陕西省咸阳市永寿县中学2025-2026学年高一第二学期5月练习数学试题 含答案解析

数学一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组向量中，能作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，2.直角梯形中，，现采用斜二测画法，若平面直角坐标系的x轴平行于上、下底边，则直角梯形的直观图的面积为（）A.2 B. C.4 D.3.已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则4.复数，且为纯虚数，则可能的取值为（）A. B. C. D.5.一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.6.如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（）A. B. C.2 D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.在正方体中，点为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法正确的个数是（）①②三棱锥的体积为定值③过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形④与平面所成角的正弦值最大为A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分.9.若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（）A. B.C.的虚部是 D.复数在复平面内对应的点在第一象限10.正方体中，，分别是正方形和正方形的中心，正方体的棱长为，则下列说法正确的有（）A.直线与直线是相交直线 B.直线与直线是相交直线C.平面 D.点到平面的距离为11.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则是锐角三角形B.在中，，，若三角形有唯一解，则或C.若，则为钝角三角形D.若为锐角三角形，且，则的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用，表示，则____________________.13.半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为______．14.如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，给出下列四个结论：①平面；②与的夹角为定值；③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为1.其中所有正确结论的序号是________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，记在方向上的投影向量为．（1）求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．16.如图，在四棱锥中，.（1）求证：平面平面；（2）若分别为的中点，求证：平面平面.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）函数图象上的所有点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值以及取得最小值时的值；（3）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围.18.已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）若，，求的周长；（2）若的面积为，为边的中点，求长的最小值；（3）若，求锐角周长的取值范围.19.如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.其中，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）为上的动点，以为直径作球，设，若球与平面相交得到的截面的面积为，求的最小值.

数学一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组向量中，能作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：解答过程：对于A，根据基底的定义，不可能有零向量作为基底，错，对于B，显然，即，共线，故不能作为基底，错，对于C，显然，即，共线，故不能作为基底，错，对于D，不存在实数使成立，故，不共线，可作为基底，对.2.直角梯形中，，现采用斜二测画法，若平面直角坐标系的x轴平行于上、下底边，则直角梯形的直观图的面积为（）A.2 B. C.4 D.答案：C解析：思路：由原图与直观图的关系即可求解.解答过程：如图，由直观图的画法可知直角梯形的直观图是梯形，且高为，所以梯形的面积为.故选：C.3.已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案.解答过程：对于A，若，，则或与异面，故A错误；对于B，若，，则或与异面或与相交，故B错误；对于C，若，过作平面，使得，则，因为，，则，又，则，故C正确；对于D，若，，则或或与相交，故D错误.故选：C.4.复数，且为纯虚数，则可能的取值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数代数形式的乘法运算、二倍角公式化简，再复数的概念得到，结合余弦函数的性质求出，即可得解.解答过程：因为，所以，因为为纯虚数，所以，所以，，所以，.故选：B5.一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据正四棱台的几何性质和体积计算公式，求出几何体体积.解答过程：如图所示，正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，侧棱长为1，作斜截面,上下底面为正方形，则，，，，，过作正四棱台的高，可知，所以，在直角中，根据勾股定理可知.则正四棱台的体积.6.如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（）A. B. C.2 D.答案：A解析：思路：由条件结合内角和公式求，，在，中，分别利用正弦定理求，在中，利用余弦定理求.解答过程：因为，所以，，，在中，由正弦定理可得，则．在中，由正弦定理可得，则．在中，由余弦定理可得，则．7.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据两角和的正弦公式，化简已知条件，再根据余弦的二倍角公式，求出结果.解答过程：，．故选：A.8.在正方体中，点为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法正确的个数是（）①②三棱锥的体积为定值③过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形④与平面所成角的正弦值最大为A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：由正方体性质知垂直关系可判断①，作截面判断③，由等体积法判断②，求出线面角的正弦值，得最大值判断④．解答过程：由正方体性质可知平面，平面，所以，故①正确：令为到平面ACD1的距离，又，不在平面ACD1内，在平面ACD1所以平面ACD1，又在线段上，故为定值，由等体积法得为定值，故②正确；根据正方体性质知，当延长线与棱相交时，截面为三角形，当延长线与棱相交时，截面为梯形，③错误；在正方体中，连接，则为DP在平面上的射影，则为DP与平面所成的角，设正方体的棱长为1，，则，，当x取得最小值时，的值最大，即时，x的值最小为，所以的值最大为，④正确，二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分.9.若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（）A. B.C.的虚部是 D.复数在复平面内对应的点在第一象限答案：ABD解析：思路：利用复数的除法运算求出及，再逐项计算判断得解.解答过程：依题意，，则，对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，的虚部是，C错误；对于D，复数在复平面内对应的点在第一象限，D正确.10.正方体中，，分别是正方形和正方形的中心，正方体的棱长为，则下列说法正确的有（）A.直线与直线是相交直线 B.直线与直线是相交直线C.平面 D.点到平面的距离为答案：ACD解析：思路：结合正方体的性质，通过判断线线位置关系、线面平行、点到平面的距离，逐一分析选项.解答过程：选项A：直线是上底面中与中心的连线，延长后过点；直线是侧面中与中心的连线，延长后也过点，两直线交于公共点，是相交直线，A正确；选项B：点都在对角面内，点在侧面上，不在平面内，根据异面直线判定定理，直线与是异面直线，B错误；选项C：连接，又，分别是正方形和正方形的中心，故是的中位线，，又平面，故平面，C选项正确；选项D：连接，由正方体性质可得：平面，又平面，故，又正方形的对角线互相垂直且平分，故，即，平面，可得平面，平面平面，即平面，故是四面体的高，则，正方体的棱长为，对角线长度为，，，，，设点到平面的距离为，则，三条边均为对角线，故是边长为的等边三角形，的高，，即，D正确.11.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则是锐角三角形B.在中，，，若三角形有唯一解，则或C.若，则为钝角三角形D.若为锐角三角形，且，则的最小值为答案：BCD解析：思路：对A，根据数量积公式，可得，分析可判断A的正误；对B，根据条件，借助图形得到或，即可判断B的正误；对C，根据同角三角函数的关系及正弦、余弦定理，可得，即可判断C的正误；对D，根据诱导公式、同角三角函数的关系，可得的表达式，利用换元法，结合基本不等式，即可判断D的正误.解答过程：对于A，由向量数量积的定义得，则，即A为锐角，但不确定B，C是否是锐角，所以不一定是锐角三角形，故A错误.对于B，如图，过C作所在直线于，则，又，且三角形有唯一解，则或，即或，所以B正确，对于C，因为，所以，得到，由正弦定理，得，即.由余弦定理，得，则为钝角三角形，故C正确.对于D，因为，又，则，所以，所以.因为为锐角三角形，所以，所以.令，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用，表示，则____________________.答案：解析：解答过程：在中，由是的中点，，得，所以13.半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为______．答案：解析：思路：作出正方体的对角面，截半球得半个大圆，由此图形求得半球半径与正方体棱长的关系，从而可得表面积之比．解答过程：如图，是半球的截面，截正方体的对角面，矩形是半圆的内接矩形，设半球半径为，正方体棱长为，则，，半球表面积为，正方体的表面积为，所以．故答案为：．14.如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，给出下列四个结论：①平面；②与的夹角为定值；③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为1.其中所有正确结论的序号是________.答案：①③④解析：思路：利用中位线性质以及线面平行判定定理判断①，由①中的结论可知与的夹角即为的补角，计算可得判断②；易知当平面时，三棱锥体积最大值为判断③；结合①中的分析可得点的轨迹与点轨迹相同,根据翻折规则可求得点的轨迹是半径为的半圆判断④.解答过程：取的中点为，连接，如下图所示：由为的中点，可得，且；又为边的中点，所以，且，即；即可得四边形为平行四边形，所以，又平面，平面,因此平面，①正确；由①可知与的夹角即为与的夹角，由菱形性质及题干条件，可知，，在中，，所以；因此与的夹角即为的补角，即与的夹角为定值，②错误；结合①②分析可知，当平面时，三棱锥体积最大，此时，③正确；结合①中的分析可知，点的轨迹与点轨迹相同，在翻折过程中，点由的中点翻折到的中点过程中，其轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆，即点的轨迹是半径为的半圆，所以在平面的射影的轨迹为圆的直径，则点的轨迹的长度为1，④正确.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，记在方向上的投影向量为．（1）求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）且解析：思路：（1）先将求出来，后按照求模长公式求即可.（2）与的夹角为锐角，则，再排除同向共线的即可．（1）与的夹角为，在方向上的投影向量．（2）与的夹角是锐角，，且与不能同向共线，即，当与同向共线时，设，得.且．16.如图，在四棱锥中，.（1）求证：平面平面；（2）若分别为的中点，求证：平面平面.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）可以证明，结合，线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；（2）延长交于，由中位线定理可证，以及，再结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证.（1）因为，所以.又因为平面平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）延长交于，因为分别为中点，所以，又平面平面，所以平面.因为，所以，又为中点，所以，注意到，所以，所以.又因为，所以为中点，所以.又因为平面平面，所以平面.因为平面平面，所以平面平面.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）函数图象上的所有点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值以及取得最小值时的值；（3）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围.答案：（1）（2）最小值为，此时（3）解析：思路：（1）由图象最高点和零点坐标求出、及，代入最高点坐标求.（2）根据三角函数图象变换规律求出的解析式，结合余弦函数性质求最值.（3）利用换元法将零点问题转化为方程根的问题，结合正弦函数图象确定参数范围.（1）由图象可知，.设函数的最小正周期为，由图象可知，，解得.因为，所以.将点代入，得，即.所以，解得.不妨取，得，得函数的解析式为.（2）将的图像向左平移个单位，得，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得：，当时，，当，即时，取得最小值，此时的最小值为.（3）由，得：，设，当时，方程在内的解为t=π6+2kπ (k∈Z)，或在内，有且仅有两个解，即：，解得：.18.已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）若，，求的周长；（2）若的面积为，为边的中点，求长的最小值；（3）若，求锐角周长的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先化简并由求出，应用正弦定理求得，再应用余弦定理列方程求，结合确定其值，即可得；（2）由面积公式得，利用中线向量公式，结合均值不