四川省绵阳市2025-2026学年高二第二学期期末考试A卷数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数在区间上的平均变化率为（）A. B. C.3 D.42.已知随机变量X服从两点分布，若，则（）A. B. C. D.3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和．后人把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（）A.13 B.21 C.34 D.554.某篮球运动员每次投球的投中率是，每次投球的结果相互独立，则他投球4次，恰好投中2次的概率为（）A. B. C. D.5.已知一组数据的方差为4、则数据的方差为（）A.5 B.8 C.16 D.176.某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课．某学生需从中选修3门，且至少包含一门技能类的选修课，则该生不同的选课方案的种数为（）A.18 B.30 C.31 D.347.已知等差数列的前n项和为，且，则（）A. B.18 C. D.368.函数的大致图象是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列的前n项和为，且满足，则（）A. B.为等比数列 C. D.10.设，是一次随机试验中的两个事件，若，则（）A.与相互独立 B. C. D.11.已知函数是的一个极值点，则（）A.B.的极大值为0C.当时，关于x的方程仅有一个实数解D.若，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上.12.曲线在点（0，1）处的切线方程为_________.13.的展开式中的系数为____________．（用数字作答）14.某图书馆，有（，且）种不同的课外书，每种书至少有本．甲从中随机选种借阅，乙从中随机选种借阅，甲乙选择的结果相互独立．记为被甲或乙选中的图书种数，若的均值为，则__________．四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，数列为等比数列，且．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和．16.已知函数．（1）求的最大值；（2）对任意，求实数a的取值范围．17.某校引入AI学习平台，高二全体学生参加了一次该平台的数学能力测试（满分150分），测试分数，且已知．平台将数学测试成绩从高到低按照20%，30%，30%，20%的比例分为A，B，C，D四个等级，用于后续的个性化习题推荐．（1）若甲、乙、丙三位同学在该项测试中的分数分别是：129、99、75，试确定三人各自成绩的等级；（2）已知该次测试单选最后一道题，共4个选项，等级为A的同学都能选对，等级为B的同学能排除2个错误选项后再随机选，等级为C的同学能排除1个错误选项后再随机选，等级为D的同学随机选一个选项，且没人漏选．若从参加该次测试的学生中随机抽取1人，求该生答对这道题的概率．18.设函数．（1）分别讨论的单调性；（2）设数列满足，证明：；（3）设函数，且在区间上单调递增，求整数a的最小值．19.“中国天眼”FAST射电望远镜在银道面脉冲星巡天项目中，锁定了m颗候选脉冲星，编号为1，2，3，…，，科研团队计划安排t次跟踪观测，每次观测1颗，观测规程规定：第k次跟踪观测时，若选中的脉冲星编号为x，且满足，则认定该次观测成功捕获1组有效脉冲信号．科研团队设计了两种观测方案：方案一：每次观测均从m颗候选脉冲星中，等概率随机选择；方案二：每次随机选择，且观测过的脉冲星不再列入后续选择的范围．（1）若采用方案一，且当时，设第1，2，3次观测，成功捕获有效脉冲信号的概率依次为．（i）求；（ii）记该望远镜前3次观测中，成功获取有效脉冲信号的组数为X，求；（2）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．试比较两种方案下，该望远镜成功捕获有效脉冲信号的组数的数学期望的大小，并说明理由．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数在区间上的平均变化率为（）A. B. C.3 D.4答案：A解析：思路：根据平均变化率的定义，计算区间端点处的函数值差值与区间长度的比值即可得到结果解答过程：，

，，，因此平均变化率为.2.已知随机变量X服从两点分布，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题可得，解得.3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和．后人把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（）A.13 B.21 C.34 D.55答案：B解析：解答过程：由题可得，故.4.某篮球运动员每次投球的投中率是，每次投球的结果相互独立，则他投球4次，恰好投中2次的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用二项分布的概率公式进行计算即可求解.解答过程：设他投球次，投中的次数为，则.根据二项分布的概率公式可知投球次，恰好投中次的概率为：.5.已知一组数据的方差为4、则数据的方差为（）A.5 B.8 C.16 D.17答案：C解析：解答过程：根据公式可得.6.某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课．某学生需从中选修3门，且至少包含一门技能类的选修课，则该生不同的选课方案的种数为（）A.18 B.30 C.31 D.34答案：C解析：思路：根据题意，可分为2门知识类选修课和1门技能类选修课，1门知识类选修课和2门技能类选修课和3门技能类选修课，结合组合数公式，即可求解.解答过程：由题意知，从中选修3门，且至少包含一门技能类的选修课，当2门知识类选修课和1门技能类选修课，有种选法；当1门知识类选修课和2门技能类选修课，有种选法；当3门技能类选修课，有种选法，则该生不同的选课方案的种数为种不同的选法.7.已知等差数列的前n项和为，且，则（）A. B.18 C. D.36答案：B解析：思路：设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.解答过程：设等差数列的公差为，因为，可得，即，解得，所以.8.函数的大致图象是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求导，分析函数的单调性，再结合时，即可求解.解答过程：因为，则函数的定义域为，所以，由，得或，由，得且，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，，又时，，分析图象可知，C选项正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列的前n项和为，且满足，则（）A. B.为等比数列 C. D.答案：ABD解析：思路：由及先求；再推出为等比数列，并逐项验证各选项.解答过程：对任意有.当时，，又，故，得，故A正确.当时，，代入得.结合可推得（），故是首项为4、公比为的等比数列，，故B正确.进而，即，从而，，故C错误.又，且随增大而趋近于8但取不到8，故恒成立，故D正确.10.设，是一次随机试验中的两个事件，若，则（）A.与相互独立 B. C. D.答案：BD解析：思路：用全概率公式由已知条件先求，再逐项检验独立性与相关概率.解答过程：由全概率公式，得，解得，故B正确；若与相互独立，则应有，但，故A错误；又，不等于，故C错误；而，故D正确.11.已知函数是的一个极值点，则（）A.B.的极大值为0C.当时，关于x的方程仅有一个实数解D.若，则答案：ACD解析：思路：对于A，求导代入极值点求出；对于B，分析的单调性并求出极大值即可；对于C，画出的图像，观察的图像与的交点个数即可求解；对于D，利用单调性得出，再证明即可.解答过程：对于A，，，是的一个极值点，，即，解得，又因为，所以，A正确；对于B，将代入得，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，B错误；对于C，如上图，当时，与的交点只有一个，所以关于x的方程仅有一个实数解，C正确；对于D，因为，所以，由在上单调递增得：，，所以，所以，D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上.12.曲线在点（0，1）处的切线方程为_________.答案：解析：解答过程：试题分析：，，切线斜率为，切线方程为，即.故答案为.考点：利用导数求切线方程.13.的展开式中的系数为____________．（用数字作答）答案：解析：思路：根据二项式展开式的通项公式写出该式展开的通项，再结合指数为求解即可.解答过程：根据二项式定理，可得展开式的通项公式：，令的指数，解得所以的系数为：.14.某图书馆，有（，且）种不同的课外书，每种书至少有本．甲从中随机选种借阅，乙从中随机选种借阅，甲乙选择的结果相互独立．记为被甲或乙选中的图书种数，若的均值为，则__________．答案：解析：思路：设第种书被甲或乙选中记为，第种书甲乙都没选中记为，，再由期望的性质得，再分别计算第种书被甲、乙选中的概率，再结合相互独立事件的概率可得，再由对立事件及期望的值可得.解答过程：设第种书被甲或乙选中记为，第种书甲乙都没选中记为，，则，由期望的线性性质得.甲从种书里选种：第种书被甲选中的概率，乙从种书里选种：第种书被选乙中的概率，因为甲乙选取相互独立，第种书甲乙都不选的概率，所以.因为，所以，，，，解得（符合）.因此.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，数列为等比数列，且．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和．答案：（1），；（2）．解析：（1）因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则；因为，所以公比为，则；（2）由（1）得，则，则，两式作差得，则.16.已知函数．（1）求的最大值；（2）对任意，求实数a的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）对求导，判断函数的单调性，从而求的最大值.（2）将问题对任意，转化为对任意恒成立.通过构造函数，利用函数的单调性求解.（1）由，则，令，则，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此在处取得极大值，也是最大值，所以.（2）不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，令，问题转化为.，令，即，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在处取得最大值，最大值为，所以.17.某校引入AI学习平台，高二全体学生参加了一次该平台的数学能力测试（满分150分），测试分数，且已知．平台将数学测试成绩从高到低按照20%，30%，30%，20%的比例分为A，B，C，D四个等级，用于后续的个性化习题推荐．（1）若甲、乙、丙三位同学在该项测试中的分数分别是：129、99、75，试确定三人各自成绩的等级；（2）已知该次测试单选最后一道题，共4个选项，等级为A的同学都能选对，等级为B的同学能排除2个错误选项后再随机选，等级为C的同学能排除1个错误选项后再随机选，等级为D的同学随机选一个选项，且没人漏选．若从参加该次测试的学生中随机抽取1人，求该生答对这道题的概率．答案：（1）甲的等级为A，乙的等级为B，丙的等级为C（2）（或0.5）解析：思路：（1）利用正态分布的对称性求概率；（2）利用全概率公式求解.（1）由题意得，，，则按照分数将成绩划分为D，C，B，A四个等级，因为甲、乙、丙三位同学在该项测试中的分数分别是：129、99、75，故甲、乙、丙的成绩等级分别为A，B，C；（2）等级为A的同学答对的概率为；等级为B的同学答对的概率为；等级为C的同学答对的概率为；等级为D的同学答对的概率为；用表示第等级的学生答对，其中A等级对应，以此类推，用表示从参加该次测试的学生中随机抽取1人，该生答对这道题，则，则从参加该次测试的学生中随机抽取1人，该生答对这道题的概率为.18.设函数．（1）分别讨论的单调性；（2）设数列满足，证明：；（3）设函数，且在区间上单调递增，求整数a的最小值．答案：（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；在上单调递减.（2）由（1）知，在上单调递减，当时，，即，所以.令，得.由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以.令，得，即.因此有，所以.（3）的最小值为1解析：思路：（1）对求导，讨论的取值，判断单调性；对求导，判断导函数的正负，判断其单调性；（2）根据第（1）问，将要证的不等式放缩，转化为证明且.（3）在区间上单调递增，等价于在上恒成立.分离参数，转化为在上恒成立.构造函数，判断单调性转化为求函数的最大值.（1）①讨论的单调性，定义域为，，当时，，所以，在上单调递减；当时，令，解得，当时，，所以在上单调递增，当，，所以在上单调递减.②讨论的单调性，因为，所以，所以在上单调递减.综上所述：当时，在上单调递减；当时，上单调递增，在上单调递减；在上单调递减.（2）略（3），由单调递增，得在上恒成立.，所以在上恒成立.令，则，，令，则，当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，因为，，所以存在唯一，使得，所以.由，得.若，则，此时，与矛盾，所以，此时，两边同除以，得，因为，所以，所以，解得.又在上单调递增，且，所以，又因为，所以，所以，即.因为且，所以.19.“中国天眼”FAST射电望远镜在银道面脉冲星巡天项目中，锁定了m颗候选脉冲星，编号为1，2，3，…，，科研团队计划安排t次跟踪观测，每次观测1颗，观测规程规定：第k次跟踪观测时，若选中的脉冲星编号为x，且满足，则认定该次观测成功捕获1组有效脉