山东省烟台市2025-2026学年高一第二学期期末自主练习数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.样本数据84，76，78，82，88的第60百分位数是（）A.80 B.82 C.83 D.842.若一圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则其侧面积为（）A. B. C. D.3.若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（）A.平面内不存在与a平行的直线 B.平面内所有直线与a相交C.平面内所有直线与a异面 D.直线a与平面至少存在一个公共点4.若样本数据0，3，4，a，7的平均数为4，则其方差为（）A. B. C. D.5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则6.已知一盒子中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，各小球除编号外完全相同，若从该盒子中随机抽取两个小球，则取出小球的编号为相邻整数的概率为（）A. B. C. D.7.已知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，现抛掷该骰子两次，观察并记录它每次落地时朝上的面的数字.记事件“两次数字之和为偶数”，事件“第次的数字为奇数”，则下列说法正确的是（）A.事件与事件互斥 B.事件与事件互为对立事件C. D.8.已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知四边形在平面内的平行投影为平行四边形，则四边形可能是（）A.平行四边形 B.梯形 C.矩形 D.空间四边形10.给定甲、乙两组数据，其中甲：，乙：，，，则（）A.乙的平均数大于甲的平均数 B.乙的方差大于甲的方差C.乙的极差是甲的极差的两倍 D.乙的中位数大于甲的中位数11.已知正方体的棱长为1，点P，M，N分别为线段，，上的动点（点异于点），则下列结论正确的有（）A.B.对任意的点，均存在点，使得平面C.直线与所成的角的余弦值的最大值为D.若点为底面内的动点，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校学生的劳动课程总成绩由纸笔测试、实践项目、学生互评三部分成绩构成，且这三部分成绩在总成绩中的占比分别为，，.若该学校全体学生上述三部分成绩的平均值依次为80，90，85，则该学校劳动课程总成绩的平均值为_________.13.直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积的值为_________.14.现有编号为1，3，5的三个大小质地完全相同的小球与编号为2，4，6的三个盒子.若从这三个小球中任取一个随机放入其中一个盒子，则该小球的编号大于其所在盒子编号的概率为_________.若将这三个小球全部随机放入三个盒子中，每个盒子均放入一个小球，则恰有两个小球的编号大于其所在盒子编号的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知事件A，B相互独立，其对立事件分别为，.（1）证明：与相互独立；（2）若，，求.16.为了解学生身体素质情况，某市从A，B两所学校随机抽取相同数量的学生进行体育达标测试，测试成绩满分100分，且规定：测试成绩小于60分为“不合格”，成绩在为“合格”，成绩不小于90分为“优秀”.现分别统计两所学校全部测试学生成绩（成绩均在），并整理得到如下图表，其中校成绩为“不合格”的人数为10人.A校测试成绩频数分布表分组频数

10a402010B校测试成绩频率分布直方图（1）求图表中a，b的值，并根据频率分布直方图估计B校所有测试学生成绩的中位数（精确到0.01）；（2）已知A校所有测试学生成绩的平均值为75、方差为120，求B校所有测试学生成绩的平均值和方差（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），并据此比较两所学校学生身体素质的平均水平与个体差异水平的高低；（3）采用比例分配的分层随机抽样方法，从A，B两所学校测试成绩为“优秀”的所有学生中，随机抽取6人.若从抽取的6人中任选2人，求这2人来自同一学校的概率.17.如图，三棱台中，底面，平面平面.（1）证明：；（2）若，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：平面.18.乒乓球运动是常见的大众运动项目之一.已知11分制乒乓球比赛中，每一局比赛的规则如下：参加比赛双方的起始比分为0∶0，任何一方每赢得一球该方增加1分，对方不增加分；若双方比分未出现10∶10，参赛双方每打完两球交换一次发球权，直至某一方先得11分且至少领先对方2分时，该方获胜，该局比赛结束；若双方比分出现10∶10，立即交换发球权，且接下来每打完一球交换一次发球权，直至某一方领先对方2分，该方获胜，该局比赛结束.现甲、乙双方进行乒乓球比赛，设甲发球并赢得该球的概率为，乙发球并赢得该球的概率为，且双方打每个球的结果相互独立.（1）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为10∶10，接下来由甲发球，双方又打了个球后该局比赛结束.（i）求事件“”的概率；（ii）求事件“且甲获胜”的概率；（2）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为8∶8，接下来由甲发球，求“该局比赛结束时甲得11分”的概率.19.如图，四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，，且二面角的大小为.（1）证明：平面平面；（2）求侧面与侧面所成二面角的余弦值；（3）设点为底面内一点，且，求直线与所成的角的余弦值的取值范围.

数学满分150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.样本数据84，76，78，82，88的第60百分位数是（）A.80 B.82 C.83 D.84答案：C解析：解答过程：将这组数据从小到大排列为76，78，82，84，88，共5个；，则这组数据的第60百分位数为.2.若一圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则其侧面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以圆锥底面半径，母线，因此圆锥的侧面积．3.若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（）A.平面内不存在与a平行的直线 B.平面内所有直线与a相交C.平面内所有直线与a异面 D.直线a与平面至少存在一个公共点答案：D解析：思路：由于直线a不平行于平面，所以直线a与平面相交或直线a在平面内，进而可以判断结果.解答过程：由于直线a不平行于平面，所以直线a与平面相交或直线a在平面内，直线a在平面内时，平面内存在与a平行的直线，故A错误；直线a与平面相交时，平面内存在直线与a异面，故B错误；直线a在平面内时，平面内存在与a平行的相交，故C错误；直线a与平面相交或直线a在平面内，直线a与平面至少存在一个公共点,故D正确.故选：D.4.若样本数据0，3，4，a，7的平均数为4，则其方差为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题知，解得，所以方差.5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则答案：C解析：解答过程：对于A，若，，则或，故A错误；对于B，当，若取，且，则满足，，，故B错误；对于C，若，，则由线面平行的性质知，存在直线，使得，又，所以，进而，故C正确；对于D，若，，，则可能平行，相交或异面，故D错误.6.已知一盒子中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，各小球除编号外完全相同，若从该盒子中随机抽取两个小球，则取出小球的编号为相邻整数的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：本题考查古典概型概率计算，只要得到事件总数和要求的事件数即可.解答过程：从编号为1,2,3,4,5,6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，共有种不同的取法，取出小球的编号为相邻整数的有：，共有种，所以概率为.7.已知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，现抛掷该骰子两次，观察并记录它每次落地时朝上的面的数字.记事件“两次数字之和为偶数”，事件“第次的数字为奇数”，则下列说法正确的是（）A.事件与事件互斥 B.事件与事件互为对立事件C. D.答案：D解析：思路：结合互斥事件、对立事件的定义，以及概率加法公式、独立事件概率乘法公式，古典概型概率计算规则逐一判断选项正误即可.解答过程：∵抛掷两次骰子，每次出现奇数、偶数的概率均为，且两次抛掷结果相互独立.事件为两次数字之和为偶数，等价于两次均为奇数或两次均为偶数，∴.事件为第次数字为奇数，故.对于选项A，当第一次数字为奇数、第二次数字也为奇数时，事件与同时发生，∴事件与不互斥，A错误.对于选项B，对立事件要求两事件不能同时发生，且并集为样本空间、概率和为1，当两次数字均为奇数时，与同时发生，∴与不是对立事件，B错误.对于选项C，由概率加法公式：，其中表示第一次为奇数且两次和为偶数，即第二次也为奇数，故，∴.同理，∴，C错误.对于选项D，，表示两次均为奇数，概率为，∴，D正确.8.已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：本题以三棱柱为背景，利用空间向量法求线面角.关键在于由底面直角三角形确定外心位置，再根据侧棱长相等求出棱柱的高，进而得到点和的坐标.最后，直线的方向向量与平面的法向量（即竖轴方向）的夹角余弦的绝对值即为所求线面角的正弦值.解答过程：以为原点，方向为轴，方向为轴，垂直于底面的方向为轴建立空间直角坐标系.则，，，斜边的中点为的外心.由在底面的射影为，设，则.侧棱长，故解得，取.于是.平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则,故选A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知四边形在平面内的平行投影为平行四边形，则四边形可能是（）A.平行四边形 B.梯形 C.矩形 D.空间四边形答案：ACD解析：思路：结合平面四边形、空间四边形的结构特征逐一判断选项即可.解答过程：∵平行投影的性质：平行直线的平行投影仍互相平行，共面的两条直线若投影平行，则原直线必互相平行.对于选项A：当四边形为平行四边形，且其所在平面与平面不垂直、不与投影方向平行时，两组对边的投影仍保持平行，投影为平行四边形，故A正确.对于选项B：梯形属于平面四边形，仅有一组对边平行，若其投影为平行四边形，则两组对边的投影均平行，可推出原平面四边形两组对边均平行，与梯形定义矛盾，故B错误.对于选项C：矩形是特殊的平行四边形，同理，当矩形所在平面与平面不垂直、不与投影方向平行时，其在内的平行投影为平行四边形，故C正确.对于选项D：构造空间四边形：在平面内作平行四边形，分别过作投影方向的直线，在四条直线上分别取异于投影点的四点，调整四点高度使得不共面，此时得到的空间四边形的平行投影即为，故D正确.10.给定甲、乙两组数据，其中甲：，乙：，，，则（）A.乙的平均数大于甲的平均数 B.乙的方差大于甲的方差C.乙的极差是甲的极差的两倍 D.乙的中位数大于甲的中位数答案：BC解析：解答过程：设甲组数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为，乙组数据满足，选项A：乙的平均数y‾=1ni=1n(2xi+1)=2例如甲：，x=−2.5，乙：，y=−4<−2.5，A错误；选项B：乙的方差

sy由​得，因此​，B正确；选项C：乙的最大值，最小值，乙的极差即乙的极差是甲的2倍，C正确；选项D：举反例：甲组为

，中位数

，计算得乙的中位数

，D错误.11.已知正方体的棱长为1，点P，M，N分别为线段，，上的动点（点异于点），则下列结论正确的有（）A.B.对任意的点，均存在点，使得平面C.直线与所成的角的余弦值的最大值为D.若点为底面内的动点，则的最小值为答案：ABD解析：思路：连接，由题意可得平面，进而可判断A；延长交的延长线于，连接，在平面内存在，可判断B；当点在点，点在点处时，计算可判断C；过作于，要求的最小值，即求的最小值，将沿转动到使与在同一平面内，可求最小值判断D.解答过程：对于A，连接，由正方体，可得平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，故A正确；对于B，延长交的延长线于，连接，当时，可得平面，故B正确；对于C，当点在点，点在点处时，为直线与所成的角，在中，，故C错误；对于D，过作于，因为点为底面内的动点，所以的最小值即为，要求的最小值，即求的最小值，将沿转动到使与在同一平面内，如图所示：则的最小值即为到直线的距离（即三点共线时），过作于，可得为矩形，所以，由题意可得在中，，所以，所以，所以的最小值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校学生的劳动课程总成绩由纸笔测试、实践项目、学生互评三部分成绩构成，且这三部分成绩在总成绩中的占比分别为，，.若该学校全体学生上述三部分成绩的平均值依次为80，90，85，则该学校劳动课程总成绩的平均值为_________.答案：86解析：解答过程：由题意得总成绩平均值为.13.直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积的值为_________.答案：解析：思路：底面是直角三角形，可将该直三棱柱补成长方体，长方体的外接球就是三棱柱的外接球.解答过程：直三棱柱，，，2AA1=2⟹AA1底面是直角三角形，可将该直三棱柱补成长方体，长方体长宽高分别为，长方体的外接球就是三棱柱的外接球，设外接球半径为，则长方体体对角线长，，得，所以外接球的表面积.14.现有编号为1，3，5的三个大小质地完全相同的小球与编号为2，4，6的三个盒子.若从这三个小球中任取一个随机放入其中一个盒子，则该小球的编号大于其所在盒子编号的概率为_________.若将这三个小球全部随机放入三个盒子中，每个盒子均放入一个小球，则恰有两个小球的编号大于其所在盒子编号的概率为_________.答案：①.②.解析：思路：①枚举每个小球，统计其编号大于可选盒子编号的情况数，除以总情况数；②考虑要恰有两个满足条件，则编号为4的盒子必须放5号球，编号为2的盒子必须放3号球，从而确定唯一的放法.解答过程：①由题意知共3个小球、3个盒子，总情况数为

.符合小球的编号大于其所在盒子编号的情况有：小球编号1：没有比1小的盒子编号，0种；小球编号3：仅盒子编号2满足，1种；小球编号5：盒子编号2、4满足，2种；共种符合条件的情况.因此该小球的编号大于其所在盒子编号的概率.②三个球全排列放入三个盒子，总情况数为

.由于盒子编号最大为6，所有小球最大编号为5，因此放入编号6盒子的球一定不满足“编号大于盒子编号”.要恰有两个球满足条件，只能是前两个盒子（编号2、4）的球都满足条件.编号4的盒子要满足球编号大于4，只能放编号5的小球；编号2的盒子要满足球编号大于2，只能放剩下的编号3的小球；编号6的盒子放剩下的编号1的小球，仅这1种符合条件的情况.因此恰有两个小球的编号大于其所在盒子编号的概率.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知事件A，B相互独立，其对立事件分别为，.（1）证明：与相互独立；（2）若，，求.答案：（1）证明：因为事件，相互独立，所以.（法一）因为，所以又所以所以与相互独立.（法二）对于与，因为，而且与互斥，所以.所以所以与相互独立.同理，.所以，所以与相互独立.（2）解析：思路：（1）因为事件A、B相互独立，所以满足，结合对立事件概率公式，推导P(A‾B‾)与（2）结合对立事件概率公式，或者利用概率的加法公式直接展开P(A‾∪（1）略（2）因为，，所以，，所以.所以.16.为了解学生身体素质情况，某市从A，B两所学校随机抽取相同数量的学生进行体育达标测试，测试成绩满分100分，且规定：测试成绩小于60分为“不合格”，成绩在为“合格”，成绩不小于90分为“优秀”.现分别统计两所学校全部测试学生成绩（成绩均在），并整理得到如下图表，其中校成绩为“不合格”的人数为10人.A校测试成绩频数分布表分组频数

10a402010B校测试成绩频率分布直方图（1）求图表中a，b的值，并根据频率分布直方图估计B校所有测试学生成绩的中位数（精确到0.01）；（2）已知A校所有测试学生成绩的平均值为75、方差为120，求B校所有测试学生成绩的平均值和方差（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），并据此比较两所学校学生身体素质的平均水平与个体差异水平的高低；（3）采用比例分配的分层随机抽样方法，从A，B两所学校测试成绩为“优秀”的所有学生中，随机抽取6人.若从抽取的6人中任选2人，求这2人来自同一学校的概率.答案：（1），，（2）75，110，两校学生身体素质的平均水平相同，但校的个体差异水平更低（3）解析：思路：（1）根据频率之和为1求，求出各校样本容量后可得；（2）根据直方图求出平均数和方差，然后可得结论；（3）列举出所有样本点，由古典概型概率公式可得.（1）因为，所以.因为校测试成绩“不合格”的人数为10，所以每校的样本容量为，因为，两校抽取相同数量的学生，所以由频数分布表得.因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以校测试成绩的中位数位于区间内，设校测试成绩的中位数为，则有，解得.（2）设，两校所有测试学生的平均值分别为，，方差分别为，.由频率分布直方图得，，又，，所以，，据此可以推测两校学生身体素质的平均水平相同，但校的个体差异水平更低.（3）由题意可知，校测试成绩优秀的学生有10人，校成绩优秀的学生有人，采用分层抽样选出6人，则校有人，记为，，，，校有人，记为，.现从这6人中选出2人，所有不同的结果共有15种：，，，，，，，，，，，，，，.2人来自同一学校的不同的结果共有7种：，，，，，，，所以，所求概率.17.如图，三棱台中，底面，平面平面.（1）证明：；（2）若，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：平面.答案：（1）在平面内作，垂足为又面平面，平面平面，且所以平面.又因为平面，所以.因为平面，平面，所以.因为，，，平面，所以平面，平面，所以.（2）连接，交于点，在侧面中，因为，所以.因为点为线段的中点，点为线段的中点，所以，所以，公用，所以，所以，又平面，平面，所以平面.解析：思路：（1）根据面面垂直的性质得平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而由线面垂直的定义可得；（2）根据线段成比例可得，再由线面平行的判定定理可得.（1）略（2）略18.乒乓球运动是常见的大众运动项目之一.已知11分制乒乓球比赛中，每一局比赛的规则如下：参加比赛双方的起始比分为0∶0，任何一方每赢得一球该方增加1分，对方不增加分；若双方比分未出现10∶10，参赛双方每打完两球交换一次发球权，直至某一方先得11分且至少领先对方2分时，该方获胜，该局比赛结束；若双方比分出现10∶10，立即交换发球权，且接下来每打完一球交换一次发球权，直至某一方领先对方2分，该方获胜，该局比赛结束.现甲、乙双方进行乒乓球比赛，设甲发球并赢得该球的概率为，乙发球并赢得该球的概率为，且双方打每个球的结果相互独立.（1）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为10∶10，接下来由甲发球，双方又打了个球后该局比赛结束.（i）求事件“”的概率；（ii）求事件“且甲获胜”的概率；（2）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为8∶8，接下来由甲发球，求“该局比赛结束时甲得11分”的概率.答案：（1）（i）；（ii）（2）解析：思路：（1）一小问讨论甲乙分别获胜的概率再相加；二小问分类讨论前两球甲先得分还是乙先得分的概率再相加；（2）讨论乙的最终得分，计算需要再打几场并讨论每场的得分情况，分别求概率再相加（1）（ⅰ）比分平后，两人又打了2个球后比赛结束，则这两个球均由甲得分，或均由乙得分，且两者互斥，所以.（ⅱ）若，则最终比分为，且这4个球中前两个球甲、乙各胜1球，第3，4个球均由甲胜.设双方平后的第个球甲获胜为事件，则事件“且甲获胜”，且与互斥