云南省昭通市第一中学2026~2026学年高二上册开学考试及数学试题 含答案解析

云南省昭通市第一中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）....2.直线在轴上的截距为（）....3.抛物线的焦点到准线的距离是（）....4.已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）....5.下列方程一定表示圆的是（）....6.如图1，在直三棱柱中，，，分别是棱，和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度是（）....7.已知点，，在直线上存在一点，使得最小，则点坐标为（）....8.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（）....二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于双曲线的以下论述中，正确的是（）.焦点在轴上 .虚轴长为16.渐近线方程为.离心率为10.下列说法正确的是（）.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件.当点到直线的距离最大时，的值为.已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点11.已知一对不共线的向量的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量垂直（如图2甲所示）.在平行六面体中（如图2乙所示），下列结论正确的是（）..当时，.若，，则.平行六面体的体积三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点大平面的距离为.13.如图3，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱，若二面角的平面角为，且，，，则.14.直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的边上的高所在直线方程为.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程.16.（15分）如图4，在平行六面体中，分别为棱，的中点，记，，满足，，，.（1）求的长度；（2）求与夹角的余弦值.17.（15分）已知的三个顶点是.（1）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程；（2）若直线过点，且与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程.18.（17分）如图5，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段行存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.19.（17分）已知圆，直线过点.（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；（2）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；（3）已知,,斜率为且过点的直线与的轨迹交于两点，求的面积.答案解析一、选择题1.D解析：由题意，直线的斜率为，结合斜率与倾斜角的关系，得的倾斜角为.2.A解析：在中，令，得.3.D解析：由抛物线，则，∴，∴抛物线焦点到准线的距离是6.4.C解析：对于A，，则共面，故A错误；对于B，，则共面，故B错误；对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，∴向量不共面，能构成空间的一个基底故C正确；对于D，，则向量共面，故D不正确.5.B解析：对于A，方程表示点，故A错误；对于B，方程化为，表示圆，故B正确；对于C，当时，方程表示点，不表示圆，故C错误；对于D，方程化为表示两条平行直线，故D错误.6.A解析：在直三棱柱中，，以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图1所示的空间直角坐标系，则，设，则，.由于，∴,解得，∴线段的长度为.7.C解析：如图2，设为点关于直线的对称点，则的中点为，由轴对称的性质，可得，解得，即，直线的方程为，即，由，解得，即直线与交于点，，当点三点共线时，即直线上的点与重合时，达到最小值，故满足条件的点坐标为.8.B解析：由椭圆的定义得，又，故，，由，得.二、选择题9.BC解析：由得，∴双曲线的焦点在轴上，故A错误；由，∴虚轴长为，故B正确；由得，故C正确；由，，∴，即，，∴，故D错误.10.ACD解析：对于A，直线与直线平行，则，解得，直线，即，则与的距离为，故A正确；对于B，由两直线互相垂直得，，解得或，可知是两直线垂直的充分不必要条件，故B错误；对于C，将直线方程变形为，由得，直线过定点，斜率为，当直线与垂直时，点到直线的距离最大，∵，，∴，故C正确；如图3，，，由图可知，当或时，直线与线段有交点，故D正确.11.ABD解析：对于A，，而，故，故A正确；对于B，，当时，有意义，则，故B正确；对于C,∵，，∴，，∴，故C错误；对于D，的模长即为平行六面体底面的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，故D正确.三、填空题12.解析：∵，∴点到平面的距离.13.解析：由条件知，，，又二面角的平面角为，则，∴，∴.14.解析：直线化为，∴直线过定点，即点，直线化为，∴直线恒过点，即点，且两条直线满足，∴，即，∴，∴，当且仅当时，等号成立，∴的最大值为4.四、解答题15.解：（1）设，∵边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，∴，解得，∴.（2）设，则，解得，∴，∴，∴直线的方程为，即.16.解：（1）∵，∴，∴.（2）∵，，∴，又，，∴，故与夹角的余弦值为.17.解：（1）∵点到直线的距离相等，∴直线与平行或通过的中点，①当直线与平行时，∵，且直线过点，∴直线方程为：，即；②当直线通过的中点，∴,∴直线方程为：，即.综上，直线方程为：或.（2）由题意，设，其中为正数，可设直线的方程为，∵直线过点，∴，由基本不等式可得，∴，∴，当且仅当，即时，取得最小值24.∴面积，∴当时，面积最小，此时直线的方程为，即.18.解：（1）∵，∵，，∴四边形为矩形，在中，，，，则，∴，∴，又平面平面，平面，平面平面，∴平面.（2）如图5，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∵，，可得，则，设平面的法向量为，，，则，不妨令，则.设平面的法向量为，，则，不妨令，则.∴.∴二面角的正弦值为.（3）设，则，又平面的法向量为.直线与平面所