山东省潍坊市诸城繁华中学2025-2026学年高一第二学期期末模拟（二）数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足，则复数（）A. B. C. D.2.已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A. B. C. D.6.在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（）A.1 B. C.2 D.7.如图，在四边形中，，，，，若，则等于（）A. B. C. D.8.海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部答对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.为的零点10.下列命题中，正确的选项是（）A.已知非零向量，，若，则B.对于任意的平面向量，，，若，且，则C.对于任意的平面向量,，若且，则D.设点M是所在平面内一点，若，且，则的面积是面积的11.已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（）A. B. C.与夹角为 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则_____(结果用数值表示)13.在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴正半轴上，点在角的终边上，则________．14.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角B的大小为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说、证明过程或演算步骤．15.已知复数.（1）求；（2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.16.已知，，，（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，，求的面积．17.中，角所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．19.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足，则复数（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：直接由变形成求出即可.解答过程：由，则复数.故选：B.2.已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：举例说明函数的单调性不满足要求，排除AC；结合函数定义域，排除B；求函数的周期，结合余弦函数的单调性判断D；解答过程：对于选项A：因为，，所以函数在上不单调递减，不符合题意，故A错误；对于选项B：函数的定义域为，，所以函数在上不单调，不符合题意，故B错误；对于选项C：因为，，所以函数在上不单调递减，不符合题意，故C错误；对于选项D：因为的最小正周期为，又因为，则，且在内单调递减所以函数在上单调递减，符合题意，故D正确.3.已知向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据两向量垂直时数量积为0求解λ的值.解答过程：根据题意可得，即，其中，

，

，所以，解得.4.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：已知，若，等式不成立；若，则，．5.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先将圆心角从角度制转化为弧度制，再代入弧长公式计算求解.解答过程：由题意可得，根据弧长公式可得：

.6.在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（）A.1 B. C.2 D.答案：B解析：思路：根据正弦定理可得，从而求得，即可求出角,利用即可解出，再结合基本不等式，即可求出的最小值，从而得解.解答过程：因为，由正弦定理得，又，可得，即，因为，所以，平分，且，得，整理得：，所以，解得所以，则，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为，故选：B.7.如图，在四边形中，，，，，若，则等于（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：取的中点，连接，利用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律得，结合，求得，进而有，应用二倍角余弦公式求函数值.解答过程：如图所示，取的中点，连接，∵，∴，∴，∵，，，∴①，又，则②，由①②解得，则，∴，∴．8.海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解.解答过程：如图，在中，，，，所以，由正弦定理得，解得，在中，，，，所以，故，所以在中，由余弦定理得，则，即A，B两点间的距离为．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部答对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.为的零点答案：AC解析：思路：根据图象求得，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可.解答过程：由图可知，，，又，所以，将点代入，得，得，解得，又，所以，故.故A正确，B错误；，所以，故C正确；由，故不是的零点，故D错误.故选：AC10.下列命题中，正确的选项是（）A.已知非零向量，，若，则B.对于任意的平面向量，，，若，且，则C.对于任意的平面向量,，若且，则D.设点M是所在平面内一点，若，且，则的面积是面积的答案：AD解析：解答过程：解：将两边平方，得，，即，A正确；向量，，满足，且，移项得：，则或，可能，不等，但；B错误；对于任意的平面向量，当时，对于任意向量，都有且成立，可以是任意方向的向量，不一定平行，C错误；因为，且，所以，令，则B，N，C三点共线，且N点落在线段BC上，M为线段AN的中点，所以的面积是面积的，D正确.11.已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（）A. B. C.与夹角为 D.答案：BCD解析：思路：根据向量数量积的运算律，结合向量垂直、夹角的相关计算公式逐项判断可得答案.解答过程：∵，∴，∴，即，∴，选项B正确.∵，∴不成立，选项A错误.∵，，∴与夹角为，选项C正确.∵，∴，选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则_____(结果用数值表示)答案：解析：思路：根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案.解答过程：由已知可得，向量在向量方向上的投影向量为，所以有.故答案为：.13.在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴正半轴上，点在角的终边上，则________．答案：##解析：思路：利用三角函数定义求出，然后利用二倍角公式可得.解答过程：由题可得，所以.14.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角B的大小为________．答案：或解析：思路：利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合两角和的正弦公式化简求出，再根据三角形内角范围确定角的取值。

解答过程：由正弦定理，对进行边角互化，可得

，因为，所以，所以

，得，即，即，所以或.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说、证明过程或演算步骤．15.已知复数.（1）求；（2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.答案：（1）（2）解析：思路：（1）计算出；（2）得到，利用向量夹角余弦公式求出答案.（1）由已知得，，又所以（2）依题意向量，于是有，，，因为为与的夹角，所以，因为，所以16.已知，，，（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，，求的面积．答案：（1）；（2）；（3）．解析：思路：（1）将等式展开得到，再利用向量夹角公式得到答案.（2）计算，展开得到答案.（3）计算得到，故，利用面积公式计算得到答案.解答过程：（1）∵，∴．又，，∴，∴．∴，又，∴．（2），∴.（3）与的夹角，则，故，∴，，，∴．方法提示：本题考查了向量的夹角，向量的模，三角形的面积，意在考查学生的计算能力和转化能力.17.中，角所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理并结合条件计算可得；（2）由余弦定理并结合基本不等式可得；（1）由正弦定理知，，，，，，，，（2）由（1）知，由余弦定理得，且，，当且仅当时，不等式的等号成立，再由，即当时不等式的等号成立.的面积，故面积的最大值为18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解；（2）由锐角三角形得，由正弦定理求得（用表示），然后由三角形面积公式表示出面积，利用两角差的正弦公式、同角关系式变形后，结合正切函数性质、不等式的性质得结论.（1）因为，所以由正弦定理得，整