四川省字节精准教育联盟2027届高三上册入学摸底调查数学试题 含答案解析

数学满分150分，限时120分钟.一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是正确的.1.抛物线（）的焦点的纵坐标为（）A. B. C. D.2.已知函数，则（）A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A. B. C. D.4.依次投掷硬币3次，至少有一次出现正面的概率是（）A. B. C. D.5.设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是

（

）A. B.C. D.6.过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（

）A. B. C. D.7.甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（）A.360种 B.480种 C.540种 D.720种8.已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.二、选择题.本大题共3小题，每小题6分，满分18分.在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，有多项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分.9.2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：）.如下表：日期1234567预测误差1033下列关于这7天预测误差的描述中，正确的有（）A.这组数据的众数是3B.这组数据的60%分位数是0.5C.这组数据的方差大于5D.若第8天该模型预测误差为，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小10.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（）A.直线AB的斜率为 B.C.△AMF的周长为12 D.B，O，M三点共线11.已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（）A. B.C. D.函数有8个零点三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分.12.设，则_____．13.已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______．14.已知，且，，则的取值范围是_____________.四、解答题：共5小题，满分77分.解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述.15.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为．①证明：为等比数列，并求数列的通项公式；②证明：当时，恒成立．16.如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.（1）证明：；（2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；（3）设直线与平面所成角为，求的取值范围.17.为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动．（1）若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；（2）在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？18.已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．（1）若椭圆的离心率为．①求椭圆的方程；②若时，求的面积；（2）当时，求的取值范围．19.设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．（1）求；（2）求的单调区间；（3）设，函数，求证：．

数学满分150分，限时120分钟.一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是正确的.1.抛物线（）的焦点的纵坐标为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为.2.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：首先对函数求导，然后将代入求解即可.解答过程：已知，则，因此可得：.故选：B3.已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为数列为等差数列，所以，所以，又，所以，设数列的公差为，则，所以.4.依次投掷硬币3次，至少有一次出现正面的概率是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用对立事件可求概率.解答过程：依次投掷硬币3次，观察是否出现正面，样本空间共有个样本点，记“一次正面都没有出现”为事件，则中有1个样本点，故，故至少有一次出现正面的概率为，故选：D.5.设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是

（

）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据直线斜率的取值范围求倾斜角的范围.解答过程：设直线的斜率为，则，故，而，故，故选：C.6.过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题知表示以原点为圆心，为半径的半圆，设，进而根据面积公式得，时，的面积取得最大值，此时原点到直线的距离为，设直线的方程为，再根据距离公式求解即可得答案解答过程：曲线即为，表示以原点为圆心，为半径的半圆，设所以的面积，所以，当时，的面积取得最大值，此时原点到直线的距离为，设直线的方程为，因为原点到直线的距离为，解得，所以，整理得，解得（正舍）.所以的面积取最大值时，直线的斜率等于故选：B7.甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（）A.360种 B.480种 C.540种 D.720种答案：C解析：思路：先将6个人分成3组，每组至少一人，求出总的分法数，再将这3组人，分配到3个活动项目中去，即可得答案.解答过程：将6个人分成3组，每组至少一人：当三组人数为4，1，1时，有种分法；当三组人数为3，2，1时，有种分法；当三组人数为2，2，2时，有种分法；所以一共有，将这三组人数分别分配到3个活动项目中去，所以共有种分配方式.8.已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据抛物线准线过双曲线左焦点得出与的关系，再利用向量关系得到线段长度关系，结合双曲线的性质求出方程即可.解答过程：如图，作出符合题意的图形，由题意得抛物线的准线方程为，双曲线的左焦点（其中），抛物线的准线经过双曲线的左焦点，故，即，已知，移项可得，即，即，则，又双曲线的一条渐近线方程为，即，则焦点到渐近线的距离在中，，由勾股定理可得，过作轴于点，则，由相似三角形的性质可得，即，所以，则点的横坐标为，纵坐标的绝对值为，因为点在抛物线上，且，所以，即，整理得，因此，则，在本题中，，则，，则双曲线方程为，故D正确.二、选择题.本大题共3小题，每小题6分，满分18分.在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，有多项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分.9.2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：）.如下表：日期1234567预测误差1033下列关于这7天预测误差的描述中，正确的有（）A.这组数据的众数是3B.这组数据的60%分位数是0.5C.这组数据的方差大于5D.若第8天该模型预测误差为，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小答案：ACD解析：思路：将数据从小到大排序，由众数的定义即可判断A，由百分位数的定义即可判断B，由平均数与方差的定义即可判断C，由预测误差以及平均数的性质即可判断D.解答过程：将数据从小到大排序得：，，，0，1，3，3.对于A，3出现两次，其余一次，众数为3，故A正确；对于B，，不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误；对于C，平均数，方差，故C正确；对于D，原平均数为0，新数据小于0，加入后平均数变为，确实变小，故D正确.10.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（）A.直线AB的斜率为 B.C.△AMF的周长为12 D.B，O，M三点共线答案：BCD解析：思路：对A，根据抛物线定义得，结合为等边三角形推出直线倾斜角，得斜率判断；对B，先求出点的坐标，得到直线的方程，联立抛物线方程求出点的横坐标，结合抛物线定义得等于点到准线的距离，计算得判断；对C，由抛物线定义得等边的边长等于，计算得，计算周长判断；对D，求出点、的坐标，分别计算直线和的斜率，得斜率相等且共过原点，据此判断.解答过程：对于A：已知为等边三角形，结合轴，，可得，因此直线的倾斜角为或，斜率。选项A仅给出斜率为，不全面，A错误；对于B：设，由为等边三角形，得，，因此，结合，代入等式，解得（舍去），直线过，方程为，联立整理得，由韦达定理得，已知，故，因此，B正确；对于C：由推导得的边长为，因此周长为，C正确；对于D：分两种情况验证共线：若，则，，所以，，，三点共线；若，则，，同理可得，三点共线.因此D正确.11.已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（）A. B.C. D.函数有8个零点答案：ABD解析：思路：探讨函数的性质并作出图象，数形结合求解判断ABC；换元并求出的根，进而确定函数零点个数.解答过程：函数图象对称轴为，在上递减，在上递增，函数在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，方程有四个不同的根，即直线与函数的图象有4个交点，对于A，，A正确；对于B，由，得或或或，因此，B正确；对于C，由，得，整理得，又，则，因此，C错误；对于D，令，由，得，解得或或或，当时，无解；当时，有2个解；当或时，各有3个解，因此函数有8个零点，D正确.三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分.12.设，则_____．答案：解析：解答过程：令，得，则．13.已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______．答案：解析：思路：只需要满足在上恒小于等于在上的最大值，导根据导函数得出，再分离参数得出，令，求导判断单调性即可.解答过程：由已知可知，只需满足对任意的，总存在，只需要满足在上恒小于等于在上的最大值.，令，即，解得或（舍去），当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在单调递减，，，化简得，即对任意的恒成立，令，即，令，解得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故的最大值为，.14.已知，且，，则的取值范围是_____________.答案：解析：思路：设,对及进行分类讨论，结合的范围，并应用导数研究的单调性，由不等式恒成立确定参数范围即可.解答过程：设，则，当时，，故，所以在上单调递增，则，因为，所以，所以，即，因为，所以，当时，，若，则成立，若，令，则，所以在上单调递增，又，因为，所以，所以，即，因为，所以，存在，使，可得，若，则，所以在上单调递减，若，则，所以在上单调递增，所以，解得，此时，所以，从而，所以的取值范围为.四、解答题：共5小题，满分77分.解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述.15.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为．①证明：为等比数列，并求数列的通项公式；②证明：当时，恒成立．答案：（1）（2）①设事件为“第n天选择米饭套餐”，则，，根据题意，，由全概率公式，得整理得，故，，是以为首项，为公比的等比数列,通项公式为；②当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，；综上所述，当时，．解析：思路：（1）先拆分互斥情况，并求出相关概率，利用条件概率公式求出相关概率，再利用全概率公式求解；（2）①利用全概率公式建立递推关系式，通过变形构造等比关系，求出首项及通项公式；②根据通项公式分奇偶性讨论，从而证明结论．（1）设事件为“第1天选择米饭套餐”，事件为“第2天选择米饭套餐”，事件为“第1天不选择米饭套餐”，根据题意，，，，由全概率公式得．（2）①略②略16.如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.（1）证明：；（2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；（3）设直线与平面所成角为，求的取值范围.答案：（1）由已知，得；又因为底面，底面，故；因为，，，平面，所以平面，平面，故.（2）（3）或不存在解析：思路：（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的定义可得；（2）建立空间直角坐标系，通过解三角形得，再分别求两个平面的法向量，并用向量法求两个平面的夹角可得；（3）先设，再由向量法求得线面角，若时，，，此时的值不存在；若时，由同角三角函数关系得，再分和两种情况讨论，并结合函数，的单调性可得的取值范围.（1）略（2）因为底面，底面，所以，又因为，所以，因此两两垂直.因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：则.在中，，，所以为等边三角形，所以.又因为，，所以.在中，，，，所以，.因此，因为是中点，故.设平面的法向量为，，，则，，令，得，所以平面的法向量.设平面的法向量为，，，则，，令，则，所以平面的法向量.设平面与平面的夹角为，则.故平面与平面夹角的余弦值为.（3）设在上，设，且，得，，设平面的法向量为，，，则，，令，则，所以.因为，平面的法向量为，所以，因为，所以，所以，因此，若，则，得，，解得.当时，，此时，所以的值不存在；当时，，此时，所以，所以，得，①时，，因为函数在单调递减，且，，所以，因此得；②时，，因为函数在单调递增，且，，所以，因此得.综上所述，当时，的值不存在；当时，.因此的取值范围是或不存在.17.为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动．（1）若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；（2）在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？答案：（1）分布列见解析，（2）解析：思路：（1）根据超几何分布列出分布列，计算数学期望即可；（2）先求每轮答题中取得胜利的概率，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.（1）由题意可知的可能取值有，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：0123所以.（2）甲、乙两人在一轮竞赛中总共答对的题数为随机变量Y，由题意可知，每人答2题，两人共答4题，每道题答对的概率均为,且各题答对与否相互独立，因此Y服从二项分布，则他们在每轮答题中取得胜利的概率为：设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，由，即，解得，而，则，所以理论上至少要进行轮答题．18.已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．（1）若椭圆的离心率为．①求椭圆的方程；②若时，求的面积；（2）当时，求的取值范围．答案：（1）①；②（2）解析：思路：（1