云南省玉溪市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知，则（）A.1 B. C.2 D.2.设全集，集合，，则a的值是（）A.4 B.5 C.7 D.93.在正项等比数列中，，，则（）A. B. C. D.4.已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（）A.6.5 B.6 C.5.5 D.4.55.已知向量，若，则（）A. B.C. D.6.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（）A. B. C. D.7.若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（）A. B. C. D.8.已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p=（）A.1 B.2 C.3 D.4二、选择题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，，则10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（）A.椭圆的离心率为B.不存在点，使得C.的最大值为4D.使得为等腰三角形的点共有六个11.已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个实数根，，2，且，则（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数为______________（用数字作答）．13.记为等差数列的前项和，若，，则______________．14.在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求；（2）若，的面积为，求．16.如图，在四棱锥中，，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.17.甲乙两名同学进行羽毛球比赛，采用局胜制，先赢局者获胜，比赛结束．已知每局比赛相互独立，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为．（1）求甲以获胜的概率；（2）求比赛恰好打满局才分出胜负的概率；（3）若打完局时结束比赛，求获胜者是甲的概率．18.已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点．（1）求双曲线的方程；（2）已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知，则（）A.1 B. C.2 D.答案：D解析：思路：根据复数的除法计算公式化简，再求模.解答过程：，则.2.设全集，集合，，则a的值是（）A.4 B.5 C.7 D.9答案：A解析：解答过程：已知全集，，则，又，所以，解得．3.在正项等比数列中，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意设等比数列的公比为，，由，可得，又由，可得，解得或（舍去），故．4.已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（）A.6.5 B.6 C.5.5 D.4.5答案：B解析：解答过程：由一组数据1，2，，6，7的平均数为4，得，解得，将这组数据按照从小到大的顺序排列，得1，2，4，6，7共5个数据，由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6．5.已知向量，若，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．解答过程：因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．6.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得，，则，即，所以．7.若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由两个对称中心的最短距离为半个周期求得周期，然后得到的值，然后求得的值.解答过程：设函数的最小正周期为，由题意可知，可得，，则，故选：A.8.已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p=（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：设准线l与x轴交于点G，过B作,垂足为.求得确定是等边三角形，再利用抛物线的定义求得进而求得即可得的值.解答过程：设准线l与x轴交于点G，过B作,垂足为.则因为所以因为,根据抛物线的定义，知，，所以是等边三角形，所以，解得所以，,所以，即二、选择题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，，则答案：BC解析：思路：对于AD，举例判断，对于BC，利用不等式的性质分析判断.解答过程：对于A，当时，满足，此时，所以A错误，对于B，因为，，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，即，因为，所以，所以C正确，对于D，当，时，满足，，此时，，则，所以D错误.故选：BC10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（）A.椭圆的离心率为B.不存在点，使得C.的最大值为4D.使得为等腰三角形的点共有六个答案：BCD解析：思路：A选项：利用离心率公式计算即可；B选项：设，利用的符号判断夹角即可；C选项：结合椭圆定义和基本不等式求的最大值即可；D选项：分、、三类情况，分别计数符合条件的点的个数即可.解答过程：已知椭圆，其中，，，对于A：离心率，故A错误；对于B：设，则，又因为，化简得：，代入得：，所以两向量的夹角不可能为钝角，故B正确；对于C：设，，则，由均值不等式，，当且仅当时取等号，所以的最大值为4，故C正确；对于D：等腰三角形有三种情况，（1）当时，点P取短轴端点，共有2个点P符合要求；（2）当时，设，由距离公式：，平方得：，由点P在椭圆上，得，代入：．化简得：，解得：．因为，所以，所以共有两个点P符合要求；（3）当时，同理共有两个点P符合要求；综上：使得为等腰三角形的点P共有六个，故D正确．11.已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个实数根，，2，且，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：选项A，求导分析函数单调性得到极值点，所以对f(x)求导后，进而求解c；选项B，求导分析函数单调性，结合的零点可推导的取值范围；选项C，代入，结合的范围判断的取值；选项D，代入，结合的范围判断即可.解答过程：，，因为在上是增函数，在上是减函数，故0为的极大值点，所以，所以，故A正确；此时，则，依题意可得，即，故，令，解得或，因为在上是增函数，在上是减函数，是函数的极小值点，所以，解得，故B正确；，故C错误；，所以，，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数为______________（用数字作答）．答案：10解析：解答过程：的展开式的通项公式为：，由解得，故的系数为．13.记为等差数列的前项和，若，，则______________．答案：解析：思路：利用等差数列前项和的性质求解.解答过程：若为等差数列，其前项和满足：仍成等差数列，所以，则解得.14.在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________．答案：①.②.解析：思路：注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.解答过程：过点C作，垂足为E，为等腰梯形，，由余弦定理得，即易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，此时，平面易知，记O为外接球球心，半径为R平面，O到平面的距离又的外接圆半径故答案为：，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求；（2）若，的面积为，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）应用两角差正切公式计算求解，结合角的范围即可求解；（2）应用面积公式及余弦定理计算求解.（1）因为，，所以，因为，所以．（2）因为的面积为，所以，即，所以，由余弦定理知：，即，所以．16.如图，在四棱锥中，，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.答案：（1）因为，平面，可得平面，由平面，所以，且，所以，又因为，为的中点，则，且平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）根据题意可知平面，进而可得，，结合分析证明即可；（2）建立空间直角坐标系，设，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.（1）略（2）以为坐标原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，可得.设平面的法向量为，则，令，则，可得，可知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.甲乙两名同学进行羽毛球比赛，采用局胜制，先赢局者获胜，比赛结束．已知每局比赛相互独立，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为．（1）求甲以获胜的概率；（2）求比赛恰好打满局才分出胜负的概率；（3）若打完局时结束比赛，求获胜者是甲的概率．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）分析可知比赛最后一局甲赢，前局中甲胜负，由独立重复试验的概率公式可求得的值；（2）比赛前四局中甲赢局，乙赢局，由独立重复试验的概率公式可求得的值；（3）设事件为打完四局时结束比赛，事件为乙以获胜，求出的值，利用条件概率公式可求得的值.（1）甲以获胜，则比赛进行了局，最后一局甲赢，前局中甲胜负，设甲以获胜为事件，则．（2）比赛要打满局为事件，则前四局中甲赢局，乙赢局，则.（3）设事件为打完四局时结束比赛，事件为乙以获胜，则，且、互斥，则，所以．18.已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点．（1）求双曲线的方程；（2）已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程．答案：（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）或解析：思路：（1）应用点在双曲线上列式计算求解双曲线方程；（2）（ⅰ）先设直线再联立结合根与系数关系及判别式列式计算求解；（ⅱ）应用面积及几何特征列式计算求解.（1）因为是C上一点，所以，解得，所以双曲线的方程为．（2）（ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，，联立，化简得，因为直线与双曲线左右两支相交，所以，所以，解得或，所以的取值范围为．（ⅱ）由图易知，，则，所以，解得或．由（ⅰ）知，得，直线的方程为，即或．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）证明：．答案：（1）（2）当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（3）由（2）知，当时，函数在上单调递减，所以当时，即，所以，将代入上式，得，所以，于是，，将上述式子累加得：，即命题得证．解析：思路：（1）代入参数，求函数导数得到切线斜率，结合切点坐标，利用点斜式求解切线