新疆第三师图木舒克市第一中学2025-2026学年高一第二学期综合素养测评数学试题 含答案解析

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知：，则的共轭复数（）A. B. C. D.2.若某校高三一班一组同学的数学测验成绩分别为145，120，124，125，135，130，120，140．则这组成绩的第75百分位数是（）A.122 B.135 C.137.5 D.1403.在中，，，，则（）A.30° B.45° C.135° D.45°或135°4.若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则5.已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（）A. B. C. D.6.如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上的点数.设事件“两个点数之和等于8”，事件“至少有一颗骰子的点数为3”，则事件的概率是（）A. B. C. D.8.已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（）A.8 B. C. D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.是方程的一个根 B.的共轭复数的虚部是C. D.表示的点在第一象限10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（）A. B.B与C互斥C.A与B相互独立 D.A与D互为对立11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（）A.存在点Q，使平面MBNB.不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面C.三棱锥的体积是定值，为D.经过C，M，B，N四点的球的表面积三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为____．13.某班级举行套玩具趣味游戏，奖品只有拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物，分三堆摆放（每堆一个种类，个数足够），每人三个圈，一个圈只能在一堆奖品套一次．小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品的概率依次为，则小麟同学恰好套中两个奖品的概率为______．14.在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，则的取值范围为______．四、解答题：解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．16.如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点.设，.（1）用，表示，；（2）若，，，求与的夹角的余弦值.17.某市为了解人们对火灾危害的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次消防知识竞赛，满分为100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，将这人按年龄分成组，其中第一组为，第二组为，第三组为，第四组为，第五组为，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）利用频率分布直方图，估计这名市民年龄的平均数和第74百分位数；（3）现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取6人担任本市的消防安全宣传使者，再从中随机抽取人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率．18.在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若，，求边上的角平分线长；（3）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面．（1）证明：平面；（2）求的值；（3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知：，则的共轭复数（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，所以.2.若某校高三一班一组同学的数学测验成绩分别为145，120，124，125，135，130，120，140．则这组成绩的第75百分位数是（）A.122 B.135 C.137.5 D.140答案：C解析：思路：根据百分位数的定义求解.解答过程：将这组数据从小到大排列为120，120，124，125，130，135，140，145，共8个数，由，则其第75百分位数为第6和第7个数的平均数，为．故选：C3.在中，，，，则（）A.30° B.45° C.135° D.45°或135°答案：B解析：思路：利用正弦定理求出sinB的值，再结合大边对大角的性质排除不符合题意的解，即可得到角B的大小.解答过程：在中，，，，由正弦定理得,所以，得，因为，所以，因为，所以.4.若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则答案：A解析：思路：利用线面位置关系的判断及性质定理逐项分析即可.解答过程：选项A，若，，，，根据面面垂直的性质定理可得：，故A选项正确；选项B，若，，则直线与直线可能平行，可能异面，故B选项不正确；选项C，若，，则直线与直线可能平行，可能相交，也可能异面，故C选项不正确；选项D，若，，，则直线与直线可能平行，可能相交（包括垂直），也可能异面，故D选项不正确；故选：A.5.已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设有个数据，则原数据总和为，引入数据后，新总和为，因此新平均数x=20(n+1)原样本方差为，根据方差定义，可得原数据的离均差平方和.添加数据后，新增偏差平方项，因此新方差.由于，因此.6.如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可.解答过程：取的中点，连接因为分别为的中点，所以,且,所以四边形为平行四边形，则,所以异面直线与所成角为（或其补角）,不妨假设正方体的边长为,则,,,,所以在中，由余弦定理可得：,所以异面直线与所成角的余弦值为7.抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上的点数.设事件“两个点数之和等于8”，事件“至少有一颗骰子的点数为3”，则事件的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据古典概型的方法分析概率即可.解答过程：由题意，抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，所有可能的情况有种，设两个点数分别为，则满足题意的情况有：共14种情况，故事件的概率是.故选：A8.已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（）A.8 B. C. D.2答案：C解析：思路：利用圆锥的体积公式及侧面积公式，及圆锥的外接球半径求法，即可得解.解答过程：设两个圆锥的母线长分别为，高分别为，底面圆的半径分别为，对应圆锥的外接球半径分别为，由题可得，，同理得：，由，得又，化简得，，故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.是方程的一个根 B.的共轭复数的虚部是C. D.表示的点在第一象限答案：BCD解析：解答过程：因为，对应的点在第一象限，所以，.所以BCD正确；又，所以不是方程的一个根，故A错误.10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（）A. B.B与C互斥C.A与B相互独立 D.A与D互为对立答案：ACD解析：思路：利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D．解答过程：设2个白球为，，2个黑球为，则样本空间为：，共12个基本事件.事件，共4个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共8个基本事件，对于A，由，故A正确；对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误；对于C，因为，，，则，故事件A与B相互独立，故C正确；对于D，因为，，所以事件A与D互为对立，故D正确.11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（）A.存在点Q，使平面MBNB.不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面C.三棱锥的体积是定值，为D.经过C，M，B，N四点的球的表面积答案：AC解析：思路：利用立体几何点线面的位置关系及求体积表面积知识对选项逐一判断即可.解答过程：对于选项A，若点是的中点，则，又因为,所以.因为面,面所以面.故选项A正确.对于选项B，当点与重合，此时，,又因为，所以故四点共面，所以选项B不正确.对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且.所以.故选项C正确.对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为长方体的外接球.因为该长方体的长宽高分别为.所以.所以.故选项D不正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为____．答案：解析：解答过程：因为向量，，则，，所以向量在向量的方向上的投影向量的坐标为.13.某班级举行套玩具趣味游戏，奖品只有拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物，分三堆摆放（每堆一个种类，个数足够），每人三个圈，一个圈只能在一堆奖品套一次．小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品的概率依次为，则小麟同学恰好套中两个奖品的概率为______．答案：##0.25解析：思路：恰有两个奖品被套中，对应三种组合（缺拉布布、缺小熊或缺吉祥物），分别计算每种组合的概率并相加即可.解答过程：记小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品为事件,,,所以小麟同学恰好套中两个奖品的概率为14.在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，则的取值范围为______．答案：解析：思路：先由面积公式和余弦定理求出，从而得到．再由余弦定理把化为，最后利用为锐角三角形确定端点能否取到．解答过程：由三角形面积公式得由余弦定理得又，所以，即因为为锐角三角形，所以为锐角，则，从而由余弦定理得令，则，且因为为锐角三角形，所以，．由，得又，所以则，则同理，由，得代入，得则，则所以根据对勾函数性质知在上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，；当时，，故因此的取值范围为四、解答题：解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．答案：（1）证明：因为，，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面．（2）取的中点为，又为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，即，又因为平面，平面，所以平面．解析：思路：（1）先证垂直平面内两条相交直线、，再由线面垂直判定定理推出平面；（2）取中点，利用中位线证得平行四边形，得到线线平行，再用线面平行判定定理证平面（1）略（2）略16.如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点.设，.（1）用，表示，；（2）若，，，求与的夹角的余弦值.答案：（1）,（2）解析：思路：（1）利用向量的三角形法则即可求解（2）根据向量夹角公式即可求解；（1）因为点是的中点，点，分别是，的四等分点所以，因为，.所以（2）因为，，，所以，所以，令与的夹角为，所以与的夹角的余弦值为.17.某市为了解人们对火灾危害的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次消防知识竞赛，满分为100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，将这人按年龄分成组，其中第一组为，第二组为，第三组为，第四组为，第五组为，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）利用频率分布直方图，估计这名市民年龄的平均数和第74百分位数；（3）现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取6人担任本市的消防安全宣传使者，再从中随机抽取人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率．答案：（1）（2），（3）解析：思路：（1）根据频率之和为1即可列方程求解；（2）直接根据频率分布直方图求解平均年龄与第74百分位数；（3）由题意第三、四、五组中需依次选取人，由古典概型、对立事件概率计算公式即可求解.（1）由题意，解得；（2）设这m人的平均年龄为，则岁，设第74百分位数为b，因为，，所以第74百分位数在之间，由，解得;（3）若现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取6人担任本市的消防安全宣传使者，则从第三、四、五组中需依次选取人，再从中随机抽取人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率为.18.在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若，，求边上的角平分线长；（3）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）根据正弦定理和余弦定理，即可求解；（2）由余弦定理得，结合三角形面积公式，即可求得；（3）利用三角形垂心的性质，可求得，，结合三角函数的性质，即可求得的取值范围.（1）由已知，得，即，根据正弦定理，可得，