山西省长治市上党区第一中学校2025-2026学年高二第二学期7月期末考试数学试题 含答案解析

数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集为，集合，，则（）A. B.C.或 D.或2.已知，则（）A. B. C. D.3.“”是“对任意的正数，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.5.现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则A. B. C. D.6.某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如下表：x24568y3545505565若y与x的线性回归方程为，预测当工作时间为9小时时，工资大约为（）A.74.2元 B.75元 C.75.2元 D.76元7.已知函数，若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知定义在R上的函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量，，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若在上的投影向量为，则向量与的夹角为C.存在，使得D.的最大值为10.已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（）A.平面B.面C.四棱锥外接球的表面积为D.四棱锥的体积为611.已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当时，都有，则下列结论正确的有（）A.函数为偶函数B.C.函数在上有1014个零点D.函数在上为减函数三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．13.若，，且，，则______；14.已知的最小值为______．四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且,若,.(1)求;(2)求的面积S.16.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．17.长治市质监部门根据质量管理考核指标对该地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图．（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数（精确到0.01）（2）我市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为，求的分布列与数学期望．18.已知函数．（1）讨论的极值点的个数；（2）当时，若有两个零点，（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：19.已知函数，.（1）求函数图象的对称轴的方程；（2）当时，求函数的值域；（3）设，存在集合，当且仅当实数，且在时，不等式恒成立．若在（2）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围.

数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集为，集合，，则（）A. B.C.或 D.或答案：D解析：思路：集合运算遵循“先化简、再补集、后交并”，指数不等式看底数单调性，二次不等式优先因式分解.解答过程：由题，，则，所以.2.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题，，，则.3.“”是“对任意的正数，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：分析：当对任意的正数恒成立时，可得，由，所以当时，，此时.所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件.故选A4.曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据已知条件，求出切线斜率，再根据同角三角函数的基本关系可求出，，从而根据二倍角公式和诱导公式求得结果.解答过程：根据已知条件，，因为曲线在处的切线的倾斜角为，所以，.因为，，则解得，，故.故本题正确答案为D.方法提示：本题主要考查导数的概念及其几何意义，考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，熟记公式和概念是关键，属基础题.5.现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则A. B. C. D.答案：C解析：思路：由求出的范围，再由方差公式求出值．解答过程：∵，∴，化简得，即，又，解得或，∴，故选C．方法提示：本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．6.某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如下表：x24568y3545505565若y与x的线性回归方程为，预测当工作时间为9小时时，工资大约为（）A.74.2元 B.75元 C.75.2元 D.76元答案：C解析：思路：根据表格先计算出均值，代入回归方程求，最后计算工资即可.解答过程：由题，，所以，则当时，7.已知函数，若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，设直线与切于点，求出切线方程为：，结合图象求解即可.解答过程：因为函数所以关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，设直线与切于点，由，由已知有：解得，则则切线方程为：，由图知：函数的图象与直线无交点时实数的取值范围为.方法提示：本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查分段函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.已知定义在R上的函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：通过构造辅助函数，先判定奇偶性与单调性，再将不等式等价变形为偶函数距离比较式，利用偶函数“函数值大则自变量绝对值更小”快速解不等式.解答过程：令，则，因为，所以，故为定义在R上的偶函数.当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，有，则，解得.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量，，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若在上的投影向量为，则向量与的夹角为C.存在，使得D.的最大值为答案：BCD解析：思路：对A，根据向量垂直建立关系即可求出；对B，根据投影向量的定义即可求出；对C，根据已知两边平方可判断；对D，根据三角函数的性质可求.解答过程：对A，若，则，则，故A错误；对B，若在上的投影向量为，，且，，则，，故B正确；对C，若，，若，则，即，故，，故C正确；对D，，因为，，则当时，的最大值为，故D正确.故选：BCD.10.已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（）A.平面B.面C.四棱锥外接球的表面积为D.四棱锥的体积为6答案：BC解析：思路：作图，在四棱锥中，根据题意逐一证明或排除.解答过程：作图在四棱锥中：由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，，则平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接交于，连接，中，∥，面，面，所以面，所以选项B正确；四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，，则平面，，四棱锥的体积所以选项D错误.矩形中，易得，中求得：在中即：，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，所以其表面积为，所以选项C正确故选：BC方法提示：此题考查立体图形中的平行垂直关系，求锥体体积和外接球体积，综合性强，对空间位置关系辨析能力要求较高.11.已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当时，都有，则下列结论正确的有（）A.函数为偶函数B.C.函数在上有1014个零点D.函数在上为减函数答案：ACD解析：思路：根据题意可判断关于对称且关于对称，可知在单调递增，可得出函数是周期为4的函数，即可依次判断每个选项正误.解答过程：函数关于点对称，关于对称，，，关于对称，当，时，都有，在单调递增，综上，可画草图，选项A，可看作向左平移5个单位得到，平移后关于轴对称，是偶函数，A正确；选项B，可知，是以4为周期的函数，则，，B错误；选项C，在的零点个数有个，C正确；选项D，在的图象和在的图象一致，应为减函数，正确.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．答案：解析：解答过程：试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．考点：二项式定理．13.若，，且，，则______；答案：解析：思路：由，可进一步确定，，再利用三角和差公式可求.解答过程：，，又，，，，，，，，，，，故答案为：.14.已知的最小值为______．答案：解析：思路：采用目标换元+一元二次方程判别式法求最值，将所求式整体设元，转化为方程有正根的存在性问题，避免复杂均值配凑，最后务必验证等号可取性.解答过程：由题，因为，所以，令，则,故，即，所以，当且仅当，即时，取得最小值，因为，所以的最小值为，此时，因此的最小值为四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且,若,.(1)求;(2)求的面积S.答案：(1);(2)或.解析：思路：(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得，再结合平方关系即可求出；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，，即可求出边，再根据三角形面积公式即可求出．解答过程：(1)由题意得由余弦定理得:由正弦定理得所以，∴中，．(2)由余弦定理得解得或∵，∴由得或．方法提示：本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．16.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．答案：（1）（）；（2）当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；当时，促销费用投入万元,厂家的利润最大，为万元.解析：思路：（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系；（2）利用导数可求出该函数的最值．解答过程：（1）由题意知，，将代入化简得：（）；（2），（ⅰ）当时，①当时，，所以函数在上单调递增，②当时，，所以函数在上单调递减，从而促销费用投入万元时，厂家的利润最大；（ⅱ）当时，因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，故当时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大，为万元.方法提示：本题考查函数模型的选择与应用以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于综合题.17.长治市质监部门根据质量管理考核指标对该地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图．（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数（精确到0.01）（2）我市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为，求的分布列与数学期望．答案：（1）平均数为：（分），分（2）的分布列为01234解析：思路：（1）平均数用组中值乘各组频率累加求解；先累计前置区间频率锁定中位数所在组，利用中位数左侧累积概率列方程插值计算;（2）先统计总体、两类个体数量，判定服从超几何分布，枚举所有取值并组合公式算概率列分布列；可直接用超几何期望公式快速得结果.（1）由题意，这家食品生产企业考核成绩的平均数为：（分）由频率分布图可知样本中考核成绩在区间内的频率为，样本中考核成绩在区间内的频率为，所以中位数内，所以，解得分．（2）根据题意，这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有：（家），其中考核成绩在内的企业有（家），所以可能取值有．则，，，，，所以的分布列为01234所以．18.已知函数．（1）讨论的极值点的个数；（2）当时，若有两个零点，（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：答案：（1）当时，有一个极值点；当或时，有两个极值点；当时，无极值点（2）（i）；（ii）不妨设，由（ⅰ）知，当时，不等式恒成立．当时，要证，即证，此时．又在上单调递减，只需证，又，故只需证在上恒成立．设，则．，所以在上单调递减．又，所以在上恒成立，即，所以．解析：思路：（1）先因式分解导函数，以分子零点的大小关系为界，分四类讨论单调性，零点个数即极值点个数；（2）（i）时函数仅极小值点，两端极限均趋向正无穷，有两个零点等价于极小值，解不等式直接锁定参数范围；（ii）对称构造偏移函数，利用与在递减的性质，将和式不等式转化为函数单调性证明.（1）由题意知的定义域为，．①当时，令，解得；，解得，的单调递减区间为，单调递增区间为，有一个极小值点2，无极大值点．②当时，令，解得；令，解得或，的单调递减区间为，单调递增区间为，在处取得极大值，在处取得极小值