四川省广安市2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题 含答案解析

四川广安市2025-2026学年高一下学期期末教学质量评价数学试题一、单选题1．（

）A． B． C． D．2．某班8名学生的数学测验成绩分别为92，95，96，98，100，105，108，110，则这组数据的第一四分位数是（

）A．95 B．95.5 C．105 D．106.53．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定4．已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．5．已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则6．如图，中，点N为边的中点，点M在边上，且，以为一组基底，则（

）

A． B． C． D．7．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则的长为（

）

A． B．2 C． D．8．在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，则（

）A． B． C． D．10．小张统计了某超市2025年前10个月的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（

）

A．这10个月营业额的极差为39万元B．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是九月份C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差D．这10个月营业额的平均数大于3011．如图，在正三棱台中，，P，D分别是线段，BC上的点，，是上、下底面的中心，M是底面ABC内一点，下列结论正确的是（

）A．B．若，平面，则点M的轨迹长等于C．D．当时，四点、O、D、P构成的图形为直角梯形三、填空题12．某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为28，则应抽取的女生人数为________．13．圆锥底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为________．14．在三棱锥中，已知，，平面平面，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，点F在线段上运动（端点除外），当三棱锥的体积为时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为________．四、解答题15．已知复数（i为虚数单位，）(1)若复数z对应的点在第四象限，求m的取值范围；(2)当时，复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．16．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；(2)估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(3)该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则据此频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？17．已知锐角的角所对的边分别是，向量，(1)若，证明：为等腰三角形；(2)若，，的周长为，求角．18．如图，已知菱形的边长为，，平面外一点在平面内的射影是与的交点，是等边三角形．

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值．19．如图，已知，，，，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N．

(1)求；(2)若点M在线段上（端点除外），且，求的面积；(3)当点M、B位于直线的异侧时，求的最小值．参考答案1．D解析：.2．B解析：由于，所以92，95，96，98，100，105，108，110的第一四分位数是.3．B解析：由题设，结合大边对大角知中的最大角为，令，则，故，由，则为钝角，即为钝角三角形.4．D解析：由题设，在方向上的投影向量的坐标为.5．B解析：A选项，若，，则或，所以A选项错误；B选项，若，则在内存在直线，使得，又，，故，则，所以B选项正确．C选项，若，，则与可以成任意角，所以C选项错误；D选项，若，，，则或m与n异面，所以D选项错误.故选：B．6．B解析：.7．A解析：取中点，连接，，则，，二面角的平面角为，，由，得，，在三角形中，由余弦定理知，，所以.

8．C解析：由，x，，根据向量加法的平行四边形法则可知：动点的轨迹是以为邻边的平行四边形及其内部，其面积为的面积的2倍.

在中，设内角所对的边分别为，因为，所以，因为，所以，所以，设的内切圆半径为，则，解得，所以，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为.9．BCD解析：选项A，由，则，所以A错误；选项B，由，则，所以B正确：选项C，由，则，所以C正确；选项D，，所以D正确.10．ACD解析：A：极差为，正确；B：由图知，二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元，六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，错误；C：前5个月的平均数为，方差为，后5个月的平均数为，方差为，因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，正确；D：由10个数据的平均数为，正确.11．ABC解析：A项，显然底面ABC，因为平面ABC，所以，取BC的中点E，连接则，因为为正三角形，所以，由正棱柱性质可知，因为，平面，所以平面，因为平面，所以故A选项正确；B项，，取AB的中点Q，连接DQ，，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故当M在QD上时，满足平面，故M的轨迹长度为QD，其中，由余弦定理得，故B选项正确；C项，，，，，又棱台的体积为：，所以，故C选项正确；D项，四边形为等腰梯形，当P与重合，时，，但此时与OB平行，故与OD不平行，此时四点、O、D、P构成的图形不为直角梯形，故D选项错误．故选：ABC12．12解析：应抽取的女生人数为：.13．12π解析：因底面半径为2，则底面周长即扇形弧长为，又圆心角为，则扇形半径为：.则扇形面积即圆锥侧面积为：.14．2π解析：取的中点，连接，因为，，所以，，故，所以为三棱锥的外接球球心O，三棱锥的外接球半径为，即为平面与平面的夹角，因为平面平面，所以，其中，故，又三棱锥的体积为，所以故为的中点，，过点F作球O的截面，当截面与垂直时，截面面积最小，此时截面半径为，截面面积为.15．(1)(2)解析：（1）由题意得：，即，故（舍弃）或，综上解得，故m的取值范围是.（2）若，则．因为复数z是关于x的方程的一个根，所以．，．.16．(1)(2)众数为85分，平均数为76.5分(3)88分解析：（1）由题意得，可得；（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数为分，估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为分；（3）∵，且，∴第83百分位数在内，记为m，则，∴估计受嘉奖的学生分数不低于88分.17．(1)证明：∵，，∴，∴，∴，∴，即，，∴，∴为等腰三角形.(2)解析：（1）略（2）若，且，，所以，即，因为，则，∵，的周长为∴，由正弦定理，，(为的外接圆半径)则，故，所以，由，即，∵为锐角三角形，∴.验证：由余弦定理，由，代入计算得，再结合，解得或，所以三角形的三边为.所以最大边为，且，因此最大角为锐角，符合锐角三角形.因此.18．(1)∵在菱形中，，∴，且在平面内的射影是点，∴平面，∵平面，∴，∵，平面，∴平面.(2)(3)解析：（1）略（2）由题意可得：与都是边长为的等边三角形，所以，，，∴，

过点作，垂足为，因为，所以为的中点，∴，∴，设点到平面的距离为，则由，则∴，解得.∴点到平面的距离为；（3）设直线与平面所成的角为，∵，平面，平面，∴平面，∴点到平面的距离，即为点到平面的距离，过点作平面交平面于点，则.

此时，要使最大，则需使最小，此时，由题意可知：，∴与全等，∴，∴，∴，∴，即直线与平面所成角的正弦的最大值为.1