四川省绵阳市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量测试（A）数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是（）A.，则 B.没有方向C.若，则 D.若，则2.已知复数，则z的虚部为（）A.1 B.2 C.i D.3.在中，M为的中点，则（）A. B. C. D.4.已知平面，直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.若两个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（）A. B. C. D.6.已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（）A. B. C.1 D.27.已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.8.三棱柱的所有棱长均相等，且分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知非零向量，下列说法正确的是（）A.若，则B.C.若与的夹角为钝角，则D.若，则与可能垂直10.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定．则（）A.小球在开始振动（即）时，B.小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2C.经过往复运动一次D.每秒钟小球能往复振动次11.某正四棱台的下底面边长为4，上底面边长为2，侧棱长为，下列说法正确的是（）A.该四棱台的高为3 B.该四棱台的体积为C.该四棱台的表面积为56 D.该正四棱台内可放置最大的球的体积为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上.12.已知是虚数单位，则________．13.已知的内角所对的边分别为，且，若的面积为，且C为锐角，则________．14.在平面内，均为单位向量，向量满足．则当取最小值时，________．四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，已知，设．（1）若，求实数的值；（2）若M为线段靠近点C的三等分点，求点M的坐标．16.在中，角的对边分别是，满足．（1）求A；（2）求．17.如图，正四棱柱内接于圆柱，，圆柱的侧面积为．点E是棱上的点，点F是棱上的点，且．（1）若直线与平面的交点为G，求的值，并证明：平面；（2）求三棱锥的体积．18.在中，角的对边分别是，点D是的中点，，且．（1）求证：或；（2）若为直角三角形，求面积的最大值；（3）若，点E在所在的平面内，点A和点E在的异侧，且为等腰直角三角形，，求的最大值．19.如图，在平面四边形中，点A为线段上一点，于点A，且，，将沿折起，得到四棱锥．（1）若平面平面，求证：；（2）若二面角的大小为．（i）求与平面所成角的正弦值；（ii）求侧面与侧面所成二面角的正切值．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是（）A.，则 B.没有方向C.若，则 D.若，则答案：D解析：解答过程：对于选项A：因为，则的方向可能相反，所以不一定相等，故A错误；对于选项B：的方向是任意的，故B错误；对于选项C：若，对任意向量，均有，此时不一定共线，故C错误；对于选项D：若，则；若，则的方向相同，可得；综上所述：若，则，故D正确.2.已知复数，则z的虚部为（）A.1 B.2 C.i D.答案：B解析：解答过程：因为复数，所以z的虚部为2.3.在中，M为的中点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：如图所示：可得.4.已知平面，直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：若，且，可得；若，且，此时平面的位置关系有平行或相交，即不能推出，综上所述：“”是“”的充分不必要条件.5.若两个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设两球半径依次为，由题意可知：，可得，所以它们的表面积之比为.6.已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（）A. B. C.1 D.2答案：D解析：思路：先由底面面积求出底面半径，然后由底面周长等于侧面展开图的弧长列方程可求出母线长.解答过程：设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的底面积为，所以，得，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，得,故选：D7.已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先展开已知数量积等式得到与的关系，再代入投影向量公式计算结果.解答过程：由，可得，可推得，向量在向量上的投影向量为，将代入上式，可得投影向量为.8.三棱柱的所有棱长均相等，且分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求.解答过程：连接、，如下图所示：

因为、分别为、的中点，所以，且，因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，因为为的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，故异面直线和所成角等于或其补角，在菱形中，，，，则，由余弦定理可得，在中，，，，由余弦定理可得，在中，，，，所以，，故，所以，.因此，异面直线和所成角的余弦值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知非零向量，下列说法正确的是（）A.若，则B.C.若与的夹角为钝角，则D.若，则与可能垂直答案：AC解析：思路：根据平面向量的数量积运算、垂直的判定、夹角与数量积的关系，需结合向量基本性质逐个判断选项正误.解答过程：选项A：非零向量垂直的充要条件为数量积为0，即若，则，A正确；选项B：展开左侧式子：，不等于，B错误；选项C：若两向量夹角为钝角，则夹角，，结合数量积公式，且，可得，C正确；选项D：若，则，但，故，不可能等于0，两向量不可能垂直，D错误.10.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定．则（）A.小球在开始振动（即）时，B.小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2C.经过往复运动一次D.每秒钟小球能往复振动次答案：BCD解析：思路：对于A：令，代入运算求解即可；对于BCD：根据简谐运动的振幅、周期和频率分析判断即可.解答过程：因为，对于选项A：当时，则，故A错误；对于选项B：因为振幅，所以小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2，故B正确；对于选项CD：因为函数的最小正周期，频率，所以经过往复运动一次，每秒钟小球能往复振动次，故CD正确.11.某正四棱台的下底面边长为4，上底面边长为2，侧棱长为，下列说法正确的是（）A.该四棱台的高为3 B.该四棱台的体积为C.该四棱台的表面积为56 D.该正四棱台内可放置最大的球的体积为答案：BCD解析：思路：由正四棱台的性质，求得该四棱台的高，并求得其体积，判断A，B；根据高求其侧面的高，从而求得其表面积，判断C，分析可得该四棱台有内切球，求其体积判断D.解答过程：如图正四棱台中，，分别记上、下底面的中心为，连接，对于A，，.所以该四棱台的高为，故A错误；对于B，由上，可得四棱台的体积为，故B正确；对于C，分别取的中点，连接，则，.所以该棱台的表面积为，故C正确；对于D，该四棱台的中截面是上底为2，下底为4，腰为3，高为的等腰梯形，其中位线长.设的中点为，到的距离为，，所以，解得，所以该四棱台的中截面有内切圆，该四棱台有内切球，内切球球心为，半径为，所以其体积为.即该正四棱台内可放置最大的球的体积为，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上.12.已知是虚数单位，则________．答案：解析：解答过程：，故.13.已知的内角所对的边分别为，且，若的面积为，且C为锐角，则________．答案：解析：思路：先利用三角形面积公式求出，结合为锐角求得，再代入余弦定理计算边长解答过程：由三角形面积公式，将，，代入得：

，化简得，解得.因为为锐角，故，由余弦定理，代入已知值得：

,因为为三角形边长，故，因此.14.在平面内，均为单位向量，向量满足．则当取最小值时，________．答案：解析：思路：根据数量积的定义及夹角余弦值的取值范围，求得的最小值，从而求得.解答过程：设与的夹角分别为，，.由，得，显然，.所以；由，得，显然，.所以.所以.所以的最小值为，此时，..四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，已知，设．（1）若，求实数的值；（2）若M为线段靠近点C的三等分点，求点M的坐标．答案：（1），．（2）点的坐标为．解析：思路：（1）先计算的坐标表达式，因为两个向量相等则对应坐标相等，所以可以得到关于m、n的二元一次方程组，求解该方程组即可得到m、n的值;（2）根据三等分点的线段比例关系，得到与的数量关系，再利用向量的加法，代入对应坐标计算得到点的坐标.（1）由已知得

，,．由得，则

，解得

．（2）为线段靠近的三等分点，有．故，即点的坐标为．16.在中，角的对边分别是，满足．（1）求A；（2）求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，利用正弦定理求得，即可求解；（2）根据题意，利用正弦定理，求得，再由余弦定理求得，结合正弦定理，即可求解.（1）因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，即，因为，所以.（2）因为，由正弦定理得，即，又由余弦定理，可得，可得，由正弦定理，可得.17.如图，正四棱柱内接于圆柱，，圆柱的侧面积为．点E是棱上的点，点F是棱上的点，且．（1）若直线与平面的交点为G，求的值，并证明：平面；（2）求三棱锥的体积．答案：（1）因为，设，，，因为为正方形，则圆柱的底面半径，则圆柱的侧面积为，解得，即，，连接，因为，且，可知为平行四边形，则，又因为平面平面，平面平面，平面平面，可得，则，可得；连接，因为，且为矩形，则，，且，，则，，可知为平行四边形，则，且平面，平面，所以平面.（2）90解析：思路：（1）根据平行的性质可得，即可得；可证，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）求相应长度，作辅助线，可证平面，利用解三角形可求的面积，即可得三棱锥体积.（1）略（2）由题意可知：，，，设的中点为，连接，，则，，且，，又因为，平面，可得平面，在中，由余弦定理可得，则为锐角，且，可得的面积，所以三棱锥的体积.18.在中，角的对边分别是，点D是的中点，，且．（1）求证：或；（2）若为直角三角形，求面积的最大值；（3）若，点E在所在的平面内，点A和点E在的异侧，且为等腰直角三角形，，求的最大值．答案：（1）证明：在中，由正弦定理得.在和中，由正弦定理得：.因为是中点，，所以已知，则.又.代入得，即.所以，因为，所以或.即或.（2）（3）解析：思路：（1）由中点条件和角度关系得，在和中用正弦定理推得，代入化简得，即可得证；（2）两类情形下均为直角，先利用均值不等式求的最大值，代入三角形面积公式，即得最大面积；（3）由（1）及得，建立坐标系表示各点，写出关于的表达式，换元求导得最大值点，代回得.（1）略（2）由(1)知或.若为直角三角形，则，此时，.，由，可得.所以.当且仅当时取等号，故面积的最大值为16.（3）因为，所以，由(1)知，即.以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系.设，则.则.因为中点，则.因为为等腰直角三角形，，且在异侧，则..令，.则即.因，则当，即时，取得最大值.则的最大值为.19.如图，在平面四边形中，点A为线段上一点，于点A，且，，将沿折起，得到四棱锥．（1）若平面平面，求证：；（2）若二面角的大小为．（i）求与平面所成角的正弦值；（ii）求侧面与侧面所成二面角的正切值．答案：（1）连接，在中，由余弦定理可得，即，则，可得，又因为，平面平面，平面平面，平面，可得平面，由平面可得，且，平面，可得平面，又因为平面，所以.（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）由余弦定理可得，即可证，由面面垂直的性质可得平面，即可得，进而可得平面