山西现代双语学校南校等校2025-2026学年高二第二学期7月期末数学试题 含答案解析

山西现代双语学校学校联考2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，与之间的关系是（

）A． B． C． D．2．下列命题中为真命题的是（

）A． B．C． D．3．下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是（

）A． B． C． D．4．观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为则判断一定正确的是（）A． B． C． D．5．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．1 C． D．6．不等式的解集是（

）．A． B．或C．或 D．7．有三个储水点，分别储存着、、水.小明每次使用一个容积为的水桶从这三个储水点取水并带回家倒入水缸中储存，且每次取水必须将水桶装满.若要将这水全部取完，小明前往这三个储水点的不同顺序的种数为（

）A． B． C． D．8．已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（

）A． B．C．8 D．9二、多选题9．下列叙述正确的是（

）A．不等式的解集是B．函数与是同一函数C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为D．若函数，则10．下列命题，其中正确的命题是（

）A．函数的最大值为B．函数的减区间是C．若，则为1D．已知在上是增函数，若，则11．已知函数的定义域为，且，，，则下列四个结论正确的是（

）A．8是的周期 B．图象关于直线对称C． D．三、填空题12．的展开式的第3项为______．13．若，且，则的最小值为_________.14．已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________.四、解答题15．等比数列中，，且2，，成等差数列，（1）求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．16．某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：出行方式地铁公交车出租车自驾骑行步行频数542738421821用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：(1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和；(2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.17．在三棱锥中，和均为等边三角形，，点为线段的中点.(1)证明：平面平面；(2)若直线与所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值.18．已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若有3个不同的零点．（i）求实数a的取值范围；（ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差19．设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，．(1)求双曲线的标准方程；(2)求的最小值；(3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：．参考答案1．C【详解】,A是所有3的整数倍构成的集合，B是所有6的整数倍构成的集合B中元素都属于集合A，，故选：C2．D【详解】对于A，若，则，，即，A错误；对于B，当，时，，此时无法得到，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，方法一：当时，，，D正确；方法二：当时，；当时，；当时，；综上所述：当时，，D正确.故选：D.3．D【详解】因为，所以幂函数在上是增函数，所以A错误；令，则其定义域为，且，所以函数是奇函数，所以B错误；因为，所以函数在上单调递增，所以C错误；函数的定义域为，对，，所以函数是偶函数.因为函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递减，所以D正确.4．A【详解】①分析图1的相关系数观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内；随着的增大，总体呈减小趋势，根据相关系数的定义，两个变量呈负相关，故；②分析图2的相关系数观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内；随着的增大，总体呈增大趋势；根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故；此外，观察图2中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近，说明图2的线性相关性更强，即选项，已知且，且，故成立；选项，因为且，所以，故选项B错误；选项，因为且，则，选项C错误；选项，因为且，则，显然不可能大于1，故选项D错误.5．A【详解】由是定义在上的奇函数，得，故，当时，，所以，6．B【详解】由题可知：或，不等式的解集为或.故选：B7．D【详解】将分别储存着、、水的三个储水点依次记为甲、乙、丙，因为，，，问题相当于把个甲、个乙、个丙进行排序，排序的方法有种.故选：D.8．C【详解】当时，不等式恒成立，得当时，恒成立，且当时，恒成立，即当时，恒成立，且当时，恒成立，因此且，则，即，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8.故选：C9．CD【详解】对于A：由，则，可得或，故命题错；对于B：由的定义域为，而的定义域为，显然不是同一函数，错；对于C：由的定义域为，则，即函数的定义域为，对；对于D：设，则，故且，所以，对.故选：CD10．ACD【详解】A：由，所以，故A正确；B：函数的定义域为，解得，因此函数的单调递减区间为,故B错误；C：若，则，，则，故C正确；D：假设，则，则,由于在上是增函数，则，，所以，这与矛盾，则假设不成立，所以，故D正确.故选：ACD.11．ACD【详解】令，可得，所以，所以是偶函数，又因为，所以，所以，又由，可得，所以图象关于点对称，故B错误；又由和偶函数性质，可得，所以，所以，即是函数的周期，故8也是的周期，故A正确；则，故C正确；又，，则，故D正确.故选：ACD.12．【详解】的展开式的第3项．13．81【详解】，，，，当且仅当即时等号成立，又，，，则的最小值为.故答案为：.14．【详解】①设二次函数，则又为偶函数，所以，因为是奇函数，所以，即化简得，即，又，所以，所以又，所以，解得所以，，②令，，则可化为：，，两边除以得令，则，设，对称轴为，，故最大值为若，恒成立，则，故的取值范围是15．（1）；（2）【解析】（1）设数列的公比为，由题意可得，且，即可得到关于q的二次方程，即可求出q的值，代入公式，即可求得的通项公式；（2）根据题意，利用等差数列前n项和公式，即可求出，进而可求得的表达式，利用裂项相消求和法，即可求得.【详解】（1）设数列的公比为，因为2，，成等差数列，所以，即，又，所以，解得或（舍），所以.（2）因为，所以，则，所以.16．(1)，(2).【详解】（1）记“低碳出行”为事件，估计.则，，；（2）由（1）知，则有，记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件，由题意，，所以.17．(1)连接、，如图所示：因为和均为等边三角形，所以，因为为的中点，所以，，

因为，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.

(2)【详解】（1）略（2）取的中点，连接、，如图所示，因为，为的中点，则，，所以二面角的平面角为，设，因为，、平面，所以平面，

以点为原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，

由题意可得，

解得（舍去）或，故二面角的余弦值为.18．(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）解：当时，，当时，，所以．又，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）解：（ⅰ）当时，由得单调递增，且．当时，，若，因为，所以，即在上单调递增，且，从而在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意，若，令，可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又当时，当时，所以要使有3个零点，则，即，解得．所以实数的取值范围为（ⅱ）由题可知，，，所以，则①，②．设公差为，即，由①可得，，由②可得，，则，化简得，解得（负值舍去），即公差．19．(1)(2)9(3)如图，设与边切于点，由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，，即点与点重合，即与边切于点.设与边切于点，则，在中，.设点，点，则，解得，即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点，其中，，设点关于直线的对称点为点，所以.因为点与点，点与点分别关于直线对称，所以，