西藏自治区昌都市高中联考2025-2026学年高二第二学期期末质量监测考试数学试题 含答案解析

数学本试卷共2页，19小题，满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.复数z满足，则（）A. B. C. D.23.设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（）A. B. C.3 D.54.现有名志愿者在五一放假三天里，到公园去服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务的安排方案有（）种A. B. C. D.5.已知向量，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.6.若，则的值为（）A. B. C. D.7.若正四棱台的侧棱长为，上，下底面边长分别为2和4，则该四棱台的体积是（）A.28 B.32 C.48 D.848.设是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆和圆，则下列说法正确的是（）A.圆与圆有四条公切线B.点为圆上一动点，的最大值为C.圆与圆的公共弦所在直线方程为D.圆与圆的公共弦长为10.在中，角所对的边分别为，且，则（）A.B.为钝角三角形C.的面积为4D.外接圆的面积为11.已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（）A. B.准线方程C.点或 D.以为直径的圆与抛物线的准线相切三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中常数项为________.13.长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________．14.已知函数有两个零点，则的取值范围是_________.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某地区随机抽取5家超市，得到其某1年的广告支出与销售额数据如下表：超市i12345广告支出/万元35462销售额/万元2227242819（1）求y关于x的经验回归方程；若该地区的A超市在同一年的广告支出4.5万元，推断A超市该年的销售额约为多少万元？（2）若从统计表中的5家超市中随机抽取2家，记销售额不低于24万元的超市家数为X，求X的分布列与均值．参考公式与数据：在经验回归方程中，，，，．16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的大小．17.已知等比数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）已知是等差数列的首项，和的等差中项是，求数列的通项公式及数列前n项和．18.已知椭圆：的右焦点，短轴长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）记O为坐标原点，直线与椭圆C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D.（ⅰ）求证：直线恒过定点；（ⅱ）求面积的最大值.19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的零点个数，并说明理由；（3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值．

数学本试卷共2页，19小题，满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，而，则.2.复数z满足，则（）A. B. C. D.2答案：B解析：解答过程：∵，∴，∴.3.设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（）A. B. C.3 D.5答案：B解析：解答过程：由题意可知双曲线的渐近线方程为，直线与双曲线的一条渐近线平行，则，又，则所以的离心率为．4.现有名志愿者在五一放假三天里，到公园去服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务的安排方案有（）种A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用分组分配的方法，结合分步乘法计数原理分析计算即可解答过程：第一步：分组，从名志愿者中任选人作为一组，剩余人各自为一组，方法有：种，第二步：分配，将分好的三组分配到假期的三天，方法有：种，所以假期的三天里，公园每天都有志愿者服务的安排方案有：种.5.已知向量，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对两边平方化简可得答案.解答过程：，，，解得，又，，即与的夹角为.故选：D.6.若，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得.解答过程：由，得.故选：B7.若正四棱台的侧棱长为，上，下底面边长分别为2和4，则该四棱台的体积是（）A.28 B.32 C.48 D.84答案：A解析：思路：首先利用侧棱长、上下底面对角线半长的差和高构成直角三角形求高，再代入体积公式计算.解答过程：上底边长为，对角线长为，半对角线长为；下底边长为，对角线长为，半对角线长为.侧棱长、高、半对角线长的差构成直角三角形，侧棱长为，因此，解得，即.，，则.因此该四棱台体积为.8.设是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值.解答过程：因为，所以函数的对称轴为.又因为函数是偶函数，所以轴为其一条对称轴.所以函数的最小正周期为.所以二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆和圆，则下列说法正确的是（）A.圆与圆有四条公切线B.点为圆上一动点，的最大值为C.圆与圆的公共弦所在直线方程为D.圆与圆的公共弦长为答案：BCD解析：思路：根据圆心距和两圆半径的比较，即可得出两圆相交，判断选项A，由对称性判断B，联立两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，判断C，利用点到直线的距离公式和勾股定理即可求解公共弦长判断选项D.解答过程：对于A：由题知，，，，，则，又，即，所以圆与圆相交，有两条公切线，A错；对于B：点为圆上一动点，则的最大值为，故B正确；对于C：联立得，故圆与圆的公共弦所在直线方程为，C正确；对于D：点到的距离为，所以圆与圆的公共弦长为，D正确.故选：BCD10.在中，角所对的边分别为，且，则（）A.B.为钝角三角形C.的面积为4D.外接圆的面积为答案：ABD解析：思路：由余弦定理计算判断A；根据大边对大角结合余弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；根据正弦定理计算判断D.解答过程：对于A，由余弦定理知，因为，所以，A正确；对于B，因为，所以最大，由余弦定理知，所以，故为钝角三角形，B正确；对于C，的面积，C错误；对于D，因为，所以外接圆的半径，所以外接圆的面积为，D正确.11.已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（）A. B.准线方程C.点或 D.以为直径的圆与抛物线的准线相切答案：AC解析：解答过程：抛物线的焦点，，，故A正确.准线方程为，故B错误.因为A为抛物线上的一点，，所以，解得，所以，解得，所以点或，故C正确.不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为，所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中常数项为________.答案：240解析：思路：先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的常数项.解答过程：展开式的通项公式令,所以的展开式的常数项为,故答案为.方法提示：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13.长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________．答案：解析：思路：利用长方体的体对角线就是外接球直径，从而可求球的表面积.解答过程：由题可得：，因为长方体的外接球的一条直径是，所以外接球的半径为，由球的表面积公式可得：，故答案为：14.已知函数有两个零点，则的取值范围是_________.答案：解析：思路：将问题转换为的图象与的图象有两个交点，利用导数分析函数单调性、极值情况即可求解.解答过程：，令，求导得，而，所以在上单调递增，在上单调递减，而当时，，当时，，且有极大值，所以若函数有两个零点，则的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某地区随机抽取5家超市，得到其某1年的广告支出与销售额数据如下表：超市i12345广告支出/万元35462销售额/万元2227242819（1）求y关于x的经验回归方程；若该地区的A超市在同一年的广告支出4.5万元，推断A超市该年的销售额约为多少万元？（2）若从统计表中的5家超市中随机抽取2家，记销售额不低于24万元的超市家数为X，求X的分布列与均值．参考公式与数据：在经验回归方程中，，，，．答案：（1），25.15万元（2）解析：X012P（1）计算样本均值：，，由最小二乘法公式计算回归系数：，，因此线性回归方程为，将代入方程得：，即A超市该年销售额约为万元.（2）由题意得，5家超市中销售额不低于24万元的共3家，低于24万元的共2家，X的所有可能取值为0，1，2，X服从参数，，的超几何分布，则，，，则X的分布列是：X012P均值：．16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的大小．答案：（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，底面ABCD为正方形，，，平面PBD，平面PBD，所以平面PBD，平面PBD，所以，平面ABCD，平面ABCD，所以，在中，，，又点E为线段PO中点，所以，因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC；（2）解析：思路：（1）根据线面垂直的判定定理以及性质证明即可.（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求解即可.（1）略（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，，，设平面PBC的一个法向量为，则，即，令，则，所以．由（1）可知，为平面PAC的法向量，设平面PAC与平面PBC夹角为，则，又，所以，即平面PAC与平面PBC夹角为．17.已知等比数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）已知是等差数列的首项，和的等差中项是，求数列的通项公式及数列前n项和．答案：（1）（2），解析：思路：（1）利用等比数列的通项公式求解.（2）利用的通项公式求出的通项公式，再由错位相减方法求出的前项和.（1）设的公比为q，所以即，解得，所以．（2）设的公差为d，由题干及（1）得，，因为和的等差中项是，所以，解得，所以，所以，∴…①…②①－②：，．18.已知椭圆：的右焦点，短轴长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）记O为坐标原点，直线与椭圆C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D.（ⅰ）求证：直线恒过定点；（ⅱ）求面积的最大值.答案：（1）（2）（i）证明见解析；（ii）解析：思路：（1）由椭圆的焦点及短轴列式计算求解得出从而可得的方程；（2）（i）将与直线方程联立可得，直线，令，结合韦达定理求证即可；（ii）设，则，记，则，结合基本不等式计算求解.（1）依题意可知，解得，椭圆的标准方程为.（2）（i）设，依题意，得，，所以，即得直线的方程为：①.由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上，所以令代入①，可得，由（*）得，所以得，所以直线恒过定点.（ii）由（i）可知直线恒过定点，所以，将（*）代入得，设，则.因为，所以，所以，当且仅当时取面积的最大值.19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的零点个数，并说明理由；（3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值．答案：（1）（2）函数的零点个数为2．，理由如下：因为，定义域是，所以．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，．因为，，所以由函数零点