四川省内江市2025-2026学年高二第二学期期末检测数学试题 含答案解析

数学本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的通项公式为，则80是该数列的（）A.第8项 B.第7项 C.第6项 D.第5项2.已知函数，则（）A.5 B.4 C.3 D.23.已知随机变量，若，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.64.为了研究性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握至少为（）0.010.0050.0016.6357.87910.828A. B. C. D.5.已知数列的前项和，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.6.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、心理6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，则不同排法总数是（）A.48 B.216 C.192 D.1447.设，是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.8.函数，的图象的公切线方程为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.有个极值点B.是的极小值点C.在区间上单调递减D.的图象在处的切线斜率小于10.下列说法正确的是（）A.随机变量服从两点分布，若，则B.随机变量，若，，则C.若随机变量的概率分布列为，且是常数，则D.若随机变量，且满足，则随机变量11.如图所示为杨辉三角.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623年-1662年）首先发现的.然而我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.该表第n行的第r个数可以表示为，同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）A.第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等B.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1D.若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中的系数为_________.13.在等比数列中，为其前项的和，已知，，则__________.14.已知函数，，若在恒成立，则实数的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间的最值.16.随着居民生活水平提升，消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记年的年份代码分别为，下表为年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）.年份代码市场规模（1）若可以用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的经验回归方程，并预估年市场规模（单位：千亿元）；（2）从这年中国智能小家电市场规模的数据中任取个，记取到小于这个数据平均数的个数为，求的分布列及期望.附：经验回归方程中参考公式为：，.17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，求.18.为了避免午餐就餐拥挤和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第1天起，午餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和冒菜套餐三种选择.已知某同学开学第1天中午选择米饭套餐，从第2天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复.（1）若食堂有，两个售卖窗口，该同学第1天午餐时随机地选择一个窗口取餐.如果第1天中午去窗口，那么第2天中午仍然去窗口的概率为0.4；如果第1天中午去窗口，那么第2天中午去窗口的概率为0.8.求该同学第2天中午去窗口取餐的概率；（2）记该同学第天午餐选择米饭套餐的概率为.①求；②若米饭套餐价格为13元每份，面食套餐和冒菜套餐均为10元每份.求该同学前天午餐花费的总费用的数学期望.19.已知函数有两个零点，.（1）若函数在处取得极值1，求，的值；（2）若，，请完成下列问题：①求证：；②求证：；如果把条件修改为“，”，那么结论应修改为“__________”（直接写出结果，无需过程）.

数学本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的通项公式为，则80是该数列的（）A.第8项 B.第7项 C.第6项 D.第5项答案：A解析：解答过程：令，得，解得，或（舍去）.2.已知函数，则（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：A解析：解答过程：函数，求导得所以.

3.已知随机变量，若，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6答案：B解析：思路：利用正态分布曲线关于均值对称的性质即可计算所求概率.解答过程：由于随机变量，所以其正态分布曲线的对称轴为直线所以.4.为了研究性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握至少为（）0.010.0050.0016.6357.87910.828A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据观测值，对照临界值表即可得出结论.解答过程：因为，所以有的把握认为“性别与喜欢乡村音乐有关系”．5.已知数列的前项和，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为数列的前项和，当时，；当时，.不满足，故.6.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、心理6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，则不同排法总数是（）A.48 B.216 C.192 D.144答案：C解析：解答过程：依题意，不同排法总数是.7.设，是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：对于A，由，得，A错误；对于B，事件不一定相互独立，因此不一定成立，B错误；对于C，由，得，C正确；对于D，抛掷质地均匀的一粒骰子一次，“奇数点”，“偶数点”，，D错误.8.函数，的图象的公切线方程为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设出切点坐标，利用导数的几何意义列出方程组求解.解答过程：令公切线与的图象切于点，与的图象切于点，因，，则，解得，因此公切线斜率为1，与的图象切于点，则切线方程为，即.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.有个极值点B.是的极小值点C.在区间上单调递减D.的图象在处的切线斜率小于答案：BD解析：思路：利用极值点的定义可判断AB选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项.解答过程：对于A选项，由图象可知，当时，；当时，；当时，，所以函数只有个极值点，故A错误；对于B选项，函数在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，故B正确；对于C选项，因为是函数的极小值点，故函数在上不单调，故C错误；对于D选项，由图可知，故的图象在处的切线斜率小于，故D正确.10.下列说法正确的是（）A.随机变量服从两点分布，若，则B.随机变量，若，，则C.若随机变量的概率分布列为，且是常数，则D.若随机变量，且满足，则随机变量答案：BD解析：思路：利用期望的定义计算判断A；利用二项分布的期望方差公式求解判断B；利用分布列的性质计算判断C；利用正态分布求解判断D.解答过程：对于A，随机变量服从两点分布，由，得，，A错误；对于B，随机变量，由，得，则，B正确；对于C，由随机变量的概率分布列为，得，则，C错误；对于D，由随机变量，得，由，得，因此，，随机变量，D正确.11.如图所示为杨辉三角.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623年-1662年）首先发现的.然而我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.该表第n行的第r个数可以表示为，同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）A.第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等B.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1D.若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则答案：ACD解析：思路：A选项：第行第个数为，再结合进行运算；B选项：根据组合数性质进行运算；C选项：先由组合数性质得到第48行的所有数字之和，再结合二项式定理展开可得结论；D选项：根据组合数性质解出，再结合二项式定理展开进行运算.解答过程：第2027行中从左到右第29个数是，第2000个数是，因为，所以第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等，A正确.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为，因为，所以，即每一行的第4个数字之和为，B错误.第48行的所有数字之和为，因为，故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确.因为，即（且）为公差不为0的等差数列，则，解得，又，所以，又，故，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中的系数为_________.答案：解析：思路：利用二项式展开式通项，即可直接求解.解答过程：由题知，设展开式中通项为，令，则，.故答案为：13.在等比数列中，为其前项的和，已知，，则__________.答案：解析：解答过程：设等比数列的公比为，则，解得，故.14.已知函数，，若在恒成立，则实数的取值范围为__________.答案：解析：思路：由转化为，令，对求导，利用函数的单调性和最值进行求解.解答过程：，，即成立.令，对函数进行求导：，令，解得.当时，对所有，，所以在上是增函数，又，所以对，都有，即当时，对于所有的，都有成立.当时，对于，都有，所以在是减函数，又，所以对，都有，即当时，不是对所有的，都有成立.综上，的取值范围为,四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间的最值.答案：（1）（2）最大值为，最小值为解析：思路：（1）求出函数的导数，由求出递减区间.（2）由（1）确定函数在上的单调性，进而求出最值.（1）函数的定义域为R，求导得，由，解得，所以函数的单调递减区间是.（2）由（1）知，当或时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，，，所以函数在区间的最大值为，最小值为.16.随着居民生活水平提升，消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记年的年份代码分别为，下表为年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）.年份代码市场规模（1）若可以用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的经验回归方程，并预估年市场规模（单位：千亿元）；（2）从这年中国智能小家电市场规模的数据中任取个，记取到小于这个数据平均数的个数为，求的分布列及期望.附：经验回归方程中参考公式为：，.答案：（1）关于的经验回归方程为，预估年市场规模为千亿元.（2）的分布列为：期望.解析：思路：（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，即可得出结果；（2）由题意可知，从这年中国智能小家电市场规模的数据中，小于平均数的数据有个，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.（1）由表格中的数据可得，，，，所以，则，所以关于的经验回归方程为，将代入回归方程得，预估年市场规模为千亿元.（2）从这年中国智能小家电市场规模的数据中，小于平均数的数据有个，由题意可知，随机变量的可能取值有、、，，，，所以随机变量的分布列如表所示：故.17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，求.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）设等差数列的公差为，由，，可求解，，利用等差数列通项公式求解即可；（2）求得，利用错位相减法可求得的表达式.（1）设等差数列的公差为，由可得，解得，所以.（2）因为，所以，所以①，所以②，①②可得，化简得.18.为了避免午餐就餐拥挤和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第1天起，午餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和冒菜套餐三种选择.已知某同学开学第1天中午选择米饭套餐，从第2天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复.（1）若食堂有，两个售卖窗口，该同学第1天午餐时随机地选择一个窗口取餐.如果第1天中午去窗口，那么第2天中午仍然去窗口的概率为0.4；如果第1天中午去窗口，那么第2天中午去窗口的概率为0.8.求该同学第2天中午去窗口取餐的概率；（2）记该同学第天午餐选择米饭套餐的概率为.①求；②若米饭套餐价格为13元每份，面食套餐和冒菜套餐均为10元每份.