AD−AE=10−8=2，∴CE=D故答案为：A.【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理求出BE长，即可得到BC=BE=AD=10，即可得到DE长，在根据勾股定理求出CE长解答即可．6．【答案】A【解析】【解答】在▱ABCD中，对角线互相平分：BD=2OD，且AD=BC=18。

∵BD=2CD，

∴2OD=2CD，

化简得OD=CD，

∴△OCD是等腰三角形。

∵E为OC中点，等腰△OCD中，中线DE⊥OC，

∴∠AED=90∘，△AED为直角三角形。

∵F为AD中点，在Rt△AED中，斜边中线EF=12AD。

代入AD=18计算EF=12故答案为：A.【分析】由平行四边形对角线互相平分得BD=2OD，结合条件BD=2CD，等量代换推出OD=CD，判定△OCD为等腰三角形；E是OC中点，根据等腰三角形三线合一，连接DE可得DE⊥AC，即△ADE是直角三角形；F是斜边AD中点，依据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得EF=127．【答案】B【解析】【解答】解：矩形ABCD，AB=3，BC=4，

∴AD=BC=4，∠A=90∘.

对角线相等且平分，OB=OD；EF⊥BD，

∴EF垂直平分BD，得EB=ED.

设AE=x，则ED=AD−AE=4−x，

∴EB=ED=4−x.

Rt△ABE中，由勾股定理：AE2+AB2=BE2，

代入：x2+32=(4−x)2，

x=78，

∴AE=7故答案为：B.【分析】由矩形对角线平分、EF⊥BD，得到EF是BD垂直平分线，推出EB=ED；设AE=x，用x表示BE；在直角△ABE中利用勾股定理建立一元一次方程，求解得到AE长度.8．【答案】B【解析】【解答】解：因为DE‖AC，CE‖BD，

所以四边形OCED是平行四边形。

因为四边形ABCD是矩形，

所以AC=BD，OC=12AC，OD=12BD，即OC=OD.

所以平行四边形OCED是菱形。

因为菱形周长为16，

所以4·OD=16，解得OD=4。

因为M、N分别为AD、AO中点，

所以MN是△AOD的中位线，

MN=12OD=12×4=2。

故答案为：B.9．【答案】B【解析】【解答】解：过点P作MN⊥AD，交BC于M，交AD于N．

∵四边形ABCD是矩形，且EF∥BC，

∴四边形AEPN，DFPN，CFPM，BEPM均为矩形，

∴AE=DF，且矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分，

∴S△ANP=S△AEP，S△PBE=S△PBM，S△PDF=S△PDN，S△PFC=S△PMC，

∴S△DFP=S△PBE．

已知阴影部分面积为8，即S△DFP+S△PBE=8，

∴S△DFP=S△PBE=4．

在△DFP中，以PF为底，DF为高，且DF=AE，

S△DFP=12故答案为：B．【分析】先根据矩形的性质，过点P作MN⊥AD，将大矩形分割为四个小矩形，利用矩形对角线平分面积的性质，得到S△DFP=S△PBE；再根据阴影部分面积为8，求出单个阴影三角形的面积为4；最后根据三角形面积公式S△DFP10．【答案】C【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AF与点G，连接EF

∵四边形ABCD为矩形

∴∠D=90°，BC=AD

∴AD⊥CD

∵AE平分∠DAF，AF⊥GE

∴DE=EG，∠AGE=∠D=90°

∵点E为CD的中点

∴DE=CE

∴DE=EG=CE

∴在Rt△AGE与Rt△ADE中

∴AE=AE，DE=EG

∴Rt△AGE≅Rt△ADE

同理Rt△FGE≅Rt△FCE

∴AD=AG，GF=CF=1

∵BF=4，CF=1

∴BC=BF+CF=5

∴AG=5

∴AF=AG+GF=6故答案为：C。

【分析】利用矩形的性质，可以得到∠D=90°，BC=AD，做好辅助线，再利用角平分线的性质，得到EG=CE，再利用证明直角三角形全等的判定HL，即可得到Rt△AGE≅Rt△ADE，Rt△FGE≅Rt△FCE，可以得到AD=AG，GF=CF=1，再根据BC=BF+CF=5，即可得到AF=AG+GF=6。11．【答案】75【解析】【解答】解：∵，四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，又∵∠BAE=30°，∠CDF=45°，∴∠FAD=90°−∠BAE=60°，∠FDA=90°−∠CDF=45°，∴∠AFD=180°−∠FAD−∠FDA=75°.故答案为：75.【分析】根据矩形性质可得∠BAD=∠ADC=90°，求出∠FAD和∠D=FDA的度数，利用三角形内角和解答即可．12．【答案】2【解析】【解答】解：如图所示，过点O作BC的垂线，垂足为M，∵BF=3,CF=1,∴BC=3+1=4.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⟂BD,OB=OC,∴BM=CM=则OM=∴MF=CM−CF=2−1=1.在Rt△OMF中，OF=∵正方形ABCD是中心对称图形且点O为其对称中心，∴EF=2OF=2故答案为：2【分析】过点O作BC的垂线，垂足为M，根据正方形的性质得到BM和CM的长，即可求出MF的值，然后根据勾股定理求出OF长解答即可.13．【答案】5【解析】【解答】解：根据题意，得AC=A由点D为斜边AC的中点，∴BD=1故答案为：5.【分析】根据勾股定理求出AC长，再利用直角三角形斜边上中线的性质解答即可.14．【答案】10【解析】【解答】解：连接AC、BD，

∵矩形ABCD，

∴AC=BD，∠ABC=90°，

∴AC=AB2+BC2=32+42=5；

∵E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．

∴HG，EF，HE，FG分别是△ADC，△ABC，△ADB，△BDC的中位线，

∴HG=12AC，EF=12AC，HE=12BD，FG=15．【答案】24【解析】【解答】解：设AC，BD交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，AB=BC=CD=AD=5，

∵AC=8，

∴AO=12×8=4，

在Rt△AOD中，由勾股定理得

OD=AD2−AO2=52−42=3，

∴BD=2OD=6，

S菱形ABCD=12·AC·BD=12×8×6=24，

S△ABD=12S菱形ABCD=12×24=12，16．【答案】3【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，

所以OA=OB=OC=OD，

因为∠AOD=120°，

所以∠AOB=60°，

所以△AOB是等边三角形，

因为AE⊥BD于点E，

所以OE=BE=1，

所以OB=OD=2，

所以DE=1+2=3.

故答案为：3

【分析】首先根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，再根据∠AOD=120°，得出∠AOB=60°，进而得出△AOB是等边三角形，再根据三线合一的性质可得出OE=BE=1，进而即可得出OB=OD=2，进而得出DE=1+2=3.17．【答案】（1）证明：∵AE∥BC，即AE∥CD，∵CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠BAC=90°，点D是BC边的中点，∴AD=CD=∴四边形ADCE是菱形（2）解：如下图所示，连接DE与AC相交于点O，

∵四边形ADCE是菱形

∴DE⊥AC

∴∠DOC=90°，OD=OE，OA=OC

∵∠B=60°，∠BAC=90°

∴∠ACB=30°

∵AC=23

∴OC=12AC=12×23=3，

在Rt△ODC中，CD=2OD，

根据勾股定理得：OD2+OC2=CD2，

∴OD2+(3)【解析】【分析】(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证：四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证AD=CD，根据一组对边相等的平行四边形是菱形可证结论成立；

(2)利用菱形的性质和勾股定理可以求出DE=2，根据菱形的面积公式即可求出结果.18．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DOCE是平行四边形，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∴四边形DOCE是矩形（2）解：∵由（1）可知四边形DOCE是矩形，

∴OE=CD，

∵OE=2，

∴CD=2，

∵四边形ABCD为菱形ABCD中，

∴∠BOC=90°，∠OBC=12∠ABC，BC=CD=2，

∵∠ABC=120°，

∴∠OBC=60°，

∴△BCD为等边三角形，

∴BD=2，

∴OB=1，

∴OC=BC2−OB2=22−12=3，

∴AC=23，【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行可得四边形DOCE是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得DOC=90°，进而得证；

（2）由矩形的对角线相等可得CD=2，再根据菱形的性质可得△BCD为等边三角形，进而可得BD=2，OB=1，根据勾股定理可得OC的长度，进而可得AC的长度，最后根据菱形的面积等于对角线的一半即可得出答案.19．【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠ACD=45°，∵DE平分∠BDC，∴∠ODE=∠CDE，∵∠DEA=∠EDC+∠ACD=45°+∠EDC，∠ADE=∠ADB+∠ODE=45°+∠ODE，∴∠DEA=∠ADE，∴AD=AE；②过点E作EF⊥CD于点F，∵∠ACD=45°，∠EFC=90°，∴∠CEF=45°，∴EF=CF，∵CE=2，∴EF=2∵DE平分∠CDO，EF⊥CD，∠DOE=90°，∴OE=EF=2（2）解：AD=3CF，理由：取DF的中点M，连接OM，CM，∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OD，∠DCB=90°，∵M为DF的中点，∴OM为ΔDBF的中位线，∴OM=12BF在Rt△DCF中，DM=MF，∴CM=MF=DM=1又∵DF=2OF，∴CM=OF，∴OF=MF，∴∠FOM=∠FMO，∠MFC=∠MCF，∵OM∥CF，∴∠OMF=∠MFC，∴∠OFM=∠FMC，∴OF∥CM，又∵OF=CM，∴四边形OFCM为平行四边形，∴OM=CF，∵BC=BF+CF=2OM+CF=2CF+CF=3CF，∴AD=3CF．【解析】【分析】（1）①由正方形的性质证出∠ADB=∠ACD=45°，再根据角平分线的定义得出∠ODE=∠CDE，然后根据三角形的外角和角的和差得到∠DEA=∠ADE，再根据等角对等边得到结论即可；

②过点E作EF⊥CD于点F，根据勾股定理求出EF长，再根据角平分线的性质解答即可；（2）取DF的中点M，连接OM，CM，根据三角形中位线可得OM=12BF，OM∥BF，然后得到四边形OFCM20．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴D为BC的中点，又∵O是AC的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴DO∥AB，∵DE∥AB，AE∥BD，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE=BD=CD，∵AE=CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=∴AD=∴AD=CD，∴四边形ADCE是正方形【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得D为BC的中点，再根据三角形的中位线得出DO∥AB，从而判断四边形AEDB是平行四边形，进而即可求解；

(2)根据等腰三角形的性质可得BD=CD=12BC=21．【答案】（1）CE⊥BF，理由如下：

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CBE=∠A=90°，BC=AB，

在△ABF和△BCE中，

AB=BC∠A=∠CBEAF=BE，

∴△ABF≌△BCESAS，

∴∠FBA=∠ECB，

∵∠FBA+∠CBG=90°，

∴∠ECB+∠CBG=90°，

∴∠CGB=90°，

（2）解：CD=DG，理由如下：

如图，延长CD，BF交于点H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠CDA=90°，AB=CD，

∴∠HDF=180°−∠CDA=90°

由题意可得点F是AD的中点，

∴AF=DF，

在△ABF和△DHF中，

∠BAF=∠HDF=90°AF=DF∠AFB=∠DFH，

∴△ABF≌△DHFASA，

∴AB=DH，

∴DH=CD，

由①得BF⊥CE，

∴∠CGH=90°，

∴△HGC是直角三角形，

∴CD=DH=DG=1【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质以及SAS，证明△ABF≌△BCE，从而根据全等三角形的性质得到∠FBA=∠ECB，结合“直角三角形锐角互余”列式并推出∠ECB+∠CBG=90°，从而得到∠CGB=90°，此时即可证明BF⊥CE；（2）做辅助线，结合正方形的性质以及邻补角，计算并结合ASA证明△ABF≌△DHF，得到AB=DH，则DH=CD，则由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到CD=DH=DG．（1）解：CE⊥BF，理由如下：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE=∠A=90°，BC=AB，在△ABF和△BCE中，AB=BC∠A=∠CBE∴△ABF≌△BCESAS∴∠FBA=∠ECB，∵∠FBA+∠CBG=90°，∴∠ECB+∠CBG=90°，∴∠CGB=90°，∴BF⊥CE；（2）解：CD=DG，理由如下：如图，延长CD，BF交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠CDA=90°，AB=CD，∴∠HDF=180°−∠CDA=90°由题意可得点F是AD的中点，∴AF=DF，在△ABF和△DHF中，∠BAF=∠HDF=90°AF=DF∴△ABF≌△DHFASA∴AB=DH，∴DH=CD，由①得BF⊥CE，∴∠CGH=90°，∴△HG