陕西省安康市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量评估数学试题 含答案解析

数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2026年五一假期轻量化露营成为青年出游新热点，某户外装备租赁门店统计了连续12名青年顾客单次租赁的装备件数，数据如下：3，2，4，3，5，3，2，3，4，3，5，2，则这组数据的众数为（）A.2 B.3 C.4 D.52.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.3.如图用斜二测画法画一个边长为6的正方形的直观图，则该直观图的周长为（）A.9 B.18 C.27 D.364.已知，，，则（）A. B. C.2 D.45.已知，，，是表面积为的球的球面上的四个点，且，，，，，则三棱锥的体积为（）A.4 B.8 C.12 D.246.已知向量，，若，则所在的区间为（）A. B. C. D.7.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（）A. B.C. D.8.已知向量、满足，，，则（）A. B.与夹角的余弦值为C.在上的投影向量的坐标为 D.的最小值为2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，且，则D.若，，则至少与，中一个平行10.已知复数，其中，是虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若为纯虚数，则或1D.若在复平面内对应的点位于第四象限，则11.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4，5的5张卡牌，现从中依次不放回地摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，事件“摸出的两张卡牌中，第二次摸出的卡牌编号为偶数”，则（）A. B.事件与事件相互独立C. D.事件与事件为互斥事件三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数的虚部为__________.13.已知函数为偶函数，且当时，.则__________.14.在中，点满足，点满足，若，则__________；若，，，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且.（1）求与的解析式；（2）若函数，解不等式.16.记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，求面积的最大值.17.函数（其中，，）的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，若为角终边上一点，求.18.在直三棱柱中，，.（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；（2）若二面角的正切值为.（i）求；（ii）若为棱上（不包括端点）的动点，求三棱锥体积的取值范围.19.某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学生进行时长调查（单位：分钟），随机抽取了100名学生并将其时长分成五组：第一组[20，30），第二组[30，40），第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求第一组的频率，并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生，再从这6名学生中随机选出2名学生，求这2名学生来自不同组的概率；（3）若第四组的时长的平均数为54，方差为4，第五组的时长的平均数为66，方差为7，求这两组时长的总平均数和总方差.参考公式：，其中为总样本平均数.

数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2026年五一假期轻量化露营成为青年出游新热点，某户外装备租赁门店统计了连续12名青年顾客单次租赁的装备件数，数据如下：3，2，4，3，5，3，2，3，4，3，5，2，则这组数据的众数为（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：B解析：思路：结合题干中数据和众数的定义求解即可.解答过程：由题可知：2出现3次，3出现5次，4出现2次，5出现2次，其中3出现的次数最多，因此这组数据的众数为3.2.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据集合的交集及补集运算求解即可.解答过程：根据补集的定义，

，所以

.3.如图用斜二测画法画一个边长为6的正方形的直观图，则该直观图的周长为（）A.9 B.18 C.27 D.36答案：B解析：思路：根据斜二测画法的规则，可得到直观图中相邻边的长度，再用周长公式计算即可.解答过程：因为边长为6的正方形的直观图是平行四边形：平行于轴的邻边长仍为，平行于轴的邻边长变为.所以直观图的周长为：.4.已知，，，则（）A. B. C.2 D.4答案：C解析：思路：根据复数的乘法和除法运算，结合复数相等求解即可.解答过程：因为，

所以，

解得，所以.5.已知，，，是表面积为的球的球面上的四个点，且，，，，，则三棱锥的体积为（）A.4 B.8 C.12 D.24答案：A解析：思路：把三棱锥补成长方体，利用长方体的外接球就是三棱锥的外接球，可求，再利用三棱锥的体积公式求值.解答过程：如图，因为，，，所以可以把三棱锥补成长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球.因为长方体外接球的直径为体对角线，设为.由，所以.设，则.所以.6.已知向量，，若，则所在的区间为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据条件得到，构造函数，再利用的单调性及零点的存在性原理，即可求解.解答过程：因为向量，，且，则，即，令，易知在区间上单调递增，又，，由零点的存在性原理可知的零点所在区间为，则所在的区间为.7.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求出参数的值，再代入分式不等式，移项通分转化为整式不等式求解，注意排除分母为0的情况。解答过程：由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根，根据韦达定理：，解得，，代入得，解得，将、代入，得，移项通分：

，该不等式等价于，即，解二次不等式，得或，结合，最终解集为.8.已知向量、满足，，，则（）A. B.与夹角的余弦值为C.在上的投影向量的坐标为 D.的最小值为2答案：C解析：思路：先求出，再由，求出，再依次判断各选项即可.解答过程：由，得.因为，所以，即，所以，解得.故A错误；与夹角的余弦值为，故B错误；在上的投影向量为，故C正确；，所以当时，取得最小值，最小值为，故D错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，且，则D.若，，则至少与，中一个平行答案：ACD解析：解答过程：选项A：若，则内存在直线满足，又，故垂直内所有直线，即，因此，A正确；选项B：若，，则可能平行于，也可能在平面内，并非一定有，B错误；选项C：若且，可得，又，根据“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”，可知，C正确；选项D：为不同直线，若，结合、，可得；同理若则；若不在内，则由，同时在内，可得且，综上至少与中一个平行，D正确.10.已知复数，其中，是虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若为纯虚数，则或1D.若在复平面内对应的点位于第四象限，则答案：AB解析：思路：选项A，当时，分别求出和，代入检验即可判断选项A；选项B，根据模长公式直接求解即可判断选项B；选项C，由纯虚数的定义可知，实部为0，虚部不为0，求出的值即可判断选项C；选项D，由在复平面内对应的点位于第四象限，则满足实部大于0，虚部小于0，解不等式求出的范围即可判断选项D.解答过程：选项A，当时，则，所以，因此，选项A正确；选项B，当时，则，所以，选项B正确；选项C，若为纯虚数，则，解得，所以选项C错误；选项D，若在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得或，因此选项D错误.11.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4，5的5张卡牌，现从中依次不放回地摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，事件“摸出的两张卡牌中，第二次摸出的卡牌编号为偶数”，则（）A. B.事件与事件相互独立C. D.事件与事件为互斥事件答案：AC解析：思路：选项A，根据古典概率公式直接求解即可判断选项A；选项B，分别求出，，，检验是否等于即可判断选项B；选项C，根据概率加法公式直接求解即可判断选项C；选项D，根据互斥事件的概念，即事件与事件是否有共同情况发生，即可判断选项D.解答过程：由题可知，从5张卡牌中依次不放回地摸出两张卡牌，共有种情况，选项A，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”的情况有：，共4种情况，所以，选项A正确；选项B，事件“第一次摸出的卡牌编号为奇数”，奇数有3个，所以第一次摸出的卡牌编号为奇数共有种情况，则，第一次摸出的卡牌编号为奇数且两张卡牌编号之和为6的情况有：，共2种情况，则，因为，因此事件与事件不相互独立，选项B错误；选项C，由加法公式可得，选项C正确；选项D，事件“摸出的两张卡牌中，第二次摸出的卡牌编号为偶数”的情况有：，共8种情况，事件中有，所以，因此事件与事件不是互斥事件，选项D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数的虚部为__________.答案：解析：解答过程：，故虚部为13.已知函数为偶函数，且当时，.则__________.答案：解析：解答过程：函数为偶函数，，．14.在中，点满足，点满足，若，则__________；若，，，则__________.答案：①.②.##解析：解答过程：由点满足，得由点满足，得，.又，所以，所以.若，，，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且.（1）求与的解析式；（2）若函数，解不等式.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由幂函数解析式的结构特点和单调性，再结合，即可求解，进而得到解析式；（2）利用函数单调性和函数定义域，构造不等式，求解即可.（1）由题意得：

，

整理得，因式分解得，解得或，又因为在定义域上单调递增，所以，舍去，得​，因此：

，​由，代入，，得：

，

解得​，满足且，因此：

，（2）由（1）得：，定义域为，又在上单调递增，在单调递增，故在上单调递增，由可得：解得：，故不等式的解集为.16.记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，求面积的最大值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦公式求解.（2）利用余弦定理、三角形面积定义，结合基本不等式求出最大值.（1）在中，由及正弦定理，得，即，则，而，解得，又，所以.（2）由（1）知，而，由余弦定理得，则，当且仅当时取等号，的面积，所以面积的最大值为.17.函数（其中，，）的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，若为角终边上一点，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据图象求解析式即可；（2）根据图象的平移得到的解析式，然后根据二倍角公式和和差公式计算即可.（1）由图可得，，解得，，解得，又，所以，所以.（2）由题意得，由得，，则，，所以.18.在直三棱柱中，，.（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；（2）若二面角的正切值为.（i）求；（ii）若为棱上（不包括端点）的动点，求三棱锥体积的取值范围.答案：（1）连结，因为为的中点，为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）（i）6（ii）解析：思路：（1）利用中位线定理先证明，再利用线面平行判定定理证明即可；（2）（i）取线段BC中点，即可证得，则二面角的平面角为，在直角三角形中表示出即可求；（ii）根据三棱锥的体积公式表示出三棱锥体积，再根据取值范围求三棱锥体积的取值范围.（1）略（2）（i）取线段BC中点，连结，因为直三棱柱，平面，又因为平面，所以；设，则，因此，又因为为线段BC中点，所以；因为,所以，且，因此二面角的平面角为，所以，解得，所以；（ii）若为棱上（不包括端点）的动点，则，，所以三棱锥体积，因为，所以，因此三棱锥体积的取值范围为.19.某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学