浙江省重点高中2025-2026学年高一上册提前招生摸底考试数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A B. C.2 D.2.方程的正根的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（）A.B.C.D.4.已知且，那么n，m，，的大小关系是（）A. B.C. D.5.如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形作无滑动旋转，直至回到出发位置时，该圆自转了n圈，则（）A2 B.3 C.4 D.56.已知实数x，y满足，，则的值为（）A. B. C. D.7.如图，与的斜边AB相切于点D，与直角AC相交于点E，且．已知，，则的半径是（）A. B.4 C. D.38.在数学活动课上，小明做了一个梯形纸模板，测得其一底边长为40cm，高为8cm，两腰长分别为10cm和17cm，那么该梯形纸模板的面积不可能是（）A. B. C. D.9.对于正整数n，符号…，例如：，，如果，那么（）A. B.1 C. D.210.把数字1，2，3，…，9分别填入如图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有n种不同填法，则（）A4 B.5 C.6 D.7二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分.11.已知，则______.12.如图，等腰直角的腰长为将绕C点逆时针旋转则线段AB扫过的面积是______.13.若，则的个位数字是______.14.定义一种新的运算“”：①当为奇数时结果为，②当为偶数时结果为（其中是使为正奇数的正整数），反复运算.例如，那么当时，第2025次“”运算的结果是______.15.已知关于x的两个一元二次方程：①，②二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程至少有一个公共根，则______.16.若两个正整数x，y相加时，得到的数是一个两位数，且个位、十位数字相同；相乘时，得到的数是一个三位数，且个位、十位、百位数字相同，则______.三、解答题：本题共5小题，共64分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知关于x方程只有一个实数解，求实数a的值.18.如图，直线与轴，轴分别相交于点B、C，经过B、C两点抛物线与轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）连结AC.请问在轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.19.把26个完全相同的玻璃球分别装在a，b，c，d，e五个袋子里，每个袋子里的球数不同且至少1个.用一台电子秤称重量，当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响.如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响.请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的所有组合，例如：，并说明理由.20.把的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，要求分割后的4个图形互为相似或全等.请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割方法翻转后如果同另一种分割重叠的话，将视作是同一种分割方法21.如图，在中，，，，延长BC至D使得，设P为线段AB上一动点异于点A、，连接PD交直线AC于M点，过P、M、B三点作交直线AC于另一点（1）求证：；（2）设的半径为R，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值.

数学一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B. C.2 D.答案：C解析：思路：根据题意可得，，根据绝对值性质和二次根式的性质，化简求解即可．解答过程：，，，故选：C2.方程的正根的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案：A解析：思路：根据函数和函数的图像特征，结合图形以及范围即可判断．解答过程：设函数，函数，函数的顶点坐标为，对称轴，且经过原点；故图象在一、三、四象限，开口向下，函数的图象在一、三象限；第一象限时，当时，,此时两个函数图像没有交点，当时，，此时依然没有交点，而当时，，因此两个函数图像在第一象限没有交点，即方程的正根的个数为0个．故选：A.3.如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（）A.B.C.D.答案：D解析：思路：根据，得出，再求出C点坐标，即可得到点B的坐标，代入函数解析式，即可判断.解答过程：由抛物线交y轴于C点，得，由，得，则，而点在抛物线上，则，即，而，所以，B错误，D正确；又，则，AC错误.故选：D4.已知且，那么n，m，，的大小关系是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：法一，根据条件得出的范围，再分别作差即可；法二，根据条件设出符合条件的具体数值，即可解答．解答过程：法一：因，，则，，则，因，则，故，则，即；，即；，即；故法二：假设符合条件的，，则，则故故选：D5.如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形作无滑动旋转，直至回到出发位置时，该圆自转了n圈，则（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：C解析：思路：设等边三角形的边长为1，圆的半径为r，求出圆心转动过的路程进而即可求解．解答过程：设等边三角形的边长为1，圆的半径为r，由条件可知，，圆从一边转到另一边时,圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数,即圆心要绕其三角形的顶点旋转，圆心经过的路径长为，.故选：C6.已知实数x，y满足，，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，则，易得，再设，则，进而可得，可知m、t为方程的两个实根，利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后利用完全平方公式进行变形求解即可．解答过程：解：设，则，，即，再设，则，，即，则m、t为方程的两个实根，（），，，故选：D7.如图，与的斜边AB相切于点D，与直角AC相交于点E，且．已知，，则的半径是（）A B.4 C. D.3答案：A解析：思路：利用圆周角为直角确定直径，由三角形相似得出，再由射影定理求即可.解答过程：延长交圆于点，连接，如图，,则根据的圆周角所对的弦是直径知是直径.∽，，则，在直角中，根据射影定理得，根据勾股定理，则圆的半径是.故选：A8.在数学活动课上，小明做了一个梯形纸模板，测得其一底边长为40cm，高为8cm，两腰长分别为10cm和17cm，那么该梯形纸模板的面积不可能是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分类讨论可能存在的四种情况，利用平行四边形的性质和勾股定理求出各线段的长，最后利用梯形的面积公式即可求解.解答过程：由题意画出图形，如图1、图2、图3、图4，则梯形纸板面积分别为：，，，，故该梯形纸模板的面积不可能是，故选：B9.对于正整数n，符号…，例如：，，如果，那么（）A. B.1 C. D.2答案：A解析：思路：先确定末尾有4个0，再确定!能被9整除，则各个数字之和也能被9整除，即可求解．解答过程：由!……，5的倍数有5，10，15，20共4个，!中，末尾共有4个0，故；!中的因数有9，!能被9整除，各位数字之和也能被9整除，应为9的倍数，即，，故选：A.10.把数字1，2，3，…，9分别填入如图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有n种不同填法，则（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：思路：先算

总和为45；设顶点和为X、顶点和为Y、中点和为Z，由“每条边和为18”得：的条边总和，的条边总和，结合，联立解得、、；由此确定、5、、、8、、、2、，再统计X的排列数即为总填法．解答过程：解：，设的顶点和X、的顶点和Y、的中点和Z，根据题意列三元一次方程得，，联立解得：，，，中仅1、2、3和为6，故中点为1、2、3；，中仅7、8、9和为24，故顶点为7、8、9；，剩余4、5、6和为15，故顶点为4、5、顶点、5、可全排列，共种；顶点及中点由顶点唯一确定如、时，，无需额外排列．综上所述，共有6种不同填法，只有选项C正确，符合题意．故选：C.二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分.11.已知，则______.答案：1解析：思路：先由得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入计算即可．解答过程：由变形可得，对原式进行变形可得：故答案为：12.如图，等腰直角的腰长为将绕C点逆时针旋转则线段AB扫过的面积是______.答案：解析：思路：由题可求得，然后由图可得线段AB扫过的面积以BC为半径的扇形的面积以AC为半径的扇形的面积，据此可得答案.解答过程：解：如图，，，.又如图，所求面积为：.以BC为半径的扇形的面积为：，以AC为半径的扇形的面积为：.结合旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可知的面积与的面积相等，则，从而以BC为半径的扇形的面积为：，则所求面积为：，即线段AB扫过的面积以BC为半径的扇形的面积以AC为半径的扇形的面积故答案为：13.若，则的个位数字是______.答案：3解析：思路：由，可得x是10的倍数，进而确定x的个位数字，求解即可．解答过程：……，乘任何非0数，结果的个位数字都是0，则x是10的倍数，所以x的个位数字是0，则的个位数字为故答案为：14.定义一种新的运算“”：①当为奇数时结果为，②当为偶数时结果为（其中是使为正奇数的正整数），反复运算.例如，那么当时，第2025次“”运算的结果是______.答案：8解析：思路：根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、…、8次的运算结果，即可发现从第4次“”运算开始，奇数次“”运算结果都为8，偶数次“”运算结果都为1，据此即可得解.解答过程：由题意前8次的“F”运算结果如下：由上面的计算可以看出，从第4次“”运算开始，奇数次“”运算的结果都为8，偶数次“”运算的结果都为1，因为是奇数，当时，第2025次“”运算的结果是8，故答案为：15.已知关于x的两个一元二次方程：①，②二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程至少有一个公共根，则______.答案：6解析：思路：分别求得两个方程的根，然后结合已知条件得到关于a、b的数量关系，再由限制性条件“a、b为正整数”来求a、b的值即可.解答过程：解：设关于x的一元二次方程的两根分别为，，方程的两根分别为，，一元二次方程可化简为，，，原方程化简为：，，，故同理可得的方程解为：，，两个一元二次方程的二次项系数不相等，，即，两个一元二次方程有一个公共根，，，通过化简整理均得到方程，，，b均为正整数，，或，；，故答案为：16.若两个正整数x，y相加时，得到的数是一个两位数，且个位、十位数字相同；相乘时，得到的数是一个三位数，且个位、十位、百位数字相同，则______.答案：55或77解析：思路：三位数中，三个数字相同的都是111的倍数…，，又，三个数字相同的三位数必能被37整除，所以设，同理可设，然后求出的值的情况即可．解答过程：解：由题意知x，y为两个正整数，由题意设①，②，为正整数，；设，则y为37的倍数，若，则，③，由②知，由③知为11的倍数，则或，，（时，m不为整数），此时，则；若，则，，，且为11的倍数，即77，，，则，显然，故综上，或77，故答案为：55或三、解答题：本题共5小题，共64分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知关于x的方程只有一个实数解，求实数a的值.答案：或或解析：思路：将分式方程转化为整式方程，然后结合题意分两种情况：当方程①有两个相等的实数根时，当方程①有两个不相等的实数根时，结合题意求解即可．解答过程：原方程去分母得：，整理得：①，当方程①有两个相等的实数根时，，解得，，解得：，检验：满足题意；当方程①有两个不相等的实数根时，，解得：，若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得，，解得：另一个根，检验：当时，满足题意；若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得，，解得：另一个根，检验：当时，满足题意；综上，或或18.如图，直线与轴，轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）连结AC.请问在轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）y=x2-4x+3；（2）存在，(0，0)，（，0）解析：思路：（1）先由直线解析式求出B，C两点坐标，再根据对称轴为直线可求出点A的坐标，A，B，C三点坐标代入，可得抛物线的函数式；（2）设抛物线的对称轴交x轴于点M，由可知，由可知，由相似三角形对应边的比相等可求出点Q。解答过程：解：（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，∴当y=0时，x=3.∴点B的坐标为.又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，根据抛物线的对称性，∴点A的坐标为(1，0).∵y=-x+3过点C，易知，∴c=3.又∵抛物线过点，，∴解得∴（2）设在x轴上存在点Q.连结PB，由，得.设抛物线的对称轴交x轴于点M.在Rt△PBM中，PM=MB=1，∴△PBM为等腰直角三角形.∴.由点，，可得OB=OC=3，∴△OBC为等腰直角三角形.∴.由勾股定理，得.假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似.①当，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC.即，∴BQ＝3.∴Q1的坐标是(0，0).②当，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC，即，∴QB＝.∴Q2的坐标是（，0）.由题意知点Q不可能在B点右侧的x轴上.综上所述，在x轴上存在两点Q1(0，0)，Q2（，0）方法提示：本题考查求函数解析式，以及求存在一点使三角形相似，第二问中三角形相似有两种情况都满足条件，考查思维严密性。19.把26个完全相同的玻璃球分别装在a，b，c，d，e五个袋子里，每个袋子里的球数不同且至少1个.用一台电子秤称重量，当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响.如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响.请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的所有组合，例如：，并说明理由.答案：答案见解析解析：思路：设五个袋子a，b，c，d，e里玻璃球的数量分别为A，B，C，D，E个，通过比较得，，再整理进一步分析得，然后推出B，D的值是4或3或2或1个，因为，，故B，D的值为4或3或2个，则或1，进一步由，，式可知或9个，即可作答．解答过程：解：当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响．如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响．设五个袋子a，b，c，d，e里玻璃球的数量分别为A，B，C，D，E个，则：比较，式可知，比较，式可知，由，，式可得由上面的三个式子可知，，，，且每个袋子里的球数不同且至少1个当，时，则或1；当，时，则或1；当，时，则；当，时，则；当，时，则；当，时，则；综上或1，进一步由，，式可知，或9