四川省字节精准教育联盟2027届高三上册暑假素养提升反馈练习（开学一轮摸底）数学试题 含答案解析

数学满分150分，测试时间120分钟.一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.在每题所给出的四个选项中，只有一项是正确的.1.数据6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则关于这组数据下列说法错误的是（）A.中位数为5 B.方差为1.6C.平均数为5 D.85%分位数为82.在中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则（）A. B. C. D.3.已知角与的终边关于轴对称，且，则的最大值是（）A. B. C. D.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5.抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为（）A. B. C. D.6.已知函数的最小值为－1，则实数a＝（）A.－1 B.0 C.1 D.27.设数列满足，数列满足，数列是由数列公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，设数列的前项和为，则（）A.838 B.842 C.846 D.8508.设集合为平面中点构成的集合，.从中随机取一个点(不包含)，该点与构成的直线与轴平行的概率为（）A. B. C. D.二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分.在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设，则（）A. B.C. D.10.已知表示圆，则下列结论正确的是（）．A.圆心坐标为 B.圆心坐标为C.半径 D.半径11.如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（）A.平面 B.为等边三角形C.平面 D.圆锥的侧面积为三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分.12.已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________．13.已知函数的函数值等于的正因数的个数．例如，，则______．14.设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列，则的最大值为__________．四、解答题：共5小题，满分77分.解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述.15.如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是棱的中点．（1）证明：平面．（2）证明：平面.16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，且，求的值．17.某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍．（1）求的值；（2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望；（3）若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率．18.已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点．（1）写出曲线的方程；（2）若以为直径的圆经过原点，求实数的值．19.已知函数．（1）当时，证明：．（2）若恒成立，求的取值范围．（3）若有两个极小值点，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数的最大值．

数学满分150分，测试时间120分钟.一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.在每题所给出的四个选项中，只有一项是正确的.1.数据6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则关于这组数据下列说法错误的是（）A.中位数为5 B.方差为1.6C.平均数为5 D.85%分位数为8答案：B解析：思路：将数据重写排列，然后分别按照中位数，方差，平均数，百分位数概念计算判断即可.解答过程：将数据从小到大排列为1，3，3，3，4，6，6，8，8，8，中位数为，平均数为，由，所以85%分位数为第9个数为8，方差为，所以ACD正确，B错误.故选：B2.在中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据平面向量的线性运算即可求解解答过程：因为是的中点，所以；又是的中点，根据向量中点性质：，将代入得：

.3.已知角与的终边关于轴对称，且，则的最大值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：推导出，利用余弦函数的基本性质可得出的最大值.解答过程：因为角与的终边关于轴对称，则，故，因为，，所以，故的最大值为.故选：B.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，则，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即.5.抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，故两焦点之间的距离．6.已知函数的最小值为－1，则实数a＝（）A.－1 B.0 C.1 D.2答案：A解析：思路：求导，研究函数的单调性，得到函数的最小值，列出方程，求出的值.解答过程：，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．故当时函数取得极小值，也是最小值．故，所以a＝－1．故选：A．7.设数列满足，数列满足，数列是由数列公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，设数列的前项和为，则（）A.838 B.842 C.846 D.850答案：D解析：解答过程：由可知是以2为首项，以2为公差的等差数列，由可知是以2为首项，以3为公差的等差数列，所以是以2为首项，以6为公差的等差数列，所以.8.设集合为平面中点构成的集合，.从中随机取一个点(不包含)，该点与构成的直线与轴平行的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设中随机取一个点，且点不与点重合，若直线与轴平行，则，可知，设样本空间为，直线与轴平行为事件A，则，，所以该点与构成的直线与轴平行的概率为.二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分.在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.10.已知表示圆，则下列结论正确的是（）．A.圆心坐标为 B.圆心坐标为C.半径 D.半径答案：AD解析：思路：配方后化为圆的标准方程进而即得.解答过程：由可得，所以圆心坐标为，半径为.故选：AD11.如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（）A.平面 B.为等边三角形C.平面 D.圆锥的侧面积为答案：ABD解析：思路：先由圆锥的性质和几何关系，利用中位线定理判断线面平行，结合母线长与余弦定理判断三角形形状，再通过圆锥侧面积公式直接计算；对于选项C，采用反证法，假设线面垂直推出线线垂直，再通过计算三角形边长验证矛盾，从而判定该选项错误。解答过程：对于A，因为分别是的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，A正确；对于B，在中，，，，在中，，，，在中，，，，，所以，所以为等边三角形，B正确；对于C，连接，假设平面，因为平面，平面，所以在中，，，，所以，所以为等腰三角形，故与不垂直，这与矛盾，因此假设不成立，C错误；对于D，根据圆锥侧面积公式，所以圆锥的侧面积为，D正确．三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分.12.已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________．答案：解析：思路：根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解.解答过程：椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为，由题意可得，解得，所以，则，所以的离心率.故答案为：.13.已知函数的函数值等于的正因数的个数．例如，，则______．答案：解析：思路：将分解质因数，取质因数的不同组合即可求解.解答过程：将分解质因数：，而也为因数，则所有正因数为：，共个.14.设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列，则的最大值为__________．答案：解析：思路：由前项和公式推出每连续三项的和.将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值.解答过程：令，由题意得，因此每个三项块的和为.设这9项为，记.由于，且完整三项块和均为正，下面按除以3的余数讨论.若，这9项正好包含三个完整三项块，得，，，于是且，矛盾，故这种起点不存在.若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以.若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以.综上，所以，即的最大值为.四、解答题：共5小题，满分77分.解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述.15.如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是棱的中点．（1）证明：平面．（2）证明：平面.答案：（1）∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面.∵四边形是菱形，∴.又平面，平面平面，∴平面．（2）取棱的中点，连接.∵分别是棱的中点，∴∥，∥.∵∥，∴∥.∵平面，平面，∴∥平面；同理由∥，得∥平面.∵平面，∴平面∥平面；又平面，∴∥平面.解析：思路：（1）由平面与平面垂直的性质定理可得平面，再由平面与平面垂直的判定定理得平面平面，最后由平面与平面垂直的性质定理得平面；（2）取棱的中点，连接，由平面与平面平行的判定定理得平面∥平面，进而证得∥平面.（1）略（2）略16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，且，求的值．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）由正弦定理和辅助角公式得，求出；（2）由正弦定理和余弦定理得，开方可得答案（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，即，，又，所以，所以，所以；（2）由（1）知，，又，则由正弦定理得．由余弦定理可得，所以，所以，根据正弦定理得，，因为，则，所以，所以．17.某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍．（1）求的值；（2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望；（3）若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率．答案：（1）（2）分布列为：0123（3）解析：解答过程：（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为，因为，，其中，因为，所以，所以，解得；（2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为，因为随机变量可以取，其中，，，，所以的分布列用表可以表示如下：0123所以．另解：因为，所以．（3）设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，其中至少有一个是二等奖“合资”，设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，抽到的3个签中恰有两个一等奖．则所求问题即为：事件发生条件下发生的概率，由（1）知，6个标记二等奖的标签中，有3个标记“国产”，有3个标记“合资”，则，，所以所以已知其中至少有一个是二等奖“合资”，抽到的3个签中恰有两个一等奖的概率为.18.已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点．（1）写出曲线的方程；（2）若以为直径的圆经过原点，求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）曲线上动点满足，得出，求出几何量，即可得到椭圆的方程；（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及，即可求得结论．（1）由题意知曲线是椭圆，设椭圆的焦半距为，则由题设，得，，所以，故所求椭圆的方程为；（2）若以为直径的圆经过原点，设点，，，，将直线的方程代入，并整理，得，则，．因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，所以，即．又，于是，解得，，当时，，符合条件，所以以为直径的圆经过原点，．19.已知函数．（1）当时，证明：．（2）若恒成立，求的取值范围．（3）若有两个极小值点，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数的最大值．答案：（1）由题意得函数的定义域为．当时，，求导得，令，求导得，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，又，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，，故成立．（2）（3）解析：思路：（1）构造函数并利用导数判断单调性，进而证明不等式即可.（2）对原函数合理同构得到，再转化为，最后结合分离参数法求解最值即可.（3）建立方程关系