云南省玉溪市玉溪第一中学2025-2026学年高二第二学期7月期末数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，则的虚部为（）A.4 B.3 C.2 D.13.已知向量=（1，2），=（2，x），若⊥，则|2+|=（）A. B.4 C.5 D.4.我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A.180 B.216 C.326 D.4155.如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（）A. B. C. D.6.已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为-2,则此椭圆的方程为（）A. B. C. D.7.已知，，则的值为A. B. C. D.8.设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（）A. B.1 C.2 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知满足，，则下列说法正确的是（）A. B.是等差数列C. D.设的前项和为，则10.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（）A.双曲线的离心率B.双曲线的方程为C.D.双曲线的渐近线方程为y=±311.某中药材盒中共有包装相同的7袋中药材，其中党参有4袋，黄芪有3袋，从中取出2袋，下列说法正确的是（）A.若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为B.若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取到党参的概率为C.若不放回抽取，则第2次取到党参的概率为D.若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示圆，则实数的取值范围是__________．13.已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.14.三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率．多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率．为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人．（1）根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．近视人数未近视人数合计户外活动时间不足2小时35户外活动时间超过2小时55合计60（2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率．参考公式与数据：，其中．0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.在中，已知.（1）若为锐角三角形，求角的值，并求的取值范围;（2）若，线段的中垂线交边于点，且，求A的值.17.如图，直三棱柱中，分别为和的中点．（1）证明：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．18.如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.19.已知函数．（1）若，讨论的零点的个数；（2）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明：（i）数列是递增数列；（ii）．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．解答过程：方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2.已知，则的虚部为（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：B解析：解答过程：，得，故的虚部为3.3.已知向量=（1，2），=（2，x），若⊥，则|2+|=（）A. B.4 C.5 D.答案：C解析：思路：根据求出x的值，再利用向量的运算求出的坐标，最后利用模长公式即可求出答案．解答过程：因为，所以解得，所以，因此，故选C．方法提示：本题主要考查向量的坐标预算以及模长求解，还有就是关于向量垂直的判定与性质．4.我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A.180 B.216 C.326 D.415答案：A解析：思路：因为“每个社团至少1人、甲不参加围棋苑”，所以人数分配形式为2,1,1,1，可通过排除法或特殊元素优先法计数求解.解答过程：∵5名同学分配到4个社团，每个社团至少1人，每人仅参加1个社团，故人数分布为1个社团2人，其余3个社团各1人.采用排除法计算：无甲的约束时，总分配方法数为.当甲参加“围棋苑”时，需安排剩余4名同学到4个社团，满足所有社团至少1人，分两类计数：剩余4人中无人加入围棋苑：4人分配到其余3个社团，方法数为.剩余4人中有1人加入围棋苑：剩余3人分别加入其余3个社团，方法数为.∴甲参加围棋苑的合法方法数为.故满足甲不参加“围棋苑”的总方法数为.综上，本题选A.5.如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比.解答过程：设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，则，因为、分别为，靠近点的三等分点，所以，则，所以，所以.故选：D.6.已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为-2,则此椭圆的方程为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：因为是弦中点问题,可以用点差法,找到长半轴长和短半轴长之间关系,再根据焦距求出椭圆方程即可.解答过程：解:由题设,若椭圆方程为,令直线与椭圆交点分别为,,则有①,②,两式作差可得：,即,易知,弦的中点,所以,,因为直线：,所以,故,所以,又,,解得,,故的方程为.故选:C7.已知，，则的值为A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：所以，选D.8.设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（）A. B.1 C.2 D.答案：B解析：思路：根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果.解答过程：由题意可得，即，所以，又，所以在上单调递增，即，所以，且，令，，则，其中，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，有极大值，即最大值，所以，，所以.故选：B方法提示：关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知满足，，则下列说法正确的是（）A. B.是等差数列C. D.设的前项和为，则答案：ABD解析：思路：两边取倒数，可得，可得是等差数列，逐项计算可判断其正误.解答过程：由，可得，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，则，故AB正确,C错误；又，则，故D正确.故选：ABD.10.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（）A.双曲线的离心率B.双曲线的方程为C.D.双曲线的渐近线方程为y=±3答案：BD解析：思路：先由焦距得的值，结合三角形面积求得点的纵坐标，再由直线的斜率求得点的横坐标，利用双曲线定义及的关系求得的值，再逐一验证各选项即可.解答过程：∵分别是双曲线的左、右焦点，，∴，即.设点，，∵的面积为，∴，即，解得.∵直线的斜率为，∴，代入，得，解得，即.∵在双曲线上，由双曲线定义得，计算得，，∴，即.又，对于A选项，双曲线离心率，故A错误.对于B选项，双曲线C的方程为，故B正确.对于C选项，，故C错误.对于D选项，双曲线渐近线方程为，故D正确.11.某中药材盒中共有包装相同的7袋中药材，其中党参有4袋，黄芪有3袋，从中取出2袋，下列说法正确的是（）A.若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为B.若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取到党参的概率为C.若不放回抽取，则第2次取到党参的概率为D.若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为答案：BCD解析：思路：选项A，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可解决；选项B，根据条件，利用条件概率公式，即可解决；选项C，根据条件，利用古典概率公式，即可解决；选项D，利用条件概率公式，即可解决，从而求出结果.解答过程：A，因为是有放回抽取，抽到一袋党参的概率为，抽到一袋黄芪的概率为，所以取出一袋党参一袋黄芪的概率为，故选项A的错误；B，第二次抽到党参的概率为，至少抽到一袋党参的概率为，所以所求概率为，故选项B正确；C，因为不放回抽取，抽两次有种取法，第二次抽到党参的取法为，所以第2次取到党参的概率为，故选项C正确；D，至少取出一袋党参的概率为，取到一袋党参一袋黄芪的概率为，所以在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为概率为，故选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示圆，则实数的取值范围是__________．答案：解析：解答过程：∵方程表示圆.将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：.∵二元二次方程表示圆的充要条件为，此处，，，代入得，展开计算得，解得或，即实数的取值范围是.13.已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.答案：解析：思路：通过判断函数在上单调递增、奇函数，脱掉“”，转化为恒成立问题，分离参数求解.解答过程：函数在上单调递增，又，故为奇函数，若对任意的，不等式恒成立，对任意的，不等式恒成立，对任意的，恒成立，，，当且仅当时取等号，所以故答案为：方法提示：本题考查了利用函数的单调性、奇偶性解不等式，同时考查了基本不等式求最值，属于中档题.14.三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________．答案：##1.5解析：思路：先利用重心和中点的性质，把用表示出来，再结合已知条件得出的关联，最后利用基本不等式求解．解答过程：点为的重心，，为的中点，，，，，，四点共面，，，，当且仅当时取等号．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率．多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率．为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人．（1）根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．近视人数未近视人数合计户外活动时间不足2小时35户外活动时间超过2小时55合计60（2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率．参考公式与数据：，其中．0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）列联表如下：

近视人数未近视人数合计户外活动时间不足2小时351045户外活动时间超过2小时253055合计6040100有关（2）解析：思路：（1）根据题意可得列联表，根据计算，与临界值表比较可得结论；（2）应用全概率公式计算求解即可.（1）列联表如下：近视人数未近视人数合计户外活动时间不足2小时351045户外活动时间超过2小时253055合计6040100零假设为：学生患近视与户外活动时间长短无关．根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生患近视与户外活动时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．（2）设事件“使用“物理+药物”治疗方案并且治愈”，事件“该近视同学每天户外活动时间超过2小时”，“该近视同学每天户外活动时间不足2小时”，则，，且，，则，所以该近视学生使用“物理+药物”治疗方案被治愈的概率为．16.在中，已知.（1）若为锐角三角形，求角的值，并求的取值范围;（2）若，线段的中垂线交边于点，且，求A的值.答案：（1）；；（2）解析：思路：（1）利用正切的和角公式可得C，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可；（2）设中点为，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可.（1）由题意，所以，所以，所以，易知，所以，则，因为为锐角三角形，所以，即，所以，由知，所以，即的取值范围为；（2）设中点为，则，在中，由正弦定理得，即，所以，因为线段的中垂线交边于点，可知，所以，则，解之得，此时，正切不存在，舍去；或，解之得；综上.17.如图，直三棱柱中，分别为和的中点．（1）证明：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：取的中点为，连接，因为，，故，由直三棱柱的性质可得，故，故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面．（2）解析：思路：（1）构造平行四边形得到线线平行，结合线面平行的判定定理即可完成证明.（2）结合直三棱柱的垂直特性建立空间直角坐标系，先由的垂直条件求出侧棱长，再求解平面的法向量，最后利用线面角的向量计算公式求解正弦值.（1）略（2）因为，故，故，设．由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，且．因为，故即，故舍去，故，，又．设平面的法向量为，则所以，取，故与平面所成角的正弦值为|n→·18.如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.答案：（1）2，；（2），.解析：思路：(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.解答过程：(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.(2)设，，，重心，令，，则.由于直线过，故直线方程为，代入，得，故，即，所以.又由于，，

重心在轴上，故，得，

.所以，直线方程为，得.由于在焦点的右侧，故.从而.令，则，.当时，取得