云南省昆明市2025-2026学年高一第二学期期末质量检测数学试题 含答案解析

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.自动流水线包装的袋装食盐，每袋标准质量是，规定质量误差为测量质量与标准质量之差．在一次产品检验中，随机抽取若干袋食盐，记录质量误差，绘制如图所示的“质量误差”与“对应频率”的频率分布直方图，则其中位数是（）A.-1 B.-0.5 C.0 D.0.57.在等腰梯形中，，，，若，则（）A. B. C. D.8.原样本，8，，，的平均数是8，方差是，原样本添加一个数据8组成新样本的方差为，原样本剔除一个数据8组成新样本的方差为，则、、的大小关系为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.10.抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，观察落地时朝上的面的点数，记随机事件“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数小于3”，“点数大于3”，则（）A.与互为对立事件 B.与互斥C.是必然事件 D.与相互独立11.圆锥的轴截面是边长为的正三角形，，是底面圆的两条相互垂直的直径，A，B分别为线段，的中点，球O是圆锥内可放入的最大的球，则（）A.圆锥的母线与底面的所成角是B.异面直线与所成角为C.球的表面积为D.平面截球所得的截面周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，，若，则________．13.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为9，则________．14.已知且，函数若的图象与直线有两个交点，则a的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面是矩形，M是的中点．（1）求证：平面；（2）若平面，，求证：．16.某商场对购物的顾客提供一次抽奖机会．在不透明盒子中装入6个小球，其中4个黄球，2个红球，小球除颜色外其它均相同．顾客选择下面两种抽取方式中的一种，从盒子中抽取2个球．方式一：一次性抽取2个球；方式二：先抽取1个球，记录颜色后，放回盒子中，再抽取一次．中奖规则为：抽取的2个小球至少有一个红球则中奖，否则不中奖．（1）若顾客选择方式一，求中奖的概率；（2）哪种抽取方式的中奖概率更大，请说明理由．17.已知函数（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，（）且满足，求实数m的取值范围，及的值．18.已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的最小值；（3）若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围．19.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，所有半正多面体均可由正多面体切割而来，体现了数学的对称美．如图，是一个棱长为4的正方体，点，，，，…，，，均在正方体的棱上，设（），同时用平面，平面，…，平面去截正方体，由这八个平面和正方体的六个面所围成的十四面体记为．（1）若几何体是由正三角形和正八边形构成的半正多面体，求x；（2）当时，若几何体的表面积为，判断并说明是否为半正多面体；（3）当时，是否存在x使得几何体为半正多面体，若存在，求出的体积；若不存在，说明理由．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：．2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，，所以.3.已知则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据解分式不等式的方法，结合充分不必要条件的定义进行判断即可.解答过程：或，显然由p一定能推出q，但是由q不一定能推出p，所以p是q的充分不必要条件，故选：A4.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由函数的单调性及零点存在性定理即可得解.解答过程：由题意，函数在R上单调递增，且，，，所以函数的零点所在的一个区间是.故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，所以.6.自动流水线包装的袋装食盐，每袋标准质量是，规定质量误差为测量质量与标准质量之差．在一次产品检验中，随机抽取若干袋食盐，记录质量误差，绘制如图所示的“质量误差”与“对应频率”的频率分布直方图，则其中位数是（）A.-1 B.-0.5 C.0 D.0.5答案：B解析：思路：利用频率累计到所对应的误差值，即是中位数.解答过程：频率分布直方图中，区间：频率，累计频率，区间：频率，累计频率，区间：频率，累计频率，因此中位数落在区间内。设中位数为，累计到的频率为，则：

，

解得：，所以中位数为.7.在等腰梯形中，，，，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用为基底，表示，利用向量数量积的运算法则求值即可.解答过程：如图：等腰梯形中，，所以，又，，所以.8.原样本，8，，，的平均数是8，方差是，原样本添加一个数据8组成新样本的方差为，原样本剔除一个数据8组成新样本的方差为，则、、的大小关系为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用方差的公式进行求解判断即可.解答过程：因为原样本共个数据，其平均数，所以方差，添加数据8后的新样本共个数据，新平均数仍为，因此：

，剔除数据8后的新样本共个数据，新平均数仍为，因此：

，因为，所以，即，当且仅当时，取等号.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.答案：AC解析：解答过程：对于A，是奇函数且在上是增函数，A正确；对于B，是奇函数且分别在和上是增函数，B错误；对于C，是奇函数且在上是增函数，C正确；对于D，是偶函数，D错误．10.抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，观察落地时朝上的面的点数，记随机事件“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数小于3”，“点数大于3”，则（）A.与互为对立事件 B.与互斥C.是必然事件 D.与相互独立答案：BCD解析：思路：由古典概型的概率公式得到各个事件的概率，利用对立事件的性质判断A，利用互斥事件的性质判断B，利用必然事件的性质判断C，利用独立事件的性质判断D即可.解答过程：由题意得抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，共有6种等可能情况，由已知随机事件“点数为奇数”，可得，“点数为偶数”，可得，“点数小于3”，可得，而“点数大于3”，可得，对于A，而，则与不互为对立事件，故A错误，对于B，由已知事件是不可能事件，结合互斥事件的定义可得与互斥，故B正确，对于C，由题意得，则，可得是必然事件，故C正确，对于D，由题意得，满足，由独立事件的性质得与相互独立，故D正确.11.圆锥的轴截面是边长为的正三角形，，是底面圆的两条相互垂直的直径，A，B分别为线段，的中点，球O是圆锥内可放入的最大的球，则（）A.圆锥的母线与底面的所成角是B.异面直线与所成角为C.球的表面积为D.平面截球所得的截面周长为答案：ABD解析：思路：作出线面角，利用定义法判断A，连接，证得平面，得到，进而得到线线角大小可判定B，结合题意求解球的半径，进而求解表面积判断C，利用等体积法求出到面的距离，再利用勾股定理求出截面的半径，最后求出周长即可.解答过程：对于A，如图，作出符合题意的图形，连接，由三线合一性质得底面圆，且，由线面角的定义可得圆锥的母线与底面的所成角是，由三角函数的定义得，可得，故A正确，对于B，如图，作出符合题意的图形，连接，可得，异面直线与所成角为或其补角，且，由，且，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为等腰直角三角形，所以，故B正确，对于C，由已知得，由题意得是等边三角形的中心，则，设球的半径为，则，可得，解得，由球的面积公式得面积为，故C错误，对于D，如图，作出符合题意的图形，连接，由题意得到面的距离为，且的面积为，由棱锥的体积公式得，而的面积为，设到面的距离为，则，解得，由勾股定理得截面圆的半径为，由圆的弧长公式得截面的周长为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，，若，则________．答案：10解析：解答过程：因为，所以，所以.13.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为9，则________．答案：解析：思路：先用正弦定理求出边，再由三角形面积公式求出，结合锐角三角形条件得，最后用余弦定理求.解答过程：，由正弦定理得，，解得.三角形面积，代入，解得：为锐角三角形，故，，故.14.已知且，函数若的图象与直线有两个交点，则a的取值范围是________．答案：解析：思路：分、，结合交点个数及函数特性求参数的范围即可．解答过程：当时，时，单调递减，且，此时的图象与直线有一个交点；时，单调递减，且，此时的图象与直线没有交点；时，单调递增，且，又的图象与直线有两个交点，所以，此时的图象与直线有一个交点，，解得，又，，当时，时，单调递增，且，此时的图象与直线没有交点；时，单调递增，且，，此时的图象与直线有一个交点，时，单调递增，则，又的图象与直线有两个交点，所以，此时的图象与直线有一个交点，，解得，综上，．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面是矩形，M是的中点．（1）求证：平面；（2）若平面，，求证：．答案：（1）连接交于点O，连接，因为底面是矩形，所以O为中点，又M是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，平面，所以，因为是矩形，所以，因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，因为，且M是的中点，所以，因为，且平面，所以平面，又平面，所以．解析：思路：（1）利用矩形对角线中点特性，连接交点，构造中位线，证，结合线面平行判定定理完成证明；（2）先由垂直底面证平面得，再由，且为中点得，推出平面，最终证．（1）略（2）略16.某商场对购物的顾客提供一次抽奖机会．在不透明盒子中装入6个小球，其中4个黄球，2个红球，小球除颜色外其它均相同．顾客选择下面两种抽取方式中的一种，从盒子中抽取2个球．方式一：一次性抽取2个球；方式二：先抽取1个球，记录颜色后，放回盒子中，再抽取一次．中奖规则为：抽取的2个小球至少有一个红球则中奖，否则不中奖．（1）若顾客选择方式一，求中奖的概率；（2）哪种抽取方式的中奖概率更大，请说明理由．答案：（1）（2）方式一中奖概率更大，理由如下：采用方式二抽取，所有等可能的结果，．记“顾客选择方式二且中奖”为事件B，则，，所以．因为，所以顾客选择方式一中奖概率更大．解析：解答过程：将四个黄球编号为1，2，3，4，两个红球编号为5，6．（1）采用方式一抽取，所有等可能的结果，．记“顾客选择方式一且中奖”为事件A，则，，所以，所以顾客选择方式一中奖的概率为．（2）略17.已知函数（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，（）且满足，求实数m的取值范围，及的值．答案：（1）（2），解析：思路：（1）正弦函数相邻对称中心间距为半个周期，先求得；再代入结合范围求初相；（2）先利用平移法则求出，换元划分单调区间，算出区间端点函数值；结合图像有两交点得范围，由对称轴性质求.（1）由题，得，所以，又，故，所以．由于，所以，又，所以，即．（2）由题．当时，则，由，得，故函数在上单调递增；由，得，故函数在上单调递减．又，，，由于，（）且，即在内的图象与直线有两个不同的交点，所以．由于的图象关于直线对称，所以．18.已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的最小值；（3）若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）将代入函数解析式，结合对数函数的定义域与单调性，将对数不等式转化为一元一次不等式求解，注意定义域对解集的限制.（2）将代入函数表达式化简，得到的定值关系，结合基本不等式即可求得的最小值，注意验证等号成立的条件.（3）首先根据对数函数的单调性确定在上的最大值与最小值，将题设不等式转化为关于的恒成立问题，求解对勾函数在上的最大值，再解关于的一元二次不等式，结合的限定条件得到的取值范围.（1）当时，的定义域为，因为，所以是增函数，即，所以，解得，所以的解集为．（2），所以，（），，因为，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2．（3）因为，所以是增函数，所以在上的最小值为，最大值为，，在的最大值与